Cilindro piano inclinato
Gentili utenti,
vi tedio ancora con un problemino di fisica sul rotolamento:
Un cilindro pieno rotola su un piano inclinato di 34° senza strisciare.
la velocità del centro di massa quando il cilindro è alla base del piano è 5,18 m/s
Il cilindro sale sul piano e a un certo punto si ferma.
calcolare
1) quanto spazio ha percorso
2)il tempo che impiega a scendere
3) l'angolo spazzato dal cilindro "andata e ritorno"
Il mio ragionamento:
Per il primo punto applico il principio di conservazione dell'energia meccanica (infatti non si parla di attriti) e moltiplico l'altezza per il seno di 34 e infatti il risultato mi dà 3,424 m (sul libro risulta 3,43, ma credo sia questione di approsimazione).
Il vero problema sorge nel secondo punto, probabilmente non ho ben capito il rotolamento, comunque io ho pensato a questo:
il tempo di discesa del cilindro è il medesimo di quello del centro di massa, quindi tratto solo l'aspetto traslazionale del moto del centro di massa:
è un moto uniformemente accelerato, lo spazio iniziale è quello del primo punto, la velocità iniziale è zero, quindi ho:
$(1/2at^2=-s0)
però c'è qualcosa che non funziona....
Il terzo punto è banale, lo ho postato solo per non tralasciare nulla, ma a mio avviso basta dividere lo spazio totale per il raggio per ottenere l'angolo in radianti
Vi ringrazio per le risposte
vi tedio ancora con un problemino di fisica sul rotolamento:
Un cilindro pieno rotola su un piano inclinato di 34° senza strisciare.
la velocità del centro di massa quando il cilindro è alla base del piano è 5,18 m/s
Il cilindro sale sul piano e a un certo punto si ferma.
calcolare
1) quanto spazio ha percorso
2)il tempo che impiega a scendere
3) l'angolo spazzato dal cilindro "andata e ritorno"
Il mio ragionamento:
Per il primo punto applico il principio di conservazione dell'energia meccanica (infatti non si parla di attriti) e moltiplico l'altezza per il seno di 34 e infatti il risultato mi dà 3,424 m (sul libro risulta 3,43, ma credo sia questione di approsimazione).
Il vero problema sorge nel secondo punto, probabilmente non ho ben capito il rotolamento, comunque io ho pensato a questo:
il tempo di discesa del cilindro è il medesimo di quello del centro di massa, quindi tratto solo l'aspetto traslazionale del moto del centro di massa:
è un moto uniformemente accelerato, lo spazio iniziale è quello del primo punto, la velocità iniziale è zero, quindi ho:
$(1/2at^2=-s0)
però c'è qualcosa che non funziona....
Il terzo punto è banale, lo ho postato solo per non tralasciare nulla, ma a mio avviso basta dividere lo spazio totale per il raggio per ottenere l'angolo in radianti
Vi ringrazio per le risposte
Risposte
"newton_1372":
Ecco, è la mia stessa domanda...per non contare che il teorema di Steiner non andrebbe usato, perchè in effett il cilindro ruota ATTORNO AL PROPRIO ASSE DI SIMMETRIA...QUINDI in effetti quel momento d'inerzia dovrebbe essere semplicemente $1/2 MR^2$...
E cmq non ci sarebbe niente che mi proibisca di utilizzare quella formula cinematica...eppure non viene...ci sfugge qlcs
No -la sfera -oppure un eventuale cilindro, NON
stanno ruotando attorno ad un asse centrale.
Fai una "fotografia", una "istantanea": il CENTRO DI ISTANTANEA ROTAZIONE è il
punto di contatto con il piano inclinato.
Ah -sì, vedo ora che già mattcryo aveva detto così.
Perchè non riesco a crederci?: Il cilindro dopo tutto sta RUOTANDO SU SE STESSO, per dindirindina!
Sul perchè si usi la seconda delle equazioni cardinali, cioè $M-I\dot\omega=0$ e non la prima, cioè $F-ma=0$_
dico quello che finora mi è venuto in mente.
Io penso che è da considerare che ogni atto di moto rigido in 3D è roto-traslatorio.
