Ciclo termodinamico fisica 1
$ n = 2$ moli di un gas biatomico ($ cp = 7/5 R , cv = 5/2 R$) eseguono il seguente ciclo:
AB espansione irreversibile da $ Va = 3 litri $ , $ Ta = 200K$ a $Tb = 250 K$ in contatto con un serbatoio a temperatura $ Tb$
BC espansione adiabatica reversibile fino a $ Vc = 6 litri$ e $ Tc = Ta$
CA compressione reversibile in contatto termico con un serbatoio a temperatura $ Ta$.
Sapendo che il rendimento della macchina e' $ eta = 0.15$ determinare:
a) il calore scambiato tra C e A $ Q_(CA)$
b) il calore scambiato tra A e B $ Q_(AB)$
c) il lavoro tra A e B $W_(AB)$
d) il volume in B $ V_B$
e) l'entropia del gas in AB $DeltaS_(AB)$
f) l'entropia dell'universo nel ciclo $DeltaS^U$
Dal primo principio della termodinamica si ha:
$ Q = W + DeltaU$
CA e' isoterma reversibile quindi $ DeltaU = 0$
$ Q = W = int_()^() P dV =int_()^() nRT/V dV = nRTa ln(V_a/V_c) = -2304J$
b) si ha che:
$ eta = 1 + Q_C/Q_A$ dove $Q_C$ e' il calore ceduto, mentre $Q_A$ quello assorbito.
La trasformazione BC e' adiabatica quindi $ Q_(BC)= 0 $
Si ha $Q_C = Q_(CA) $, $Q_A = Q_(AB)$
$ Q_(AB) = Q_A = Q_C / (eta - 1) = 2710 J$
c) $ Q_(AB) = W_(AB) + DeltaU_(AB) = W_(AB) + n cv (Tb - Ta)$
$ W_(AB) = Q_(AB) - n cv (Tb - Ta) = 633 J$
d) BC e' adiabatica reversibile posso usare le equazioni di Poisson
$ T_b V_b^(gamma - 1) = T_c V_c^(gamma -1)$ dove $gamma = (cp)/(cv) = 7/5$
$ Vb = root(gamma-1)(T_c/T_b V_c^(gamma -1)) = 3.43 litri $
e) L'entropia in un ciclo e' zero, quindi:
$ DeltaS_(gas) = DeltaS_(AB)+DeltaS_(BC)+DeltaS_(CA) = 0$
BC e' adiabatica quindi
$DeltaS_(BC) = 0 $
$ DeltaS_(AB)= -DeltaS_(CA) = int_()^() P/T dV =int_()^() nRT/(TV) dV = nR ln(V_a/V_c) = -11.52 J/k $
f) L'entropia dell'universo coincide con la variazione di entropia dell'ambiente
$DeltaS^U = DeltaS_(AB) + DeltaS_(BC) + DeltaS_(CA) $
BC e' adiabatica
$ DeltaS_(BC) = 0 $
Le altre due sono reversibili quindi si ha:
$DeltaS_(AB) = -Q_(AB)/T_b = -10.84 J/K $
$DeltaS_(CA) = -Q_(CA)/T_a = 11.52 J/K $
$DeltaS^U = DeltaS_(AB)+ DeltaS_(CA) = 0.68 J/k $
Vorrei sapere se e' risolto in modo corretto.
AB espansione irreversibile da $ Va = 3 litri $ , $ Ta = 200K$ a $Tb = 250 K$ in contatto con un serbatoio a temperatura $ Tb$
BC espansione adiabatica reversibile fino a $ Vc = 6 litri$ e $ Tc = Ta$
CA compressione reversibile in contatto termico con un serbatoio a temperatura $ Ta$.
Sapendo che il rendimento della macchina e' $ eta = 0.15$ determinare:
a) il calore scambiato tra C e A $ Q_(CA)$
b) il calore scambiato tra A e B $ Q_(AB)$
c) il lavoro tra A e B $W_(AB)$
d) il volume in B $ V_B$
e) l'entropia del gas in AB $DeltaS_(AB)$
f) l'entropia dell'universo nel ciclo $DeltaS^U$
Dal primo principio della termodinamica si ha:
$ Q = W + DeltaU$
CA e' isoterma reversibile quindi $ DeltaU = 0$
$ Q = W = int_()^() P dV =int_()^() nRT/V dV = nRTa ln(V_a/V_c) = -2304J$
b) si ha che:
$ eta = 1 + Q_C/Q_A$ dove $Q_C$ e' il calore ceduto, mentre $Q_A$ quello assorbito.
