Cilindro piano inclinato

[mattcryo]

Gentili utenti,
vi tedio ancora con un problemino di fisica sul rotolamento:
Un cilindro pieno rotola su un piano inclinato di 34° senza strisciare.
la velocità del centro di massa quando il cilindro è alla base del piano è 5,18 m/s
Il cilindro sale sul piano e a un certo punto si ferma.
calcolare
1) quanto spazio ha percorso
2)il tempo che impiega a scendere
3) l'angolo spazzato dal cilindro "andata e ritorno"

Il mio ragionamento:
Per il primo punto applico il principio di conservazione dell'energia meccanica (infatti non si parla di attriti) e moltiplico l'altezza per il seno di 34 e infatti il risultato mi dà 3,424 m (sul libro risulta 3,43, ma credo sia questione di approsimazione).
Il vero problema sorge nel secondo punto, probabilmente non ho ben capito il rotolamento, comunque io ho pensato a questo:
il tempo di discesa del cilindro è il medesimo di quello del centro di massa, quindi tratto solo l'aspetto traslazionale del moto del centro di massa:
è un moto uniformemente accelerato, lo spazio iniziale è quello del primo punto, la velocità iniziale è zero, quindi ho:
$(1/2at^2=-s0)
però c'è qualcosa che non funziona....
Il terzo punto è banale, lo ho postato solo per non tralasciare nulla, ma a mio avviso basta dividere lo spazio totale per il raggio per ottenere l'angolo in radianti

Vi ringrazio per le risposte

[Sk_Anonymous]

$m_A$: massa dell'asta.

$r_A$: raggio dell'asta.

$m_D$: massa del disco.

$r_D$: raggio del disco.

Prima equazione cardinale della dinamica per l'asta: $F-2R_i=m_Aa$

Seconda equazione cardinale della dinamica per l'asta rispetto all'asse baricentrico: $Fr_A-2M_i=I_G\alpha$

Prima equazione cardinale della dinamica per il disco: $R_i-R_e=m_Da$

Seconda equazione cardinale della dinamica per il disco rispetto al punto di contatto: $R_ir_D+M_i=3/2m_Dr_D^2\alpha$

Vincolo cinematico: $a=\alphar_D$

Si ottiene un sistema di $5$ equazioni nelle $5$ incognite $a$, $\alpha$, $R_i$, $R_e$ e $M_i$. E' interessante esplicitare almeno $\alpha$:

$F-2R_i=m_Aa rarr R_i=(F-m_Aa)/2$

$Fr_A-2M_i=I_G\alpha rarr M_i=(Fr_A-I_G\alpha)/2$

$R_ir_D+M_i=3/2m_Dr_D^2\alpha rarr \alpha=(F(r_A+r_D))/(I_G+m_Ar_D^2+3m_Dr_D^2)$

Per quanto riguarda il procedimento più sintetico, valgono le stesse considerazioni fatte in precedenza. In pratica, aggiungere "dimensionalità" all'asta, implica dover considerare la seconda equazione cardinale della dinamica anche per l'asta, con l'introduzione di una nuova reazione vincolare interna, il momento $M_i$. Il valore di $\alpha$ che si ottiene riflette questa modifica, con l'aggiunta di un nuovo termine al momento d'inerzia complessivo del sistema.

[Newton_1372]

C'è qualcosa che mi sfugge.

1). Cosa sono quei due Ri per esempio? L'unica forza che io vedo agire sull'asta è quella che applico io...
2). Cos'è Ig? Momento di inerzia DELL'ASTA o quello totale di tutto il sistema?
3). Perchè il momento azzurro lo assumi uguale e contrario al momento arancione? Inoltre se consideriamo il momento di tutto il sistema, non è semplicemente momento asta + 2 momento ruote?

[Sk_Anonymous]

1). Cosa sono quei due Ri per esempio? L'unica forza che io vedo agire sull'asta è quella che applico io...
$R_i$ è la reazione vincolare interna, intesa come forza, che l'asta esercita sul disco. $-R_i$ è la reazione vincolare interna, intesa come forza, che il disco esercita sull'asta. Per il principio di azione e reazione sono opposte.

2). Cos'è Ig? Momento di inerzia DELL'ASTA o quello totale di tutto il sistema?
$I_G$ è il momento d'inerzia dell'asta rispetto all'asse baricentrico dell'asta.

3). Perchè il momento azzurro lo assumi uguale e contrario al momento arancione? Inoltre se consideriamo il momento di tutto il sistema, non è semplicemente momento asta + 2 momento ruote?
$M_i$ è la reazione vincolare interna, intesa come momento, che l'asta esercita sul disco. $-M_i$ è la reazione vincolare interna, intesa come momento, che il disco esercita sull'asta. Per il principio di azione e reazione sono opposte.
Al denominatore compare il momento d'inerzia di tutto il sistema rispetto all'asse che unisce i due punti di contatto.

[Newton_1372]

Ho dedicato a questo problema qualche ora di attenzione, e dopo aver tentato di scrivere (inutilmente) le equazioni della dinamica (le seconde!) ho deciso di rivolgermi nuovamente al vostro aiuto. Mi sono reso conto di non trovarmi con la seconda equazione applicata AL DISCO. Facendo un disegno, mi sono reso conto che l'unica forza che agisce sul disco e produce un momento è la $R_i$ Mi chiedo dunque perchè c'è aggiunto quel "Mi"...dovrebbe essere
$R_i r_d=3/2 m_d R^2$

[Newton_1372]

Up...inoltre non è $M_i=R_i r_A$?

[Newton_1372]

uo

[Newton_1372]

Ari-Up

[Newton_1372]

Up

[Newton_1372]

Scusate se uppo ancora, ma c'è ancora qualcosa k non mi convince. Ditemi dove sbaglio nel mio ragionamento. (a pag. 4 trovate il disegno di Speculor

I. EQUAZIONE DELLA DINAMICA PER L'ASTA

$\sum F = F-2R_i=M_A a$ (1)

II. EQUAZIONE DELLA DINAMICA PER L'ASTA (attorno a un asse passante per il cdm)

$\sum \tau = Fr-2R_i r= 1/2 M_A r^2 a/r $ (2)

II. EQUAZIONE DELLA DINAMICA PER LA RUOTA (come fulcro prendo il punto di contatto così posso evitare di prendere in considerazione la forza di attrito).

$R_i(R+r) = 3/2 M_D R^2 a/R$ (3)

Non riesco a vedere altri momenti oltre a quelli che ho scritto in quelle equazioni...mi potreste illuminare?
http://imageshack.us/photo/my-images/43/problemaut.png/
Fatto disegnino