Cilindro carico rotante uniformemente accelerato

[denim2003]

Buongiorno a tutti. Mi è capitato di avere davanti un problema di elettromagnetismo un po' strano, apparentemente okay ma che mi suscita a ben vedere abbastanza dubbi.
Ho un tubo cilindrico uniforme di raggio a e alto l (con l>>a), di spessore trascurabile, massa M e densità di carica superficiale "eta" ruota attorno al proprio asse con una velocità angolare che dipende dalla legge:
$ omega(t)=omega_0+(omega_f-omega_0)t/(tau) $

Il problema chiede:
- Il campo magnetico al variare del tempo nella regione di spazio -l/2 - Il campo elettrico al variare del tempo nella stessa regione di spazio

Ho pensato di proseguire come faccio di solito, considerare il cilindro come un'insieme di infiniti solenoidi e trovare la densità di corrente in funzione di omega, utilizzare poi il teorema d'ampere per trovare il campo magnetico.
Il campo elettrico invece l'ho trovato come prodotto vettore tra v e B.
La mia perplessità deriva dal fatto che ho fatto già in passato problemi del genere, ma con velocità angolare costante. Il fatto che il cilindro accelera altera questo ragionamento? Grazie in anticipo a tutti.

[RenzoDF]

"Rijin03":... Ho pensato di proseguire come faccio di solito, considerare il cilindro come un'insieme di infiniti solenoidi ...

Di solenoide ce n'è uno solo, costituito da un'unica spira; devi semplicemente ricavare la corrente in funzione di omega ovvero del tempo ricordando che

$i(t)=(\text{d}q)/(\text{d}t)$

dove dq rappresenta la carica che (per esempio) attraversa il semipiano xz (x>0) nel tempo dt.
Visto che il solenoide può essere considerato "lungo", dalla i(t) otterrai facilmente B(t) e da questa, vista la sua variabilità temporale, sfruttando la simmetria assiale, ancora facilmente il campo elettrico E(t), via terza legge di Maxwell.

[ingres]

In linea di principio effettivamente le cariche accelerate dovrebbero emettere un campo di radiazione

http://www.science.unitn.it/~fisica1/ra ... larmor.htm

ma credo che l'esercizio non sia così sofisticato da voler considerare questo effetto.

Per cui il ragionamento non cambia e vale quanto già suggerito da RenzoDF.

[denim2003]

Grazie a tutti per le risposte.
Quindi del fatto che accelera me ne "frego" e lo tratto indifferentemente da un normale cilindro in rotazione (con omega costante ad esempio). Usare la forza di Lorentz per calcolare il campo elettrico poi è scorretto perché questo è un campo indotto all'interno del solenoide e che quindi non tocca le cariche, giusto?

Scusate ancora poi, ho dimenticato di chiedere un'altra parte del problema, ben più problematica.
Dopo questi due punti il problema dice:
All'interno del cilindro viene posto un cilindro uniforme di materiale con permettività magnetica $ mu _r $ e conduttività $ sigma $ di raggio b A questo punto avanza una serie di richieste, in particolare richiede di nuovo campo elettrico e campo magnetico come prima e poi chiede di calcolare la densità di corrente nel corpo del cilindro al variare del tempo.
La situazione qui come cambierebbe? Considerato ora che ci troviamo nella materia?

Perdonate la moltitudine di domande, è solo per cercare di capirci qualcosa. Grazie sempre in anticipo.

[ingres]

Risposta "facile"
Trascuriamo l'effetto che le correnti indotte (reazione di indotto) nel cilindro conduttore provocano al campo nello stesso. In questo caso si può facilmente calcolare il campo B nel cilindro (si devono usare le condizioni alla frontiera tra aria e materiale) e di conseguenza E e quindi J (densità di corrente) con le equazioni di Maxwell.

Vedo, nel caso, se riesco ad elaborarti una risposta più precisa che richiede però la soluzione delle equazioni di campo.

[ingres]

Di seguito una soluzione più accurata, ma che non credo che sia quanto richiesto.

Supponiamo che la carica in rotazione sia supportata da un mezzo non conduttore. Quindi la relativa corrente non varia e questo implica che, nell'approssimazione di campo quasi stazionario, il campo in aria fino al cilindro di materiale conduttore rimanga lo stesso del caso precedente per il teorema di Ampere. Sia $B_0(t)$ tale campo. All'interno del conduttore supponiamo che, per ragioni di simmetria, risulti in coordinate cilindriche:
$overline(B)=B(r,t) u_z$
$overline(E)=E(r,t) u_theta$
$overline(J)=J(r,t) u_theta$

con le le equazioni costitutive:
$overline(J)=sigma*overline(E)$
$overline(B)= mu overline(H)= mu_0*mu_r*overline(H)$

Sostituendo quanto sopra nelle equazioni di Maxwell scritte in coordinate cilindriche e nel caso quasi stazionario si trova la seguente equazione in termini di campo magnetico H(r,t):