Ovvero vi è una velocità di traslazione ed una di rotazione INDIPENDENTI.
Ed applico la prima equazione per la traslazione, e la seconda per la rotazione.
In 2D un atto di moto rigido è SOLO traslatorio oppure SOLO rotatorio.
Per cui applico la seconda equazione cardinale:
$M-I\dot\omega=0$.
dico quello che finora mi è venuto in mente.
Io penso che è da considerare che ogni atto di moto rigido in 3D è roto-traslatorio.
Ovvero vi è una velocità di traslazione ed una di rotazione INDIPENDENTI.
Ed applico la prima equazione per la traslazione, e la seconda per la rotazione.
In 2D un atto di moto rigido è SOLO traslatorio oppure SOLO rotatorio.
Per cui applico la seconda equazione cardinale:
$M-I\dot\omega=0$.
Quindi in pratica mi confondevo proprio su come considerare l'asse di rotazione grazie mille!
Per newton_1327:
essendo $v_(cm)=\omega*r$
e anche la velocità tangenziale
$v_t=\omega*r$
e sapendo che tutti gli elementi della ruota si muovono alla stessa velocità del centro di massa abbiamo che per il punto di contatto:
$v=v_cm-v_t=0$
grazie mille!Per newton_1327:
essendo $v_(cm)=\omega*r$
e anche la velocità tangenziale
$v_t=\omega*r$
e sapendo che tutti gli elementi della ruota si muovono alla stessa velocità del centro di massa abbiamo che per il punto di contatto:
$v=v_cm-v_t=0$
Allora vi dico cosa immagino io. C'è una ruota (o un cilindro) che gira e trasla. Se non traslasse, il suo asse di rotazione passerebbe banalmente per il centro e sarebbe perpendicolare al piano della ruoota. Poichè la ruota trasla, l'asse di rotazione (passante per il centro) "SI MUOVE" INsieme al cilindro o alla bici. Corretto?
il cambiamento dell'asse di rotazione nel tempo NON è moto del corpo.
Lo so che è sbalorditivo -la prima volta che ci si imbatte in ciò.
Se si considera in un istante (descrizione "euleriana") il campo di velocità, si vedrà
che tutti i punti hanno una velocità tranne il punto di contatto con il suolo.
Io sto parlando di ATTO DI MOTO, cioè appunto la distribuzione di velocità ad un certo istante -e non di legge oraria del moto.
Lo so che è sbalorditivo -la prima volta che ci si imbatte in ciò.
Se si considera in un istante (descrizione "euleriana") il campo di velocità, si vedrà
che tutti i punti hanno una velocità tranne il punto di contatto con il suolo.
Io sto parlando di ATTO DI MOTO, cioè appunto la distribuzione di velocità ad un certo istante -e non di legge oraria del moto.
Vediamo se ho capito.
Abbiamo due modi per considerare il modo in cui questa ruota si muove (sistema di riferimento col suolo).
PRIMO MODO: Il centro di massa trasla con velocità V e la ruota gira con velocità lineare \omega R=V. Per una questione di moti relativi, avrò $omega_{"tot"}=2V/R$
SECONDO MODO: Possiamo considerare il corpo come se stesse solo RUOTANDO, ma considerando come asse di rotazione quello passante per il punto di contatto e perpendicolare al piano della ruota. In questo caso avremmo $\omega = V/(2R)$
Niente da fare...
Mi spiegheresti perchè il punto di contatto rimane FERMO?
Abbiamo due modi per considerare il modo in cui questa ruota si muove (sistema di riferimento col suolo).
PRIMO MODO: Il centro di massa trasla con velocità V e la ruota gira con velocità lineare \omega R=V. Per una questione di moti relativi, avrò $omega_{"tot"}=2V/R$
SECONDO MODO: Possiamo considerare il corpo come se stesse solo RUOTANDO, ma considerando come asse di rotazione quello passante per il punto di contatto e perpendicolare al piano della ruota. In questo caso avremmo $\omega = V/(2R)$
Niente da fare...
Mi spiegheresti perchè il punto di contatto rimane FERMO?
Vediamo se ho capito.
Abbiamo due modi per considerare il modo in cui questa ruota si muove (sistema di riferimento col suolo).
