Cilindro di ghiaccio che si scioglie $D=D(t)$
Ciao. Devo calcolare il tempo necessario perché un cilindro di ghiaccio posto con l'asse perpendicolare al terreno si sciolga.
Ha senso non considerare, a differenza dell'altezza, il diametro variabile nel tempo?
Ha senso non considerare, a differenza dell'altezza, il diametro variabile nel tempo?
Risposte
Uh che brutto esercizio.
Dipende molto da come ti viene chiesto di svolgerlo.
Uno svolgimento rigoroso impone di considerare che il cilindro cambia forma durante lo scioglimento, cioè non è più un cilindro.
Gli spigoli si sciolgono più in fretta.
La temperatura iniziale del ghiaccio ?
La faccia appoggiata a terra si assume coibentata ?
Prova a mettere il testo completo.
Dipende molto da come ti viene chiesto di svolgerlo.
Uno svolgimento rigoroso impone di considerare che il cilindro cambia forma durante lo scioglimento, cioè non è più un cilindro.
Gli spigoli si sciolgono più in fretta.
La temperatura iniziale del ghiaccio ?
La faccia appoggiata a terra si assume coibentata ?
Prova a mettere il testo completo.
Il fatto è che non c'è un testo perché sono esercizi che capitano all'orale.
La temperatura iniziale del ghiaccio è $0 °C$. Assumiamo che la faccia appoggiata a terra sia coibentata e che il cilindro, durante lo scioglimento, rimanga tale. Con queste ipotesi, posso assumere il diametro costante nel tempo?
La temperatura iniziale del ghiaccio è $0 °C$. Assumiamo che la faccia appoggiata a terra sia coibentata e che il cilindro, durante lo scioglimento, rimanga tale. Con queste ipotesi, posso assumere il diametro costante nel tempo?
perdonami, ma io credo che debba in qualche modo esserti detto qualcosa in più sulle condizioni in cui si trova il cilindro.
nella "realtà", tendenzialmente il cilindro non rimane tale. in particolare la base a contatto col pavimento tendenzialmente avrà diametro minore rispetto al diametro della faccia superiore. questo nel caso in cui il pavimento sia un isolante "peggiore" dell'aria e sia permesso, quindi, un più veloce scambio di calore tra cilindro e pavimento rispetto a cilindro e aria.
se la faccia inferiore è invece coibentata (che dovrebbe essere sinonimo di "adiabatica" in qualche modo), allora vi è scambio di calore solo sulla restante superficie. e quindi il diametro della faccia superiore tenderà a diventare sempre più piccolo rispetto a quello inferiore, che comunque si ridurrà.
questi due ragionamenti valgono a prescindere dal considerare o meno che gli spigoli si sciolgano o meno. se si sciolgono, le basi avranno estremità smussate e, quindi, si potrebbe dire che il raggio diminuisce ancor più velocemente.
se ancora puoi considerare il ghiaccio come se fosse semplicemente in un ambiente in cui "ogni suo punto sulla superficie" scambia calore con l'ambiente con la stessa velocità, allora è l'equivalente di immaginare un cilindro di ghiaccio sospeso in aria. in questo caso il diametro varia nel tempo con lo stesso andamento per tutta la lunghezza del cilindro (mettiamo sempre l'ipotesi che gli spigoli non diventino tondeggianti).
credo che l'unico caso in cui puoi considerare trascurabile la variazione del diametro nel tempo, sia quello in cui il cilindro sia "molto alto" e con basi "molto strette", tipo uno spaghetto. in questo caso puoi dire che in un intervallo "relativamente breve" di tempo, la variazione del diametro dello spaghetto sia "trascurabile".
in ogni caso, convieni con me che non puoi imporre che il cilindro abbia diametro costante se vuoi calcolare il tempo necessario per cui si sciolga. alla fine di tutto, hai una pozzanghera di acqua o.O
a meno che tu non voglia ragionare come: "l'acqua che si forma rimane nella posizione in cui si trovava inizialmente", il che equivarrebbe a pensare al cilindro di ghiaccio come se fosse contenuto in un recipiente anch'esso cilindrico, con diametro interno pari a quello del cilindro. anche questo caso però, sarebbe idealizzato perchè il ghiaccio ha densità maggiore dell'acqua =>a parità di massa, occupa volume maggiore => il cilindro ha altezza o diametro o entrambi (dipende dal considerare o meno se sta dentro un recipiente), maggiore rispetto a quello che avrà una volta che diventa acqua.
insomma... tanti ragionamenti .-.
