Cilindri e sfere (cinematica rotazionale)
http://www.yousolve.it/cinematica-rotazionale-1-esercizio-6/
La soluzione data nella stessa pagina non mi soddisfa affatto.
Io, per risolverlo, sono partito dal fatto che non ci sia strisciamento, quindi, ragionandoci sopra, sono arrivato a queste due equazioni (indicando con $\omega_v$ la velocità angolare della sfera lungo le superfici dei cilindri e con $\omega_s$ quella della superficie della sfera stessa):
$\omega_1*R_1 = \omega_v*R_1 + \omega_s*R_s$
$\omega_2*R_2 = \omega_v*R_2 - \omega_s*R_s$
Isolando il termine $\omega_v$ e applicando la sostituzione, giungo a questo punto:
$\omega_1 - \omega_s*R_s / R_1 = \omega_2 + \omega_s*R_s / R_2$
quindi (ricordandomi che $R_s = (R_2 - R_1) / 2$):
$\omega_s = 2*R_1*R_2*(\omega_1 - \omega_2) / (R_2^2 - R_1^2)$
che non si avvicina assolutamente alla soluzione del problema.
A questo punto mi sorge il dubbio che le mie considerazioni sullo strisciamento siano sbagliate.
Non capisco perché poi nella risoluzione mi dica che la velocità del cilindro più grande "si puo’ anche scrivere in funzione della velocità di un punto sul cilindro interno più due volte la velocità di un punto su una delle sfere", in quanto non ne vedo il senso.
La soluzione data nella stessa pagina non mi soddisfa affatto.
Io, per risolverlo, sono partito dal fatto che non ci sia strisciamento, quindi, ragionandoci sopra, sono arrivato a queste due equazioni (indicando con $\omega_v$ la velocità angolare della sfera lungo le superfici dei cilindri e con $\omega_s$ quella della superficie della sfera stessa):
$\omega_1*R_1 = \omega_v*R_1 + \omega_s*R_s$
$\omega_2*R_2 = \omega_v*R_2 - \omega_s*R_s$
Isolando il termine $\omega_v$ e applicando la sostituzione, giungo a questo punto:
$\omega_1 - \omega_s*R_s / R_1 = \omega_2 + \omega_s*R_s / R_2$
quindi (ricordandomi che $R_s = (R_2 - R_1) / 2$):
$\omega_s = 2*R_1*R_2*(\omega_1 - \omega_2) / (R_2^2 - R_1^2)$
che non si avvicina assolutamente alla soluzione del problema.
A questo punto mi sorge il dubbio che le mie considerazioni sullo strisciamento siano sbagliate.
Non capisco perché poi nella risoluzione mi dica che la velocità del cilindro più grande "si puo’ anche scrivere in funzione della velocità di un punto sul cilindro interno più due volte la velocità di un punto su una delle sfere", in quanto non ne vedo il senso.
Risposte
La soluzione data è giusta.
Fotografiamo la situazione a un certo istante e chiamiamo v1 la velocità del punto in cui la sfera tocca il cilindro minore e v2 quella del punto opposto rispetto al centro della sfera, dove questa tocca il cilindro maggiore.
Siccome la sfera tocca senza strisciare, in quei punti le velocità di sfera e cilindri devono essere le stesse.
Prendiamo il primo punto. Si ha:
$${v_1} = {\omega _1}{r_1}$$
Nel secondo punto si ha invece:
$${v_2} = {\omega _2}{r_2}$$
Considerando adesso la sfera come intermediaria tra i due punti, possiamo anche scrivere:
$${v_2} = {v_1} + 2{r_s}{\omega _s}$$
Questa relazione viene da considerazioni sui moti relativi, ma per convincersene basta osservare che se la sfera rimanesse ferma rispetto al cilindro minore, cioè ruotasse con la sua stessa velocità angolare, si avrebbe:
$${\omega _s} = {\omega _1}$$
$${v_2} = {\omega _1}{r_1} + 2{r_s}{\omega _1} = {\omega _1}\left( {{r_1} + 2{r_s}} \right)$$
cioè il punto v2 sulla sfera e quindi anche sul secondo cilindro procederebbe come se i tre corpi fossero saldati assieme.
Allora concludendo si ha:
$$\eqalign{
& {v_2} = {v_1} + 2{r_s}{\omega _s} = {\omega _2}{r_2} \cr
& {v_2} = {\omega _1}{r_1} + 2{r_s}{\omega _s} = {\omega _2}{r_2} \cr
& {\omega _s} = \frac{{{\omega _2}{r_2} - {\omega _1}{r_1}}}
{{{r_2} - {r_1}}} \cr} $$
Fotografiamo la situazione a un certo istante e chiamiamo v1 la velocità del punto in cui la sfera tocca il cilindro minore e v2 quella del punto opposto rispetto al centro della sfera, dove questa tocca il cilindro maggiore.
Siccome la sfera tocca senza strisciare, in quei punti le velocità di sfera e cilindri devono essere le stesse.
Prendiamo il primo punto. Si ha:
$${v_1} = {\omega _1}{r_1}$$
Nel secondo punto si ha invece:
$${v_2} = {\omega _2}{r_2}$$
Considerando adesso la sfera come intermediaria tra i due punti, possiamo anche scrivere:
$${v_2} = {v_1} + 2{r_s}{\omega _s}$$
Questa relazione viene da considerazioni sui moti relativi, ma per convincersene basta osservare che se la sfera rimanesse ferma rispetto al cilindro minore, cioè ruotasse con la sua stessa velocità angolare, si avrebbe:
$${\omega _s} = {\omega _1}$$
$${v_2} = {\omega _1}{r_1} + 2{r_s}{\omega _1} = {\omega _1}\left( {{r_1} + 2{r_s}} \right)$$
cioè il punto v2 sulla sfera e quindi anche sul secondo cilindro procederebbe come se i tre corpi fossero saldati assieme.
Allora concludendo si ha:
$$\eqalign{
& {v_2} = {v_1} + 2{r_s}{\omega _s} = {\omega _2}{r_2} \cr
& {v_2} = {\omega _1}{r_1} + 2{r_s}{\omega _s} = {\omega _2}{r_2} \cr
& {\omega _s} = \frac{{{\omega _2}{r_2} - {\omega _1}{r_1}}}
{{{r_2} - {r_1}}} \cr} $$
Credo di aver capito, però ancora non mi torna dove sia l'errore nelle mie equazioni: non dovrebbero anche quelle rappresentare l'assenza di trascinamento?
-EDIT-
No niente, ho capito: in $\omega_v$ ho considerato anche una parte del moto rotazionale, infatti l'ho considerata come una sorta di miscuglio di questo e di moto traslatorio.
Comunque grazie.
-EDIT-
No niente, ho capito: in $\omega_v$ ho considerato anche una parte del moto rotazionale, infatti l'ho considerata come una sorta di miscuglio di questo e di moto traslatorio.
Comunque grazie.
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