PRIMO MODO: Il centro di massa trasla con velocità V e la ruota gira con velocità lineare \omega R=V. Per una questione di moti relativi, avrò $omega_{"tot"}=2V/R$
SECONDO MODO: Possiamo considerare il corpo come se stesse solo RUOTANDO, ma considerando come asse di rotazione quello passante per il punto di contatto e perpendicolare al piano della ruota. In questo caso avremmo $\omega = V/(2R)$
Niente da fare...
Mi spiegheresti perchè il punto di contatto rimane FERMO?
Abbiamo due modi per considerare il modo in cui questa ruota si muove (sistema di riferimento col suolo).
PRIMO MODO: Il centro di massa trasla con velocità V e la ruota gira con velocità lineare \omega R=V. Per una questione di moti relativi, avrò $omega_{"tot"}=2V/R$
SECONDO MODO: Possiamo considerare il corpo come se stesse solo RUOTANDO, ma considerando come asse di rotazione quello passante per il punto di contatto e perpendicolare al piano della ruota. In questo caso avremmo $\omega = V/(2R)$
Niente da fare...
Mi spiegheresti perchè il punto di contatto rimane FERMO?
Lo avevo scritto io prima...
Mi spiego meglio:
considera il centro di massa che trasla per fatti suoi con
$v=\omega*r
e la ruota che gira con velocità tangenziale
$v_t=\omegaR
quindi in pratica hanno la stessa velocità!!
Se ti fai uno schema delle forze, nel punto di contatto le rette di azioni delle velocità sono discordi e si sottraggono annullandosi
Mi spiego meglio:
considera il centro di massa che trasla per fatti suoi con
$v=\omega*r
e la ruota che gira con velocità tangenziale
$v_t=\omegaR
quindi in pratica hanno la stessa velocità!!
Se ti fai uno schema delle forze, nel punto di contatto le rette di azioni delle velocità sono discordi e si sottraggono annullandosi
Ah già! Perchè la velocità è tangente alla traiettoria, e nel punto piu basso sarà quindi parallela a V traslazionale! Capisco!
Mi sai rispondere riguardo al 2)? Lo spiego meglio. Cè un qualunque corpo che è composto da più parti di raggio diverso (per esempio un tubo con collegati due dischi di diametro maggiore, o magari semplicemente un bicchierino da caffè a forma di tronco di cono [off topic...prova a imprimere a un bicchierino da caffè una velocità iniziale diretta lungo il centro di massa e parallela al tavolo...otterrai una sorpresa!]. Se io "Tiro" la corda con una forza (e quindi la tensione esercita un certo momento sul sistema) Come mi determino il MOMENTO DI TUTTO IL SISTEMA? Mi spiego meglio...ho elementi di raggio diverso...nella relazione
$\tau= FR$ Cosa devo prendere per "R"? Perchè in questo caso ci sono R diversi...
Mi sai rispondere riguardo al 2)? Lo spiego meglio. Cè un qualunque corpo che è composto da più parti di raggio diverso (per esempio un tubo con collegati due dischi di diametro maggiore, o magari semplicemente un bicchierino da caffè a forma di tronco di cono [off topic...prova a imprimere a un bicchierino da caffè una velocità iniziale diretta lungo il centro di massa e parallela al tavolo...otterrai una sorpresa!]. Se io "Tiro" la corda con una forza (e quindi la tensione esercita un certo momento sul sistema) Come mi determino il MOMENTO DI TUTTO IL SISTEMA? Mi spiego meglio...ho elementi di raggio diverso...nella relazione
$\tau= FR$ Cosa devo prendere per "R"? Perchè in questo caso ci sono R diversi...
beh non puoi... puoi applicare soltanto che la somma dei momenti esterni è uguale a I alfa
Visto che è umanamente impossibile sommare tutti i momenti delle parti infinitesime, consideri tanti cilindretti e sommi i momenti di inerzia di ogni cilindretto.