$(partial^2 H)/(partial r^2) +1/r*(partial H)/(partial r) - mu*sigma*(partial H)/(partial t)=0$

con le condizioni al contorno:

$H(b,t) = (B_0(t))/mu_0$
H finito per qualsiasi $r le b$

Per risolvere l'equazione sopra si può ipotizzare
$H(r,t) = H(r)*(k_1*t+k_2)$

A questo punto risulta l'equazione in termini di H(r):
$(partial^2 H)/(partial r^2) +1/r*(partial H)/(partial r) - mu*sigma*k_1*H=0$
Questa è un'equazione di Bessel che ha come soluzione la funzione di Bessel di primo tipo e ordine zero (l'altra soluzione diverge per r=0 e quindi è da scartarsi).

Imponendo la condizione di frontiera per r=b si determina poi la soluzione finale.

[RenzoDF]

"ingres":... con le le equazioni costitutive:

$overline(B)= mu overline(H)= mu_0*mu_r*overline(H)$
...

Il problema però è che, essendo il cilindro di lunghezza finita, questa equazione non è applicabile.

E chiedo all'OP se può postare una foto del testo originale o quantomeno dirci se sia fornito il valore di $l$ [nota]Possibilità direi quasi inesistente. [/nota], noto il quale ci sarebbe una via risolutiva, seppur approssimata.

[ingres]

Vero, ma l'ipotesi iniziale del testo è l>>a e quindi a maggior ragione l>>b e di trascurare gli effetti di bordo per cui come soluzione, sia pur ancora approssimata, penso che possa servire allo scopo.

D'altro canto sono d'accordo con te che per una lunghezza finita è molto complicato trovare soluzioni, anche approssimate, di tipo analitico (persino nel caso stazionario, tranne che sull'asse del solenoide).

[RenzoDF]

Sto cercando di sottolineare il fatto che, anche per un semplice solenoide lungo, nel quale venga inserito un cilindro con permeabilità relativa $\mu_r$, per determinare il campo magnetico non si può usare la permeabilità relativa ma quella apparente,

$\mu_\text{a} = \frac{\mu_\text{r}}{1+(\mu_\text{r}-1)D}$

determinabile via fattore di demagnetizzazione $D$, che per nuclei cilindrici non può essere definito esattamente, ma può essere stimato a partire dal fattore di forma del nucleo \(\gamma=l/(2a)\).

[ingres]

Penso che tu ti riferisca a questi fattori:

https://mriquestions.com/uploads/3/4/5/ ... actors.pdf

In base all'articolo per il cilindro risulta applicabile la formula approssimata 2b) ove n=lunghezza/diametro (il fattore di forma del tuo post) e quindi risulterebbe:
D < b/l per cui D<<1.

Però concordo con te: correttamente se il materiale fosse magnetico (e quindi con elevata permeabilità) e la lunghezza grande ma non infinita rispetto al diametro $mu_a$ potrebbe essere significativamente diverso da $mu_r$, e altrettanto correttamente una trattazione più accurata deve giustamente tenerne conto.
Grazie per avermelo fatto notare

[denim2003]

Grazie a tutti per le risposte!
Per impegni personali non riesco a leggere bene tutto, riuscirò solo in serata, però velocemente per quello che ho potuto leggere, abbiamo sempre trattato a lezione l'approssimazione per l>>a (e quindi anche di b) unito al fatto che gli effetti di bordo sono trascurabili come un lasciapassare per considerare il solenoide infinito, appunto in approssimazione. Per quanto riguarda la traccia del problema originale, ora metto tutti i punti (c' anche qualcosa che non ho chiesto ma che non ho considerato perché vorrei capire i punti prima). In serata poi magari carico anche come avevo pensato di fare questi punti. La traccia l'ho caricata come pdf sul drive, il file è qui https://drive.google.com/file/d/1TA8KicCn6Sm_IBjXYA2pLVxeTfC6eAz4/view?usp=sharing

[RenzoDF]

"ingres":Penso che tu ti riferisca a questi fattori: ...

Sostanzialmente sì, anche se il discorso sarebbe più complesso, vedi per esempio il vecchio lavoro di Chen, al quale si fa spesso riferimento

https://tsapps.nist.gov/publication/get ... _id=905398

"ingres": ... se il materiale fosse magnetico (e quindi con elevata permeabilità) e la lunghezza grande ma non infinita rispetto al diametro $mu_a$ potrebbe essere significativamente diverso da $mu_r$ ...

Proprio così, nel caso di elevata permeabilità, quando \((\mu_r-1)D \gg 1\), si avrebbe che

$\mu_a\approx 1/D$

significativamente molto inferiore alla permeabilità relativa, anche se in H-demia si cade spesso nel gravissimo errore di ritenere

$B=\mu_rB_0$

La mia intenzione era proprio quella di rimarcare il fatto che, in un solenoide anche lungo, con un nucleo ad alta permeabilità, la determinazione del campo magnetico si fa davvero molto complessa; in questo caso poi, essendo il diametro del cilindro inferiore a quello del tubo ($bsempre, nel mondo reale, l'unica alternativa della soluzione numerica agli elementi finiti.

