Cilindri conduttori
Salve, per festeggiare il nuovo anno è importante tenersi allenati con gli esercizi di fisica 2! 
Questa sera vorrei proporne due, di cui uno dovrebbe essere davvero veloce.
1. Un conduttore cilindrico neutro di raggio $r = 1.97 cm$ e altezza $h = 0.0554 cm$ (si noti $h$ << $a$) è immerso in un campo elettrico esterno uniforme $E_0 = 1.28 \cdot 10^{3} V/m$ perpendicolare alle basi. La resistività del materiale conduttore è $\rho=1.89 \cdot 10^{-8} \Omega \cdot m$. Gli effetti di bordo sono trascurabili. All’istante $t = 0$ il campo elettrico esterno viene rimosso istantaneamente. Calcolare a quale istante, in $s\cdot 10^{-20}$, la densità superficiale di carica presente inizialmente sulle basi del cilindro si è ridotta della metà. Possibili risposte: A)0 B)11.6 C)29.6 D)47.6 E)65.6 F)83.6
Ecco per questo primo esercizio non saprei nemmeno come iniziare. La mia idea era quella di utilizzare l'equazione di continuità della corrente:
\[ \frac{\partial \sigma}{\partial t}=-div(\vec{J}) \]
Però mi chiedevo, funziona anche con la densità superficiale? Poi, il vettore densità di corrente non ho idea di come calcolarlo. L'informazione del campo elettrico esterno iniziale non so come influisca sul sistema.
2. Un cilindro di raggio $a = 10.1 cm$ e altezza $h = 99.3 cm $ (si noti $a$ << $h$) contiene un gas di particelle (carica $q=1.621\cdot10^{-19} C$ e massa $m=1.673\cdot 10^{-27}kg$) con densità media $n=1.50 \cdot 10^6$ particelle/m^3. A $t=0$ viene acceso un campo magnetico $\vec{B}(t)$ uniforme che al tempo $t_0=1.70 s$ raggiunge il valore $B_0=1.02 T$. Calcolare, al tempo $t_0$, la densità superficiale media di corrente, in microampere/m^2 nella direzione azimutale generata dal moto delle particelle cariche (trascurando il moto radiale) alla distanza $r=a/2$ dall'asse del cilindro (assunto come asse di simmetria del sistema).
Per questo procedo a scrivere la seconda legge di Newton per una particella carica in moto rotazionale attorno all'asse, considerando la forza di Lorentz:
\[ \Big[ m \omega^2 r=m \frac{v^2}{r}=qvB \Big] \Rightarrow \Big[v=\frac{qBr}{m}=\frac{qBa}{2m} \big] \Rightarrow \big[ J=nqv=\frac{n q^2 B a}{2 m} \big ] \]
Il risultato che mi viene è $1,21 $ microampere/m^2, che con occhio furbo ho notato essere esattamente il doppio di un risultato possibile ($0.607$). Da dove esce l'ulteriore fattore 2 al denominatore?
Inoltre, in entrambi gli esercizi cosa implicano le condizioni di molto maggiore/minore tra altezza e raggio?
Grazie per aver letto!
Questa sera vorrei proporne due, di cui uno dovrebbe essere davvero veloce.
1. Un conduttore cilindrico neutro di raggio $r = 1.97 cm$ e altezza $h = 0.0554 cm$ (si noti $h$ << $a$) è immerso in un campo elettrico esterno uniforme $E_0 = 1.28 \cdot 10^{3} V/m$ perpendicolare alle basi. La resistività del materiale conduttore è $\rho=1.89 \cdot 10^{-8} \Omega \cdot m$. Gli effetti di bordo sono trascurabili. All’istante $t = 0$ il campo elettrico esterno viene rimosso istantaneamente. Calcolare a quale istante, in $s\cdot 10^{-20}$, la densità superficiale di carica presente inizialmente sulle basi del cilindro si è ridotta della metà. Possibili risposte: A)0 B)11.6 C)29.6 D)47.6 E)65.6 F)83.6
Ecco per questo primo esercizio non saprei nemmeno come iniziare. La mia idea era quella di utilizzare l'equazione di continuità della corrente:
\[ \frac{\partial \sigma}{\partial t}=-div(\vec{J}) \]
Però mi chiedevo, funziona anche con la densità superficiale? Poi, il vettore densità di corrente non ho idea di come calcolarlo. L'informazione del campo elettrico esterno iniziale non so come influisca sul sistema.
2. Un cilindro di raggio $a = 10.1 cm$ e altezza $h = 99.3 cm $ (si noti $a$ << $h$) contiene un gas di particelle (carica $q=1.621\cdot10^{-19} C$ e massa $m=1.673\cdot 10^{-27}kg$) con densità media $n=1.50 \cdot 10^6$ particelle/m^3. A $t=0$ viene acceso un campo magnetico $\vec{B}(t)$ uniforme che al tempo $t_0=1.70 s$ raggiunge il valore $B_0=1.02 T$. Calcolare, al tempo $t_0$, la densità superficiale media di corrente, in microampere/m^2 nella direzione azimutale generata dal moto delle particelle cariche (trascurando il moto radiale) alla distanza $r=a/2$ dall'asse del cilindro (assunto come asse di simmetria del sistema).
Per questo procedo a scrivere la seconda legge di Newton per una particella carica in moto rotazionale attorno all'asse, considerando la forza di Lorentz:
\[ \Big[ m \omega^2 r=m \frac{v^2}{r}=qvB \Big] \Rightarrow \Big[v=\frac{qBr}{m}=\frac{qBa}{2m} \big] \Rightarrow \big[ J=nqv=\frac{n q^2 B a}{2 m} \big ] \]
Il risultato che mi viene è $1,21 $ microampere/m^2, che con occhio furbo ho notato essere esattamente il doppio di un risultato possibile ($0.607$). Da dove esce l'ulteriore fattore 2 al denominatore?
Inoltre, in entrambi gli esercizi cosa implicano le condizioni di molto maggiore/minore tra altezza e raggio?
Grazie per aver letto!
Risposte
Per la prima domanda, utilizzando l'equazione che hai scritto, l'equazione costitutiva della corrente in funzione del campo E e la divergenza del campo in funzione della densità di carica (T. Gauss) si arriva alla relazione generale per un conduttore indipendentemente dalla sua geometria.
$(d sigma)/dt +sigma/(rho *epsilon) =0 $
da cui:
$sigma=sigma_0 e^(-t/(rho *epsilon))$
La costante di tempo $tau=epsilon*rho$ è detta "tempo di rilassamento" ed è la costante di tempo con la quale le cariche si ridistribuiscono in un conduttore assumendo la configurazione di equilibrio.
Imponendo che $sigma =1/2 sigma_0$ si ha $T=tau*ln(2) =11.6*10^(-20)$
$(d sigma)/dt +sigma/(rho *epsilon) =0 $
da cui:
$sigma=sigma_0 e^(-t/(rho *epsilon))$
La costante di tempo $tau=epsilon*rho$ è detta "tempo di rilassamento" ed è la costante di tempo con la quale le cariche si ridistribuiscono in un conduttore assumendo la configurazione di equilibrio.
Imponendo che $sigma =1/2 sigma_0$ si ha $T=tau*ln(2) =11.6*10^(-20)$
Io, senza scomodare divergenze e affini, l'avrei visto come un condensatore con dielettrico conduttivo e di conseguenza la costante di tempo RC si sarebbe semplificata in
$\tau=\epsilon \rho$
$\tau=\epsilon \rho$
Ciao RenzoDF
Sicuramente per l'esercizio in senso stretto hai indubbiamente ragione.
Prendendo il tutto come un circuito concentrato con:
$R=rho*l/S$
$C=epsilon S/l$
la costante di tempo che viene fuori è proprio $tau=RC=rho*epsilon$
Tuttavia ho optato per la soluzione in questione sia per confermare che la strada scelta da fede_1_1 era comunque corretta e anche per rispondere all'ultima domanda ovvero "cosa implicano le condizioni di molto maggiore/minore tra altezza e raggio?".
In questo caso aiutano ad interpretare più facilmente la soluzione come sopra, ma in realtà non sono necessarie. La relazione, come detto, prescinde dalla geometria.
Sicuramente per l'esercizio in senso stretto hai indubbiamente ragione.
Prendendo il tutto come un circuito concentrato con:
$R=rho*l/S$
$C=epsilon S/l$
la costante di tempo che viene fuori è proprio $tau=RC=rho*epsilon$
Tuttavia ho optato per la soluzione in questione sia per confermare che la strada scelta da fede_1_1 era comunque corretta e anche per rispondere all'ultima domanda ovvero "cosa implicano le condizioni di molto maggiore/minore tra altezza e raggio?".
In questo caso aiutano ad interpretare più facilmente la soluzione come sopra, ma in realtà non sono necessarie. La relazione, come detto, prescinde dalla geometria.
Sulla domanda 2 ho un'interpretazione un pò complessa. Osserviamo che in generale il campo elettrico associato al campo magnetico consta di 2 componenti:
a) Componente mozionale: $overline(v) x overline(B)$
b) Componente trasformatorica: $-(d overline(B))/(dt)$
Entrambe daranno luogo a un movimento di cariche che possiamo trattare con la sovrapposizione degli effetti.
Per la parte mozionale si è già visto.
Per quella trasformatorica dovrà risultare
$E*2*pi*r = - pi*r^2 *(dB)/(dt)$
ed essendo $B=B_0*t/t_0$, si avrà
$E=-1/2rB_0/t_0$
$F=qE=-1/2qrB_0/t_0$
che da luogo ad una coppia e quindi a una velocità angolare
$omega =(F*r)/(mr^2)*t$ ovvero $v=omega*r =F/m*t$
e quindi per $t=t_0$ e $r=a/2$ si otterrà
$v=-1/4 (qaB_0)/m$
e quindi una densità di corrente
$J=nqv= -(nq^2aB)/(4m)$
da aggiungere alla precedente.
Come detto mi pare un pò complesso. Probabilmente esiste qualche interpretazione migliore.
a) Componente mozionale: $overline(v) x overline(B)$
b) Componente trasformatorica: $-(d overline(B))/(dt)$
Entrambe daranno luogo a un movimento di cariche che possiamo trattare con la sovrapposizione degli effetti.
Per la parte mozionale si è già visto.
Per quella trasformatorica dovrà risultare
$E*2*pi*r = - pi*r^2 *(dB)/(dt)$
ed essendo $B=B_0*t/t_0$, si avrà
$E=-1/2rB_0/t_0$
$F=qE=-1/2qrB_0/t_0$
che da luogo ad una coppia e quindi a una velocità angolare
$omega =(F*r)/(mr^2)*t$ ovvero $v=omega*r =F/m*t$
e quindi per $t=t_0$ e $r=a/2$ si otterrà
$v=-1/4 (qaB_0)/m$
e quindi una densità di corrente
$J=nqv= -(nq^2aB)/(4m)$
da aggiungere alla precedente.
Come detto mi pare un pò complesso. Probabilmente esiste qualche interpretazione migliore.
Ciaoo! Grazie a tutti e due, ho ben capito la parte sul primo esercizio, non sapevo l'equazione generale per un conduttore indipendentemente dalla sua geometria. Adesso che la conosco lo reputo un ottimo strumento 
Riguardo al secondo esercizio, cosa si intende per componente mozionale e trasformatorica? Perché quest'ultima assume proprio la forma:
\[ E \cdot 2 \pi r=-\pi r^2 \frac{\partial B}{\partial t} \]
Per $\vec{B}(t)$ abbiamo assunto un comportamento lineare ma, in qualche modo, era esplicito nel testo?
Riguardo al secondo esercizio, cosa si intende per componente mozionale e trasformatorica? Perché quest'ultima assume proprio la forma:
\[ E \cdot 2 \pi r=-\pi r^2 \frac{\partial B}{\partial t} \]
Per $\vec{B}(t)$ abbiamo assunto un comportamento lineare ma, in qualche modo, era esplicito nel testo?
La dizione componente mozionale e trasformatorica è una terminologia derivata dalle macchine elettriche in cui il campo varia sia in virtù del fatto che la macchina ruota tagliando le linee del campo, e quindi provocando una fem dovuta al moto (mozionale) anche a campo costante, e sia perchè il campo stesso varia nel tempo con legge sinusoidale provocando una fem solo dovuta a questo fatto e che è chiamata trasformatorica perchè presente anche nei trasformatori che ovviamente sono fermi.
La formula che ho scritto deriva poi direttamente dalla legge di Faraday -Lenz
$int_l E*dl=-(dPhi(B))/dt$
Per ulteriori dettagli puoi guardare anche su wiki
https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_ ... 0di%20Lenz.
Quanto al comportamento lineare nel tempo è una mia assunzione in assenza di una precisazione nel testo.
Ma non è un'ipotesi essenziale. Se lasci dB/dt nel momento in cui si integra la legge del moto si riottiene Bo comunque.
La formula che ho scritto deriva poi direttamente dalla legge di Faraday -Lenz
$int_l E*dl=-(dPhi(B))/dt$
Per ulteriori dettagli puoi guardare anche su wiki
https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_ ... 0di%20Lenz.
Quanto al comportamento lineare nel tempo è una mia assunzione in assenza di una precisazione nel testo.
Ma non è un'ipotesi essenziale. Se lasci dB/dt nel momento in cui si integra la legge del moto si riottiene Bo comunque.
Perfetto grazie millee! ^^ Ingres, Renzo tanti auguri di buon anno nuovo!
Auguri anche a te e a Renzo 
Grazie ragazzi, Buon 2023 anche a voi.
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