Cilindro cavo di materiale dielettrico in rotazione
scusate mi potete dire se in questo esercizio ho proprio sbagliato procedimento o se ho fatto un errore di distrazione? (perchè il risultato finale torna diverso da quello del libro e su questo argomento sono un pò incerto..)
Un cilindro dielettrico indefinito cavo, di permittività dielettrica relativa $εr=101$ e raggio interno $a = 5 cm$ ed
esterno $b = 10 cm$, viene messo in rotazione con velocità angolare $ω= 104 rad/s$ attorno al suo asse.
Il cilindro è sottoposto a un campo $B$, uniforme, di modulo 1 $T$, diretto lungo l'asse del cilindro. Per effetto della rotazione e della forza di Lorentz che agisce sulle cariche il dielettrico si polarizza e nasce un campo di polarizzazione $P$ al suo interno.
Si chiede di calcolare: la carica di polarizzazione e il vettore di polarizzazione P
Le cariche sono soggette a una forza per unità di carica di Lorentz:
$E'=v×B$
In coordinate cilindriche:
$v=ωr u_θ$
calcolo il flusso di $D$ attraverso una superficie cilindrica di raggio $r$ $a
allora
$ Q=2pihomegabetaepsi_0epsi_r $
calcolo il flusso di del campo elettrico attraverso la medesia superfiscie
$ int_(Sigma)E dSigma=2Epirh=(Q+Q_p)/epsi_o $
calcolo adesso la carica di polarizzazone (contenuta nel cilindro di raggio $r$ ed altezza $h$)
ed ottengo
$Q_p=epsi_0omegabeta2pihr^2(1-epsi_r)$
posso quindi calcolare la densita di carica di polarizzazione ed ottengo
$sigma_(p_a)=epsi_0omegabetaa(1-epsi_r)$
mentre sull altra superficie ottengo
$sigma_(p_b)=-epsi_0omegabetab(1-epsi_r)$
inoltre sapendo che
$σ=P⋅u_n $
allora
$P=epsi_0omegabetar(1-epsi_r)$
Un cilindro dielettrico indefinito cavo, di permittività dielettrica relativa $εr=101$ e raggio interno $a = 5 cm$ ed
esterno $b = 10 cm$, viene messo in rotazione con velocità angolare $ω= 104 rad/s$ attorno al suo asse.
Il cilindro è sottoposto a un campo $B$, uniforme, di modulo 1 $T$, diretto lungo l'asse del cilindro. Per effetto della rotazione e della forza di Lorentz che agisce sulle cariche il dielettrico si polarizza e nasce un campo di polarizzazione $P$ al suo interno.
Si chiede di calcolare: la carica di polarizzazione e il vettore di polarizzazione P
Le cariche sono soggette a una forza per unità di carica di Lorentz:
$E'=v×B$
In coordinate cilindriche:
$v=ωr u_θ$
calcolo il flusso di $D$ attraverso una superficie cilindrica di raggio $r$ $a
allora
$ Q=2pihomegabetaepsi_0epsi_r $
calcolo il flusso di del campo elettrico attraverso la medesia superfiscie
$ int_(Sigma)E dSigma=2Epirh=(Q+Q_p)/epsi_o $
calcolo adesso la carica di polarizzazone (contenuta nel cilindro di raggio $r$ ed altezza $h$)
ed ottengo
$Q_p=epsi_0omegabeta2pihr^2(1-epsi_r)$
posso quindi calcolare la densita di carica di polarizzazione ed ottengo
$sigma_(p_a)=epsi_0omegabetaa(1-epsi_r)$
mentre sull altra superficie ottengo
$sigma_(p_b)=-epsi_0omegabetab(1-epsi_r)$
inoltre sapendo che
$σ=P⋅u_n $
allora
$P=epsi_0omegabetar(1-epsi_r)$
Risposte
Direi che, ricavato il vettore campo elettrico $\vecE(r)$ via Lorentz, si può determinare direttamente il vettore polarizzazione $\vec P(r)=\epsilon_0\chi\vec E=\epsilon_0(\epsilon_r-1)\vec E$ e da questo sia le due densità di carica superficiale $\sigma_b=\vec P(b)\cdot \hat{u}_r$ e $\sigma_a=\vec P(a)\cdot \hat{u}_r$, sia la densità di carica volumetrica $\rho_v=- \nabla \cdot \vec P$.