[RenzoDF]

"Rijin03":... abbiamo sempre trattato a lezione l'approssimazione per l>>a (e quindi anche di b) unito al fatto che gli effetti di bordo sono trascurabili come un lasciapassare per considerare il solenoide infinito, appunto in approssimazione. ...

Come detto, un gravissimo errore, per alte permeabilità relative!

BTW Posso chiederti la provenienza di questo problema?

[denim2003]

È un problema assegnato in aula durante un'esercitazione

[RenzoDF]

In quale corso, ateneo?

[denim2003]

Si scusami, fatto. L'ateneo è Federico II

[RenzoDF]

... e il corso?

[denim2003]

Il corso è fisica, perdonarmi ho letto velocemente

[ingres]

Per meglio comprendere il motivo che sta alla base della permeabilità apparente aggiungo la seguente deduzione su base "circuitale" che chiedo a RenzoDF di correggere nel caso.

Consideriamo per semplicità il caso a=b e materiale non conduttore. In pratica il circuito magnetico è formato dalla riluttanza del materiale $R=l/(mu_r mu_0 S)$ ove $S=pi a^2$ è l'area della sezione del solenoide, e la riluttanza dell'aria esterna che, sulla base delle formule approssimate per l'induttanza di un solenoide in aria, può essere stimata in $R_a=ka/(mu_0 S)$, essendo k un coefficiente tipicamente valutato in 0.9.

In base a questa grossolana schematizzazione risulta:

$ phi = B * S = (NI)/(R+R_a)$ e quindi

$B=((mu_0 mu_r NI)/l)/(1+k a/l mu_r)$

Se introduciamo la permeabilità apparente:

$B=(mu_0 mu_a NI)/l$

risulta immediatamente

$mu_a = mu_r /(1+k a/l mu_r)$

Per cui, con buona approssimazione, abbiamo ritrovato il risultato cercato. In altre parole la permeabilità apparente tiene conto che l'esterno del solenoide non può essere trascurato se la permeabilità del materiale è molto alta (così come in un circuito magnetico un sottile traferro in aria diventa preponderante per determinare il flusso nel caso di materiale ad alta permeabilità) e questo anche se l >> a.
Per inciso questa schematizzazione permette di determinare, ovviamente sempre in modo grossolano, la permeabilità apparente nel caso di b

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[RenzoDF]

Premesso che ingres dovrebbe raccontarci di più su come ha ottenuto quella stima per $R_a$, come anche per $k$ ...

"ingres":... la permeabilità apparente tiene conto che l'esterno del solenoide non può essere trascurato se la permeabilità del materiale è molto alta ...

Esatto!

La vera ragione che non permette il semplice uso della permeabilità relativa come fattore di incremento del campo magnetico interno al solenoide è proprio dovuta al fatto che non possiamo più ritenere trascurabile la riluttanza dello spazio esterno al solenoide rispetto a quella interna, qualora la permeabilità relativa del nucleo sia particolarmente elevata.

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@ Rijin03
Giusto per supersemplificare il concetto, supponiamo di piegare il solenoide rettilineo (con nucleo ferromagnetico) per portarlo alla forma toroidale, ma lasciando un piccolo spazio di ampiezza $l_a$ fra le due estremità (un traferro come si suol dire); in questo caso, le cose diventano più semplici, in quanto le due riluttanze del tratto in ferro e in aria saranno rispettivamente:

$R_f=l_f/(\mu_0\mu_r S_f)$

$R_a=l_a/(\mu_0 S_a)$

ipotizzando $S_a=kS_f$, con k>1, potremo facilmente usare il metodo esposto da ingres per ricavare la relazione della permeabilità apparente, lascio a te provare ad ottenerla, se ti va di farlo, ovviamente.

[ingres]

Il valore di $R_a$ si desume dalla formula di Wheeler per il calcolo dell'induttanza di una bobina in aria.

https://pe2bz.philpem.me.uk/Power/-%20- ... heeler.htm
https://www.electroniq.net/electronic-t ... tions.html
https://puntomarinero.com/calculation-o ... e-formula/

La formula, molto impiegata nella progettazione, è frutto di studi empirici. La formula sarebbe:
$L=(mu_0*S*N^2)/(l+0.45D)$
ove l è la lunghezza, D=2a il diametro ed $S=pi/4*D^2$.
Andando a sostituire il valore di $mu_0=4*pi*10^(-7)$ e tenendo conto che $pi^2 approx 10$, si ottengono le formule che si trovano in giro.
A questo punto riscrivendo la formula come:
$L=(N^2)/(l/(mu_0 *S)+0.9 a/(mu_0 *S))$

è immediato associare allo spazio esterno al solenoide una $R_a = 0.9*a/(mu_0 *S)$.