O vai con un integrale inventandoti una funzione del raggio o approssimi a un numero finito di cilindri di raggio noto
Mi spiego per bene
sai che
$\sum\tau_(ext)=I\(alfa)
per trovare il momento di inerzia sommi i momenti dei cilindri infinitesimi che compongono il tronco di cono. Se riesci a trovare una funzione che lega raggio e altezza del tronco usa un integrale, altrimenti devi approssimare calcolando un numero finito di cilindri manualmente
Visto che è umanamente impossibile sommare tutti i momenti delle parti infinitesime, consideri tanti cilindretti e sommi i momenti di inerzia di ogni cilindretto.
O vai con un integrale inventandoti una funzione del raggio o approssimi a un numero finito di cilindri di raggio noto
Mi spiego per bene
sai che
$\sum\tau_(ext)=I\(alfa)
per trovare il momento di inerzia sommi i momenti dei cilindri infinitesimi che compongono il tronco di cono. Se riesci a trovare una funzione che lega raggio e altezza del tronco usa un integrale, altrimenti devi approssimare calcolando un numero finito di cilindri manualmente
Che vuoi che sia...è una retta la funzione tre altezza e cilindro...dopo ci lavoro...
comunque nel problema esatto ho questa situazione.
Due dischi raggio R collegati da un tubo di raggio r. Per mezzo di una fune attorcigliata attorno al centro di massa del sistema dischi + cilindro applico una forza. Io devo capire quanto girano le ruote.
Visto che la F la applico al tubo, e non direttamente alle ruote, qual'è il momento che tenderà a far girare le ruote?
comunque nel problema esatto ho questa situazione.
Due dischi raggio R collegati da un tubo di raggio r. Per mezzo di una fune attorcigliata attorno al centro di massa del sistema dischi + cilindro applico una forza. Io devo capire quanto girano le ruote.
Visto che la F la applico al tubo, e non direttamente alle ruote, qual'è il momento che tenderà a far girare le ruote?
Beh non so come ruota il sistema, dove è ancorato? È su un piano? Sospeso in aria?
Su un piano...però mi chiedevo nel considerare i diversi momenti delle ruote e del cilindro, devo considerare sempre F? F è applicata nell'ascissa del centro di massa, non esattamente nella ruota...
Credo sia la stessa risoluzione di questo problema considerando come momento di inerzia la somma dei momenti delle parti costituenti
Il momento di inerzia è chiaro...quello che non mi è chiaro è cosa devo mettere nei momenti DELLE FORZE. Cioè non capisco
1) Cosa devo mettere al posto della forza
2). Cosa devo mettere al posto del raggio...
1) Cosa devo mettere al posto della forza
2). Cosa devo mettere al posto del raggio...
L'asse di rotazione è quello a terra, prova mettendo la forza che applichi tu e come raggio la distanza dal suolo
$m_A$: massa dell'asta.
$m_D$: massa del disco.
$r$: raggio del disco.
Prima equazione cardinale della dinamica per l'asta: $F-2R_i=m_Aa$
Prima equazione cardinale della dinamica per il disco: $R_i-R_e=m_Da$
Seconda equazione cardinale della dinamica per il disco rispetto al punto di contatto: $R_ir=3/2m_Dr^2\alpha$
Vincolo cinematico: $a=\alphar$
Si ottiene un sistema di $4$ equazioni nelle $4$ incognite $a$, $\alpha$, $R_i$ e $R_e$. E' interessante esplicitare almeno $\alpha$:
$\alpha=(Fr)/(m_Ar^2+3m_Dr^2)
Si può allora notare come fosse possibile determinare $\alpha$ più sinteticamente: poichè le reazioni vincolari esterne rispetto all'asse che passa per i due punti di contatto hanno momento nullo, è possibile scrivere la seconda equazione cardinale della dinamica per l'intero sistema riferita a questo asse, considerando la sola forza esterna $F$ e prendendo il momento d'inerzia dell'intero sistema rispetto all'asse medesimo:
$Fr=(m_Ar^2+2*3/2m_Dr^2)\alpha rarr \alpha=(Fr)/(m_Ar^2+3m_Dr^2)$
Ma considerando che la sbarra ha anch'essa un raggio (è un piccolo cilindro) e considerando che la forza è applicata tangenzialmente? COme mi regolo? Nel momento devo tener conto del raggio del tubo o di quello del cilindro?
(Grazie davvero per il tempo che hai speso!!!)
(Grazie davvero per il tempo che hai speso!!!)
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