La trasformazione BC e' adiabatica quindi $ Q_(BC)= 0 $
Si ha $Q_C = Q_(CA) $, $Q_A = Q_(AB)$
$ Q_(AB) = Q_A = Q_C / (eta - 1) = 2710 J$
c) $ Q_(AB) = W_(AB) + DeltaU_(AB) = W_(AB) + n cv (Tb - Ta)$
$ W_(AB) = Q_(AB) - n cv (Tb - Ta) = 633 J$
d) BC e' adiabatica reversibile posso usare le equazioni di Poisson
$ T_b V_b^(gamma - 1) = T_c V_c^(gamma -1)$ dove $gamma = (cp)/(cv) = 7/5$
$ Vb = root(gamma-1)(T_c/T_b V_c^(gamma -1)) = 3.43 litri $
e) L'entropia in un ciclo e' zero, quindi:
$ DeltaS_(gas) = DeltaS_(AB)+DeltaS_(BC)+DeltaS_(CA) = 0$
BC e' adiabatica quindi
$DeltaS_(BC) = 0 $
$ DeltaS_(AB)= -DeltaS_(CA) = int_()^() P/T dV =int_()^() nRT/(TV) dV = nR ln(V_a/V_c) = -11.52 J/k $
f) L'entropia dell'universo coincide con la variazione di entropia dell'ambiente
$DeltaS^U = DeltaS_(AB) + DeltaS_(BC) + DeltaS_(CA) $
BC e' adiabatica
$ DeltaS_(BC) = 0 $
Le altre due sono reversibili quindi si ha:
$DeltaS_(AB) = -Q_(AB)/T_b = -10.84 J/K $
$DeltaS_(CA) = -Q_(CA)/T_a = 11.52 J/K $
$DeltaS^U = DeltaS_(AB)+ DeltaS_(CA) = 0.68 J/k $
Vorrei sapere se e' risolto in modo corretto.
Risposte
Nessuno che risponde...
ciao, anchio studio termodinamica. leggendo la prima riga ho trovato subito un errore. il cp vale 7/2 e non 7/5 come hai scritto tu. Ciao
A parte l'errore di battitura segnalato da lucys87, mi pare tutto ok (non ho controllato i conti ma solo il procedimento).
"davide940":
Le altre due sono reversibili quindi si ha:
$DeltaS_(AB) = -Q_(AB)/T_b = -10.84 J/K $
No, AB è IRreversibile
"lucys87":
[quote="davide940"]Le altre due sono reversibili quindi si ha:
$DeltaS_(AB) = -Q_(AB)/T_b = -10.84 J/K $
No, AB è IRreversibile[/quote]
Vero, ma è irrilevante rispetto alle formule scritte dopo quella frase, che restano corrette, (non so davide940 cosa volesse sottintendere con quella frase).
Al limite si può sottolineare che la variazione dell'entropia in AB del gas e dell'ambiente non sono uguali ed opposte, visto che AB è irreversibile e che invece le variazioni di entropia in CA di gas e ambiente sono uguali ed opposte, visto che CA è reversibile.
Ora noto c'è un segno che non va dato che che da quello che scrive davide940 $DeltaS_(CA)$ di sistema e ambiente sarebbero uguali e non uguali ed opposte. Credo sia una banale svista nel riportare le formule: la variazione di entropia del gas tra AB è positiva, mentre quella dell'ambiente è negativa; la variazione di entropia del gas tra CA è negativa, quella dell'ambiente positiva.
Mi scuso per gli errori dovuti alla fretta con cui ho scritto.
Per il segno di $ DeltaS_(CA) $ho messo il segno meno in quanto il calore $Q_(CA)$ e' negativo, facendo cosi' risultare l'entropia positiva.
$ Q_(CA)^(GAS) = -2304 J $
$ΔS_(CA)^(AMB)=−Q_(CA)^(GAS)/T_a=11.52J/K$
Per il segno di $ DeltaS_(CA) $ho messo il segno meno in quanto il calore $Q_(CA)$ e' negativo, facendo cosi' risultare l'entropia positiva.
$ Q_(CA)^(GAS) = -2304 J $
$ΔS_(CA)^(AMB)=−Q_(CA)^(GAS)/T_a=11.52J/K$
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