Cilindro che rotola contro pareti con attrito

[caffeinaplus]

Salve a tutti

Prima o poi passo a un eserciziario con gli svolgimenti oltre che le soluzioni numeriche (anzi, se qualcuno ha qualche suggerimento ... )

Questa volta ho

Un cilindro uniforme di raggio $R$ viene fatto ruotare intorno al proprio asse con velocità angolare $w_0$ e poi piazzato in uno spigolo formato da un piano orizzontale ed uno verticale (vedi figura).
Il coefficiente di attrito dinamico tra i piani che definiscono l’angolo ed il cilindro vale $mu$.
Quanti giri compie il cilindro prima di fermarsi?

Parto premettendo che l'esercizio sono riuscito a completarlo, solo che non mi è chiara una scelta che è stata fatta, dato che non mi sembra fisicamente sensata o comunque io non riesco a giustificarla.
Quindi diciamo che l'ho quasi risolto

Passiamo ai fatti:

Si osserva subito che nel sistema agiscono "attivamente" solo le forze di attrito, che sono forze dissipative e la forza di gravità che poi è legata a queste.

Ci interessa studiare il moto da un iniziale stato di movimento fino a quello di velocità nulla, quindi la sua energia cinetica subirà una variazione del tipo

$DeltaK = -1/2Iw_0^2$

Dove $I=1/2mR^2$

Dato che questa energia cinetica viene dissipata fino ad annullarsi possiamo dire che

$1/2Iw_0^2 = F_D*R*2pin=M_D*2pin$

Quindi l'esercizio si basa sul calcolare le forze in azione.

Partiamo facendo delle semplici considerazioni e arriviamo subito al punto cruciale:

La forza di attrito che agisce sul muro verticale è strettamente legata alla accelerazione data forza di attrito del muro orizzontale e viceversa.
In poche parole, dove $N$ è la reazione del muro verticale:

$F_(AN) = muma_x=mu(F_A-N)$
$F_A=muma_y=mu(mg-F_(AN))$

E' infatti vero che quando il muro spinge contro il muro verticale il suo attrito reagisce con una forza verticale che ne riduce l'accelerazione verso il basso e quindi l'accelerazione orizzontale.

Ora, il succo è: se considero $N$ il risultato esce sbagliato, ovvero non saprei come calcolarla e non mi riesce di farla scomparire dalle equazioni.
Se trascuro la risposta del muro orizzontale contro la spinta invece l'esercizio viene risolto correttamente.

C'è un motivo logico per cui dovrei far finta che il muro non risponde alla forza esercitata dal cilindro che "spinge" o c'è qualche errore nel mio procedimento?

Grazie mille

Soluzione: $(w_0^2R)/(8pig)*(mu^2+1)/(mu(mu+1))$

[anonymous_0b37e9]

Equilibrio alla traslazione

$[-\mu_dR_V+R_H=0] ^^ [-mg+R_V+\mu_dR_H=0] rarr [R_H=(\mu_dmg)/(\mu_d^2+1)] ^^ [R_V=(mg)/(\mu_d^2+1)]$

Seconda equazione cardinale della dinamica

$[M=I\alpha] rarr [\mu_dr((\mu_dmg)/(\mu_d^2+1)+(mg)/(\mu_d^2+1))=1/2mr^2\alpha] rarr
[\alpha=(2g\mu_d(\mu_d+1))/(r(\mu_d^2+1))]$

Numero di giri

$[n=\omega_0^2/(4\pi\alpha)] rarr [n=(\omega_0^2r(\mu_d^2+1))/(8\pig\mu_d(\mu_d+1))]$

[caffeinaplus]

Edit: il mio errore era nel supporre $a_x !=0$, se cosi fosse il cilindro attraverserebbe il muro

[anonymous_0b37e9]

Mentre $R_V$ è la reazione vincolare esercitata dal piano orizzontale, diretta lungo la verticale, e $R_H$ è la reazione vincolare esercitata dal piano verticale, diretta lungo l'orizzontale, $\mu_dR_V$ e $\mu_dR_H$ sono le rispettive forze di attrito. Insomma, al netto della forza peso, non si comprende quali altre forze si dovrebbero considerare.

P.S.
Ho visto la tua modifica.

[caffeinaplus]

Grazie mille