Cilindro su piano inclinato
Determinare l'accelerazione di un cilindro che rotola senza strisciare su un piano inclinato di angolo 30
Le forze agenti sul cilindro sono l'attrito e la forza peso.
Scegliendo come polo il punto di contatto tra piano inclinato e cilindro, i momenti dell'attrito e della reazione normale sono nulli.
Dunque
$I\alpha = -Mgsen30R$
$1/2*MR^2 * a/R = -Mgsen30R$
$1/2a = -gsen30$
$a = -2gsen30$
Il risultato però, mi sembra chiaramente incoerente (e tra l'altro ricordo che era $2/3gsen(30)$
Le forze agenti sul cilindro sono l'attrito e la forza peso.
Scegliendo come polo il punto di contatto tra piano inclinato e cilindro, i momenti dell'attrito e della reazione normale sono nulli.
Dunque
$I\alpha = -Mgsen30R$
$1/2*MR^2 * a/R = -Mgsen30R$
$1/2a = -gsen30$
$a = -2gsen30$
Il risultato però, mi sembra chiaramente incoerente (e tra l'altro ricordo che era $2/3gsen(30)$
Risposte
Il momento d'inerzia l'hai calcolato rispetto all'asse di rotazione che stai considerando?
Si ,rispetto all'asse z (uscente da una pagina di quaderno, insomma)
"Vincent":
Si ,rispetto all'asse z (uscente da una pagina di quaderno, insomma)
Intende dire rispetto a un asse passante per il punto di contatto, non quello baricentrico (comunque a vedere la tua soluzione direi che l'errore e qui).
Mmm temo di non aver capito cosa intendete dire
Ho calcolato i momenti rispetto al centro di massa ottenendo che l'unica forza con momento non nullo è l'attrito.
Poi eseguendo i calcoli ho trovato che proprio la forza di attrito è $1/2Ma$ e poi ho trovato il risultato finale.
Ma non ho capito cosa è sbagliato nel ragionamento precedente.
Poi eseguendo i calcoli ho trovato che proprio la forza di attrito è $1/2Ma$ e poi ho trovato il risultato finale.
Ma non ho capito cosa è sbagliato nel ragionamento precedente.
Che devi calcolare il momento d'inerzia del cilindro rispetto ad un asse che passa per il polo che hai scelto, ovvero il punto di contatto tra cilindro e piano
Non ho capito lo stesso
E non capisco perchè calcolando i momenti rispetto al centro di massa tutto funzioni e rispetto al punto di contatto invece no.
E non capisco perchè calcolando i momenti rispetto al centro di massa tutto funzioni e rispetto al punto di contatto invece no.
Il momento d'inerzia non dipende solo da quale oggetto sta ruotando, ma rispetto a quale asse sta ruotando (vedi teorema di Huygens-Steiner); ottieni lo stesso risultato considerando entrambi i punti, purché scrivi i termini correttamente, in particolare il momento d'inerzia nel tuo caso
Mi sta capitando qui la stessa identica cosa...
"A un cilindro pieno di massa M, raggio R e lunghezza L sono arrotolate 2 corde ognuna in vicinanza dell'estremità del cilindro. Questo viene posto in posizione orizzontale e lasciato libero di muoversi con le corde perfettamente verticali. Calcolare l'accelerazione lineare con cui il cilindro si muove"
Le forze agenti sul cilindro sono
$-Mg+T_1+T_2 = Ma$
e, riguado i momenti
$M = I\alpha$
Il momento di inerzia del cilindro rispetto all'asse di simmetria è $1/2 MR^2$
Quindi, scegliendo come polo il centro di massa, la gravità ha momento nullo.
$R(T_1 + T_2) = 1/2 MR^2 * a/R$
$T_1+T_2 = 1/2Ma$
Ossia
$-Mg + 1/2Ma = Ma$
$a = -2g$
Impossibile, ovviamnete...dove sbaglio???
"A un cilindro pieno di massa M, raggio R e lunghezza L sono arrotolate 2 corde ognuna in vicinanza dell'estremità del cilindro. Questo viene posto in posizione orizzontale e lasciato libero di muoversi con le corde perfettamente verticali. Calcolare l'accelerazione lineare con cui il cilindro si muove"
Le forze agenti sul cilindro sono
$-Mg+T_1+T_2 = Ma$
e, riguado i momenti
$M = I\alpha$
Il momento di inerzia del cilindro rispetto all'asse di simmetria è $1/2 MR^2$
Quindi, scegliendo come polo il centro di massa, la gravità ha momento nullo.
