Cinematica

[Meetmat]

L'esercizio è il seguente:
Un punto materiale si muove con velocità $ v_0=14m/s $ lungo il verso positivo dell'asse x. All'istante $ t = 0 $ esso passa per l'origine e, per $ t > 0 $, la sua accellerazione vale $ a=-kv $ con $ k=2.4s^-1 $, fino a quando il punto passa nella posizione $ x_1=4m $. Calcolare la velocità in $ x_1 $.

Nelle soluzioni viene data questa soluzione che non riesco a capire da dove viene ricavata:
La velocità in $ x_1 $, a causa della decrescita lineare con lo spazio dovuta all'accellerazione $ -kv $, è: $ v(x_1)=v_0-kx_1=4.4 m/s $.

DA dove viene ricavata quest'ultima formula? Grazie.

[Quinzio]

Hanno integrato ambo i membri di

$a=-kv$,

cioè

$\int a\ dx= \int -kv\ dx$

$v= -kx +x_0$.

[Meetmat]

Grazie. Anch'io avevo notato questo però non capisco il perchè. Nel secondo integrale cosa ricavi ? $ v $ la consideri costante ?

[stormy1]

$a=(dv)/(dt)=-kv$ ,cioè $(dv)/v=-kdt$
integrando ed imponendo la condizione iniziale si ha $v=v_0e^(-kt)$
$v=(dx)/(dt)$ cioè $dx=v_0e^(-kt)dt$
integrando ed imponendo la condizione iniziale si ha $x=v_0/k(1-e^(-kt))$
da qui si ricava $e^(-kt)=1-(kx)/v_0$ e quindi
$v=v_0(1-(kx)/v_0)=v_0-kx$

[Meetmat]

Ahhh grazie mille.