nessuno mi pare possa rendere davvero ragionevole l'ipotesi che il diametro rimanga costante. ma, se accetti tali ipotesi, puoi semplicemente usare la legge di stefan-boltzmann per la radiazione termica di un corpo ( http://it.wikipedia.org/wiki/Radiazione_termica ).
scusami se ho fatto solo un lungo discorso qualitativo: essenzialmente neanche io saprei rispondere ad una domanda simile in termini quantitativi. sarei al più in grado di buttar giù qualche calcolo usando proprio la legge che ho appena citato e nelle ipotesi che ho appena detto.
se ho detto qualche castroneria, lieto di venir bacchettato ^^
nella "realtà", tendenzialmente il cilindro non rimane tale. in particolare la base a contatto col pavimento tendenzialmente avrà diametro minore rispetto al diametro della faccia superiore. questo nel caso in cui il pavimento sia un isolante "peggiore" dell'aria e sia permesso, quindi, un più veloce scambio di calore tra cilindro e pavimento rispetto a cilindro e aria.
se la faccia inferiore è invece coibentata (che dovrebbe essere sinonimo di "adiabatica" in qualche modo), allora vi è scambio di calore solo sulla restante superficie. e quindi il diametro della faccia superiore tenderà a diventare sempre più piccolo rispetto a quello inferiore, che comunque si ridurrà.
questi due ragionamenti valgono a prescindere dal considerare o meno che gli spigoli si sciolgano o meno. se si sciolgono, le basi avranno estremità smussate e, quindi, si potrebbe dire che il raggio diminuisce ancor più velocemente.
se ancora puoi considerare il ghiaccio come se fosse semplicemente in un ambiente in cui "ogni suo punto sulla superficie" scambia calore con l'ambiente con la stessa velocità, allora è l'equivalente di immaginare un cilindro di ghiaccio sospeso in aria. in questo caso il diametro varia nel tempo con lo stesso andamento per tutta la lunghezza del cilindro (mettiamo sempre l'ipotesi che gli spigoli non diventino tondeggianti).
credo che l'unico caso in cui puoi considerare trascurabile la variazione del diametro nel tempo, sia quello in cui il cilindro sia "molto alto" e con basi "molto strette", tipo uno spaghetto. in questo caso puoi dire che in un intervallo "relativamente breve" di tempo, la variazione del diametro dello spaghetto sia "trascurabile".
in ogni caso, convieni con me che non puoi imporre che il cilindro abbia diametro costante se vuoi calcolare il tempo necessario per cui si sciolga. alla fine di tutto, hai una pozzanghera di acqua o.O
a meno che tu non voglia ragionare come: "l'acqua che si forma rimane nella posizione in cui si trovava inizialmente", il che equivarrebbe a pensare al cilindro di ghiaccio come se fosse contenuto in un recipiente anch'esso cilindrico, con diametro interno pari a quello del cilindro. anche questo caso però, sarebbe idealizzato perchè il ghiaccio ha densità maggiore dell'acqua =>a parità di massa, occupa volume maggiore => il cilindro ha altezza o diametro o entrambi (dipende dal considerare o meno se sta dentro un recipiente), maggiore rispetto a quello che avrà una volta che diventa acqua.
insomma... tanti ragionamenti .-.
nessuno mi pare possa rendere davvero ragionevole l'ipotesi che il diametro rimanga costante. ma, se accetti tali ipotesi, puoi semplicemente usare la legge di stefan-boltzmann per la radiazione termica di un corpo ( http://it.wikipedia.org/wiki/Radiazione_termica ).
scusami se ho fatto solo un lungo discorso qualitativo: essenzialmente neanche io saprei rispondere ad una domanda simile in termini quantitativi. sarei al più in grado di buttar giù qualche calcolo usando proprio la legge che ho appena citato e nelle ipotesi che ho appena detto.
se ho detto qualche castroneria, lieto di venir bacchettato ^^
Visto che il cilindro si sta sciogliendo, siamo in transiazione di fase e quindi avrò un $(dm)/(dt)r_(fus)$
Cercavo allora una correlazione tra l'area del cilindro e la massa.
Avevo scritto:
$A=pir^2+pirL$
$V=pir^2L$
$V=V_i-m/rho$, $V_i=$volume iniziale
Per questo avevo pensato all'idea se si potesse o no assumere $r=cost$.
Cercavo allora una correlazione tra l'area del cilindro e la massa.
Avevo scritto:
$A=pir^2+pirL$
$V=pir^2L$
$V=V_i-m/rho$, $V_i=$volume iniziale
Per questo avevo pensato all'idea se si potesse o no assumere $r=cost$.
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