$R(T_1 + T_2) = 1/2 MR^2 * a/R$
$T_1+T_2 = 1/2Ma$
Ossia
$-Mg + 1/2Ma = Ma$
$a = -2g$
Impossibile, ovviamnete...dove sbaglio???
In quest'ultimo caso hai banalmente sbagliato un segno.
Infatti la prima equazione che scrivi presuppone il verso positivo della accelerazione verso l'alto.
Il momento rispetto al baricentro dovuto alle tensioni delle corde produce una $\alpha$ che è positiva in senso antiorario, ovvero esattamente di verso contrario rispetto a quella che ci sarebbe se il cilindro accelerasse nel verso positivo della accelerazione (cioè verso l'alto). Dunque la relazione da porre è $\alpha=-a/R$. Sostituendo si ricava $a=-2/3g$. Ovviamente l'accelerazione esce negativa vista la convenzione che hai assunto all'inizio.
Infatti la prima equazione che scrivi presuppone il verso positivo della accelerazione verso l'alto.
Il momento rispetto al baricentro dovuto alle tensioni delle corde produce una $\alpha$ che è positiva in senso antiorario, ovvero esattamente di verso contrario rispetto a quella che ci sarebbe se il cilindro accelerasse nel verso positivo della accelerazione (cioè verso l'alto). Dunque la relazione da porre è $\alpha=-a/R$. Sostituendo si ricava $a=-2/3g$. Ovviamente l'accelerazione esce negativa vista la convenzione che hai assunto all'inizio.
Riguardo invece al senso generale di questi esercizi (rotolamento puro o yo-yo che sia) e che tu sembra non abbia compreso è che c'è un modo alternativo di risolverli basato sul concetto di centro istantaneo di rotazione.
Quando una ruota rotola su un piano tutti i punti di essa si muovono (in un sistema "fermo" cioè inerziale solidale con la strada) come se la ruota ruotasse attorno al punto di contatto ruota-strada. Questo punto si chiama dunque centro istantaneo di rotazione. Dunque essendo fermo è possibile usarlo come polo di calcolo dei momenti e dei momenti angolari. Il vantaggio di fare ciò è che le forze sconosciute (ovvero la reazione sul punto di contatto nel caso della ruota oppure la tensione della corda nel caso dello yo-yo) fanno momento zero rispetto a questo punto. Dunque con una sola equazione risolvi il problema, poiché basta che calcoli il momento rispetto a questo punto della sola forza peso che è nota. Però c'è un'ulteriore attenzione da porre: il momento angolare va calcolato non rispetto al baricentro bensì rispetto a questo punto posto sulla circonferenza. Poiché il momento angolare di un corpo rigido è uguale al momento di inerzia moltiplicato per la velocità angolare, basta dunque calcolare il momento di inerzia rispetto a un asse passante per questo punto, e ciò si ottiene applicando il teorema di Huygens-Steiner, ovvero aggiungendo al momento di inerzia baricentrico la quantità $MR^2$. Nel caso del cilindro che rotola il momento di inerzia in questione diventa dunque $I=1/2MR^2+MR^2=3/2MR^2$.
Quando una ruota rotola su un piano tutti i punti di essa si muovono (in un sistema "fermo" cioè inerziale solidale con la strada) come se la ruota ruotasse attorno al punto di contatto ruota-strada. Questo punto si chiama dunque centro istantaneo di rotazione. Dunque essendo fermo è possibile usarlo come polo di calcolo dei momenti e dei momenti angolari. Il vantaggio di fare ciò è che le forze sconosciute (ovvero la reazione sul punto di contatto nel caso della ruota oppure la tensione della corda nel caso dello yo-yo) fanno momento zero rispetto a questo punto. Dunque con una sola equazione risolvi il problema, poiché basta che calcoli il momento rispetto a questo punto della sola forza peso che è nota. Però c'è un'ulteriore attenzione da porre: il momento angolare va calcolato non rispetto al baricentro bensì rispetto a questo punto posto sulla circonferenza. Poiché il momento angolare di un corpo rigido è uguale al momento di inerzia moltiplicato per la velocità angolare, basta dunque calcolare il momento di inerzia rispetto a un asse passante per questo punto, e ciò si ottiene applicando il teorema di Huygens-Steiner, ovvero aggiungendo al momento di inerzia baricentrico la quantità $MR^2$. Nel caso del cilindro che rotola il momento di inerzia in questione diventa dunque $I=1/2MR^2+MR^2=3/2MR^2$.
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