Cilindro cavo e campo magnetico
Buongiorno,
Una superficie cilindrica con asse lungo $z$ di raggio $a$ e altezza $h$ ha una resistenza $R$ e un'autoinduttanza $L$.Nello spazio è presente un campo magnetico $B$ diretto lungo $z$. Il campo magnetico $B$ è nullo per $t<0$ e pari a $B_0$ (costante) per $t>0$. Devo calcolare 1) la corrente nel cilindro e 2)la forza elettromotrice indotta all'interno del cilindro dal campo magnetico in funzione del tempo.
Per quanto riguarda 1) la corrente avrà una discontinuità in $t=0$ dopodiché seguirà l'andamento di un esponenziale decrescente pari a $i(t)=ce^(-R/Lt)$ con c costante da determinare con la condizione iniziale. Come calcolo la condizione iniziale? Pensavo di fare così $ \int_{0^-}^{0^+}Ridt = - \int_{0^-}^{0^+}(Ldi/(dt) + \pi a^2 dB/(dt))dt$ per ricavarmi la corrente in $t=0^+$ ma evidentemente il primo membro mi dà problemi.
Stesso discorso per la forza elettromotrice 2) $2\pi r E_(\theta) = \pi r^2 dB/(dt)$. Come calcolo $E_(\theta)$ per integrazione?Dovrebbe venirmi un'impulso nell'origine credo.
Grazie
Una superficie cilindrica con asse lungo $z$ di raggio $a$ e altezza $h$ ha una resistenza $R$ e un'autoinduttanza $L$.Nello spazio è presente un campo magnetico $B$ diretto lungo $z$. Il campo magnetico $B$ è nullo per $t<0$ e pari a $B_0$ (costante) per $t>0$. Devo calcolare 1) la corrente nel cilindro e 2)la forza elettromotrice indotta all'interno del cilindro dal campo magnetico in funzione del tempo.
Per quanto riguarda 1) la corrente avrà una discontinuità in $t=0$ dopodiché seguirà l'andamento di un esponenziale decrescente pari a $i(t)=ce^(-R/Lt)$ con c costante da determinare con la condizione iniziale. Come calcolo la condizione iniziale? Pensavo di fare così $ \int_{0^-}^{0^+}Ridt = - \int_{0^-}^{0^+}(Ldi/(dt) + \pi a^2 dB/(dt))dt$ per ricavarmi la corrente in $t=0^+$ ma evidentemente il primo membro mi dà problemi.
Stesso discorso per la forza elettromotrice 2) $2\pi r E_(\theta) = \pi r^2 dB/(dt)$. Come calcolo $E_(\theta)$ per integrazione?Dovrebbe venirmi un'impulso nell'origine credo.
Grazie
Risposte
"RuCoLa":
... Come calcolo la condizione iniziale? ...
Direi che se dai un'occhiata all'equazione differenziale lo vedi subito quale sarà la discontinuità per la corrente in t=0.
L'unica cosa che mi viene in mente è che se integro una quantità finita ($Ri$) in un intervallo infinitesimo $dt$ l'integrale a sinistra dovrebbe fare zero. Potrebbe andare? Tuttavia come faccio ad assicurarmi che $i$ sia una quantità finita? Col punto 2) sono proprio bloccato. Potresti darmi un aiuto in più? 
Scusa, ma leggi le risposte che ti si danno? 
Certo! É per questo che ho fatto il post. Solo che non riesco a capire cosa dovrei vedere. Potresti chiarire cosa intedi per favore?
Certo, ti va di postare l'equazione differenziale associata al sistema?
L'equazione dovrebbe essere questa $Ri = -Ldi/(dt) - pi a^2 dB/(dt)$. Non so come procedere a causa della discontinuità di $B$.
Diciamo quindi che è del tipo
$L\frac{text {d}i(t)}{\text {d}t} +Ri(t)=k \delta(t) $
e a questo punto ti chiedo: qual'è l'unico possibile "bilanciamento" di quella uguaglianza?
Il problema puoi anche risolverlo via Laplace, scrivendo la funzione di trasferimento per la rete R L come rapporto uscita/ingresso \(H(s)=I(s)/V(s)\) e ricordando che l'antitrasformata di $H(s)$ corrisponde alla risposta del sistema ad un ingresso ...
$L\frac{text {d}i(t)}{\text {d}t} +Ri(t)=k \delta(t) $
e a questo punto ti chiedo: qual'è l'unico possibile "bilanciamento" di quella uguaglianza?
Il problema puoi anche risolverlo via Laplace, scrivendo la funzione di trasferimento per la rete R L come rapporto uscita/ingresso \(H(s)=I(s)/V(s)\) e ricordando che l'antitrasformata di $H(s)$ corrisponde alla risposta del sistema ad un ingresso ...
Mmm direi che anche $Ldi/(dt) =Li_0 \delta(t)$? Ed $Ri$? Scusami ma sull'argomento non credo di essere molto preparato...
Intendo dire che un impulso non può che essere "bilanciato" da un altro impulso di pari ampiezza, e quindi
$L[i(0^+)-i(0^-)]=k$
mentre il termine finito è ininfluente in questo bilanciamento [nota]Equivalente al tuo metodo integrale che, segni a parte, è corretto.[/nota]; normalmente in elettronica si dimostra risolvendo l'equazione differenziale via Laplace.
$L[i(0^+)-i(0^-)]=k$
mentre il termine finito è ininfluente in questo bilanciamento [nota]Equivalente al tuo metodo integrale che, segni a parte, è corretto.[/nota]; normalmente in elettronica si dimostra risolvendo l'equazione differenziale via Laplace.
Okay credo di aver capito, grazie.
Quindi per il 2) la forza eletteomotrice indotta é $E = rB_0/2delta(t)$. É possibile ottenere lo stesso risultato col metodo integrale?
Quindi per il 2) la forza eletteomotrice indotta é $E = rB_0/2delta(t)$. É possibile ottenere lo stesso risultato col metodo integrale?
"RuCoLa":
... Quindi per il 2) la forza eletteomotrice indotta é $E = rB_0/2delta(t)$.
Direi che il campo elettrico, non la fem, avrà una sola componente non nulla
$E_\theta =- rB_0/2delta(t)$
mentre la fem $\epsilon$ corrisponde all'integrale di linea del suddetto campo lungo la generica circonferenza di raggio $r$.
"RuCoLa":
... É possibile ottenere lo stesso risultato col metodo integrale?
Certo, come hai fatto nel tuo post introduttivo,
"RuCoLa":
... Stesso discorso per la forza elettromotrice 2) $2\pi r E_(\theta) = \pi r^2 dB/(dt)$.
ricavandoti la fem
$\abs{\epsilon}=2\pi r \abs{E_(\theta)} = \pi r^2 \frac {\text{d}B(t)}{\text{d}t}= \pi r^2 \frac {\text{d}(B_0u(t))}{\text{d}t}= \pi r^2 B_0\delta(t)$
Okay grazie di tutto l'aiuto.
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