Visto il verso del campo magnetico le componenti radiali del campo elettrico e della polarizzazione saranno positive e quindi positiva sarà la densità di carica sulla superficie esterna, negative sia la densità di carica superficiale interna sia la volumetrica e ovviamente, per controllare, la somma algebrica delle due cariche superficiali e di quella di volume per unità di lunghezza dovrà risultare nulla.
Visto il verso del campo magnetico le componenti radiali del campo elettrico e della polarizzazione saranno positive e quindi positiva sarà la densità di carica sulla superficie esterna, negative sia la densità di carica superficiale interna sia la volumetrica e ovviamente, per controllare, la somma algebrica delle due cariche superficiali e di quella di volume per unità di lunghezza dovrà risultare nulla.
grazie mille per la risposta, l avevo decisamente complicato più del dovuto facendo anche diversi errori.. semmai un' ultima cosa:sul libro come risultato del vettore polarizzazione ottiene
$P=ε_0/ε_r(ε_r−1)E$
dici che quel $epsi_r$ al denominatore sia un errore del libro?
$P=ε_0/ε_r(ε_r−1)E$
dici che quel $epsi_r$ al denominatore sia un errore del libro?
Direi proprio di si; giusto per curiosità puoi postare un'immagine del testo, specificando titolo e autore? Grazie.
scusami penso di aver capito:
il campo elettrico in assenza del dielettrico sarebbe
$E_o=omegarbeta$
con il dielettrico diventa
$E=E_0/epsi_r=omegarbeta/epsi_r$
quindi
$P=epsi_0(epsi_r-1)E=epsi_0(epsi_r-1)E_0/epsi_r$
giusto? (penso che l errore era mio perchè consideravo il campo in assenza del dielettrico)
il campo elettrico in assenza del dielettrico sarebbe
$E_o=omegarbeta$
con il dielettrico diventa
$E=E_0/epsi_r=omegarbeta/epsi_r$
quindi
$P=epsi_0(epsi_r-1)E=epsi_0(epsi_r-1)E_0/epsi_r$
giusto? (penso che l errore era mio perchè consideravo il campo in assenza del dielettrico)
In effetti qui abbiamo un sistema in movimento e quindi il discorso si complica (e sarebbe interessante approfondire il discorso) ma, supponendo di "salire" sul sistema rotante (così da non avere cariche in movimento), indicando con $E_p$ il campo associato alla polarizzazione potremo scrivere
$\vec P=\epsilon_0 \chi (\vec v \times \vec B + \vec E_p)=\epsilon_0 \chi (\vec v \times \vec B - \frac{\vec P}{\epsilon_0}) $
e quindi, anche "scendendo"
$\vec P(r)=\frac{\epsilon_0 \chi \omega r B}{1+\chi}\hat{u}_r$
proprio come riporta il libro.
BTW Io comunque aspettavo anche un'immagine, un titolo e un autore; ... c'è speranza?
$\vec P=\epsilon_0 \chi (\vec v \times \vec B + \vec E_p)=\epsilon_0 \chi (\vec v \times \vec B - \frac{\vec P}{\epsilon_0}) $
e quindi, anche "scendendo"
$\vec P(r)=\frac{\epsilon_0 \chi \omega r B}{1+\chi}\hat{u}_r$
proprio come riporta il libro.
BTW Io comunque aspettavo anche un'immagine, un titolo e un autore; ... c'è speranza?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo