Cifre significative
Salve,
guardando le Olifis (2° livello 2018) il primo dice di calcolare l'angolo di rifrazione, sapendo che l'anglo di incidenza e 45° e le due velocità sono 800 m/s e 340 m/s,e aqpplicando Snell viene 17.5° e tale risultato viene proposto come corretto. Ma non si dovrebbe esprimere il risultato con 2 cifre significative (il dato 45° dell'angolo di incidenza ha 2 cifre significative)?
guardando le Olifis (2° livello 2018) il primo dice di calcolare l'angolo di rifrazione, sapendo che l'anglo di incidenza e 45° e le due velocità sono 800 m/s e 340 m/s,e aqpplicando Snell viene 17.5° e tale risultato viene proposto come corretto. Ma non si dovrebbe esprimere il risultato con 2 cifre significative (il dato 45° dell'angolo di incidenza ha 2 cifre significative)?
Risposte
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Potresti chiarire da dove viene l'ulima tua espressione per il caloclo semplificato?
La soluzione data è $17.5\pm0.1$, quindi compreso fra 17.4 e 17.6.
La soluzione data è $17.5\pm0.1$, quindi compreso fra 17.4 e 17.6.
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Un trick per riprodurre il calcolo esatto in maniera relativamente poco costoso è il seguente.
In primo luogo, nota come:
\[
\sin\theta_2 = \frac{v_2}{v_1} \sin\theta_1
\]
ossia il seno dell'angolo di trasmissione è il prodotto di tre termini, ciascuno con un errore. Di conseguenza, l'errore relativo nella determinazione di \(\sin\theta_2\) è la somma degli errori relativi dei tre fattori, sommati in quadratura (nb immagino implicita l'assunzione di errori indipendenti e gaussiani)
L'altra grossa semplificazione è nella propagazione degli errori in funzioni di variabili casuali. La teoria ci dice che, per una funzione \(f(x)\) dove x è una misura soggetta ad un errore:
\[
\sigma_f = |f'(x)| \sigma_x
\]
in questo caso, essendo \(sin\theta_1 = \cos\theta_1\) si può scrivere per l'errore relativo nella determinazione del seno dell'angolo di incidenza la seguente:
\[
\frac{\sigma_{sin\theta_1}}{\sin\theta_1} = \frac{\cos\theta_1}{\sin\theta_1} \sigma_{\theta_1} = \sigma_{\theta_1}
\]
ossia che l'errore relativo è proprio pari all'errore assoluto dell'angolo. Bisogna stare ovviamente attenti però ad esprimere l'errore in radianti.
ora vediamo un po' le grandezze che entrano nella somma in quadratura:
1) abbiamo gli errori relativi dati dalle velocità di propagazione \(\frac{\sigma_v}{v}\) entrambi pari a \(10^{-3}\), che elevato al quadrato danno un contributo di \(10^{-6}\) ciascuno
2) l'errore relativo del seno dell'angolo di incidenza, che elevato al quadrato è \(\approx 6.17\cdot 10^{-7}\).
Possiamo approssimare il secondo e dire perciò che l'errore relativo totale del seno dell'angolo di trasmissione è pari a \(\sqrt{3}\cdot 10^{-3}\)
A questo punto si tratta di trovare l'errore dell'angolo di trasmissione. Anche qui bisognerebbe applicare la propagazione degli errori, ma tieni conto che la situazione è molto semplificata dal fatto che, essendo l'angolo piccolo, possiamo approssimare (con buona precisione) \(arcsin(x) \approx x\) e perciò, mettendo tutto assieme:
\[
\sigma_{\theta_2} = \sigma_{sin(...)} = \frac{\sqrt{3}}{1000} \sin\theta_2
\]
e convertirlo infine da radianti a gradi sessaggesimali:
\[
\sigma_{\theta_2°} = \frac{\sqrt{3}}{1000} \frac{180}{\pi} \sin\theta_2
\]
numericamente:
\[
\sigma_{\theta_2°} = \frac{\sqrt{3}}{1000} \frac{180}{\pi} \frac{340}{800 \sqrt{2}} \approx 0.03
\]
insomma, una volta noto che gli errori relativi dei prodotti si sommano in quadratura, che tutti gli errori relativi sono circa identici e che per angoli piccoli arcoseno è una funzione lineare, l'errore si calcola in maniera piuttosto agevole .... ma forse si fa prima con l'approccio alla "shut up and calculate" passando per le formule esatte.
In primo luogo, nota come:
\[
\sin\theta_2 = \frac{v_2}{v_1} \sin\theta_1
\]
ossia il seno dell'angolo di trasmissione è il prodotto di tre termini, ciascuno con un errore. Di conseguenza, l'errore relativo nella determinazione di \(\sin\theta_2\) è la somma degli errori relativi dei tre fattori, sommati in quadratura (nb immagino implicita l'assunzione di errori indipendenti e gaussiani)
L'altra grossa semplificazione è nella propagazione degli errori in funzioni di variabili casuali. La teoria ci dice che, per una funzione \(f(x)\) dove x è una misura soggetta ad un errore:
\[
\sigma_f = |f'(x)| \sigma_x
\]
in questo caso, essendo \(sin\theta_1 = \cos\theta_1\) si può scrivere per l'errore relativo nella determinazione del seno dell'angolo di incidenza la seguente:
\[
\frac{\sigma_{sin\theta_1}}{\sin\theta_1} = \frac{\cos\theta_1}{\sin\theta_1} \sigma_{\theta_1} = \sigma_{\theta_1}
\]
ossia che l'errore relativo è proprio pari all'errore assoluto dell'angolo. Bisogna stare ovviamente attenti però ad esprimere l'errore in radianti.
ora vediamo un po' le grandezze che entrano nella somma in quadratura:
1) abbiamo gli errori relativi dati dalle velocità di propagazione \(\frac{\sigma_v}{v}\) entrambi pari a \(10^{-3}\), che elevato al quadrato danno un contributo di \(10^{-6}\) ciascuno
2) l'errore relativo del seno dell'angolo di incidenza, che elevato al quadrato è \(\approx 6.17\cdot 10^{-7}\).
Possiamo approssimare il secondo e dire perciò che l'errore relativo totale del seno dell'angolo di trasmissione è pari a \(\sqrt{3}\cdot 10^{-3}\)
A questo punto si tratta di trovare l'errore dell'angolo di trasmissione. Anche qui bisognerebbe applicare la propagazione degli errori, ma tieni conto che la situazione è molto semplificata dal fatto che, essendo l'angolo piccolo, possiamo approssimare (con buona precisione) \(arcsin(x) \approx x\) e perciò, mettendo tutto assieme:
\[
\sigma_{\theta_2} = \sigma_{sin(...)} = \frac{\sqrt{3}}{1000} \sin\theta_2
\]
e convertirlo infine da radianti a gradi sessaggesimali:
\[
\sigma_{\theta_2°} = \frac{\sqrt{3}}{1000} \frac{180}{\pi} \sin\theta_2
\]
numericamente:
\[
\sigma_{\theta_2°} = \frac{\sqrt{3}}{1000} \frac{180}{\pi} \frac{340}{800 \sqrt{2}} \approx 0.03
\]
insomma, una volta noto che gli errori relativi dei prodotti si sommano in quadratura, che tutti gli errori relativi sono circa identici e che per angoli piccoli arcoseno è una funzione lineare, l'errore si calcola in maniera piuttosto agevole .... ma forse si fa prima con l'approccio alla "shut up and calculate" passando per le formule esatte.
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Anche questo metodo ci può stare. Il problema vero è che il come trattare gli errori è completamente non specificato nelle direttive dei quesiti.
È vero che vengono definiti le entità delle incertezze, ma dimenticano di dire se le incertezze sono correlate o meno fra loro. Possiamo invece dare per scontato (almeno quello!) la loro normalità. E quindi si apre un mondo, perché si può spaziare da una stima dell'errore in cui le sorgenti sono correlate perfettamente nel peggiore dei modi (il tuo ultimo calcolo) a una situazione opposta in cui sono tutti indipendenti (e sommati in quadratura, il tuo calcolo iniziale) a situazioni intermedie (es decorrelare le misure di angolo e velocità perché eg misure indipendenti, fatte con strumenti diversi).
Detto questo, la morale è: usare il metodo più semplice oppure vedere in varie soluzioni ufficiali (ammesso che esistano) quello adottato.
Però me puzza un pochino la soluzione che riportano, mi sembra tanto un intervallo buttato un po' tanto al chilo
vabbè tenere una sola cifra significativa nell'incertezza, ma passare da un errore di 0.05 a 0.1 mi sembra un po' eccessivo
È vero che vengono definiti le entità delle incertezze, ma dimenticano di dire se le incertezze sono correlate o meno fra loro. Possiamo invece dare per scontato (almeno quello!) la loro normalità. E quindi si apre un mondo, perché si può spaziare da una stima dell'errore in cui le sorgenti sono correlate perfettamente nel peggiore dei modi (il tuo ultimo calcolo) a una situazione opposta in cui sono tutti indipendenti (e sommati in quadratura, il tuo calcolo iniziale) a situazioni intermedie (es decorrelare le misure di angolo e velocità perché eg misure indipendenti, fatte con strumenti diversi).
Detto questo, la morale è: usare il metodo più semplice oppure vedere in varie soluzioni ufficiali (ammesso che esistano) quello adottato.
Però me puzza un pochino la soluzione che riportano, mi sembra tanto un intervallo buttato un po' tanto al chilo
vabbè tenere una sola cifra significativa nell'incertezza, ma passare da un errore di 0.05 a 0.1 mi sembra un po' eccessivo
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Scusate ma, se viene specificato che,
tutti i vostri dubbi sulla determinazione dell'incertezza dovrebbero svanire.
"sellacollesella":
...
2. il numero di cifre significative con cui è scritto non differisce per più di una dal numero di cifre riportato nella soluzione ufficiale;...
tutti i vostri dubbi sulla determinazione dell'incertezza dovrebbero svanire.
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Intendo dire che non possono venirmi a dire che " ... si scrivano i risultati numerici, quando richiesti, con un numero di cifre appropriato all’incertezza del risultato" ... e poi specificare che "... il numero di cifre significative con cui è scritto non differisce per più di una dal numero di cifre riportato nella soluzione ufficiale"; che senso ha, visto che non è specificato come trattare la propagazione dell'incertezza[nota]Nelle soluzioni che ho visto, non si sono mai sbilanciati nella sua determinazione.[/nota] ?
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La tua determinazione dell'incertezza è stata quella corretta! 
... a parte le 15 cifre significative del calcolo intermedio, che mi hanno fatto venire l'orticaria.
... a parte le 15 cifre significative del calcolo intermedio, che mi hanno fatto venire l'orticaria.
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