Chiarimento terminologico
"Disco con spessore proporzionale alla distanza dall'asse". E' un cono?
Pensavo di si. Calcolando il momento di inerzia di un cono ottengo 3/10 mr^2, ma il libro mi riporta esattamente il doppio, cioè 3/5 mr^2. Come mai?
Pensavo di si. Calcolando il momento di inerzia di un cono ottengo 3/10 mr^2, ma il libro mi riporta esattamente il doppio, cioè 3/5 mr^2. Come mai?
Risposte
è un cono se lo spessore è inversamente proporzionale alla distanza, mentre se è direttamente proporzionale alla distanza no, è una cosa che in sezione ha questa forma quì ><
Ho pensato di procedere così...sarebbe un cilindro meno un cono, quindi il momento di inerzia totale sarebbe
$I_{"cil"}-I_{"cono"}=1/2 m_c R^2 - 3/10 m_{"con"} R^2 $
La massa del cono è tre volte meno la massa del cilindro, quindi semplificando i tre rimane
$1/2 mR^2-1/10 mR^2= 2/5mR^2$
C'ero quasi, infatti il risultato dovrebbe venire 3/5 mR^2. Cosa non va del mio ragionamento?
$I_{"cil"}-I_{"cono"}=1/2 m_c R^2 - 3/10 m_{"con"} R^2 $
La massa del cono è tre volte meno la massa del cilindro, quindi semplificando i tre rimane
$1/2 mR^2-1/10 mR^2= 2/5mR^2$
C'ero quasi, infatti il risultato dovrebbe venire 3/5 mR^2. Cosa non va del mio ragionamento?
Potresti postare se riesci il testo del problema in modo più preciso, non riesco a capire quale sia l' "angolo " con cui varia lo spessore del disco...
"Supponendo che lo spessore di un disco pieno di massa m e raggio r vari in modo proporzionale alla distanza dall'asse di rotazione, determinare il suo momento d'inerzia rispetto a tale asse".
Il metodo di sottrarre fra loro i due momenti d'inerzia del cono e del cilindro dovrebbe essere valido
Il metodo di sottrarre fra loro i due momenti d'inerzia del cono e del cilindro dovrebbe essere valido
Siano:
$2H$ altezza totale del rigido
$R$ raggio del rigido (è a simmetria cilindrica)
$m$ massa del rigido
$\rho=3/4m/(R^2\pi H)$ densità di massa
$I_s$ momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione
Fisso un riferimento in coordinate cilindriche $(O,\hat r,\varphi,\hat h)$, con $\hat h$ solidale all'asse di rotazione, $\hat r$ versore radiale e $\varphi$ angolo misurato attorno all'asse di rotazione. L'origine $O$ giace nel luogo dove la figura è più stretta |><| (lo so, non è un disegno molto esplicativo
)
$I_s=\int_{modello}\rho(P) d^2(s,P) dm=2\rho\int_{0}^{2\pi}( \int_{0}^{R} ( \int_{0}^{H/Rr} r^2 r d \hat h )d\hat r)d \varphi$
Come avrai notato per semplicità ho svolto il calcolo solo sulla metà superiore, e per simmetria ho moltiplicato per due all'inizio; se preferisci comunque puoi fare il calcolo completo. Se svolgi i calcoli ti accorgi che $H$ si elide, quindi il momento di inerzia rispetto l'asse in questione non dipende da come varia l'altezza dei coni, ed il risultato è proprio $3/5mR^2$
$2H$ altezza totale del rigido
$R$ raggio del rigido (è a simmetria cilindrica)
$m$ massa del rigido
$\rho=3/4m/(R^2\pi H)$ densità di massa
$I_s$ momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione
Fisso un riferimento in coordinate cilindriche $(O,\hat r,\varphi,\hat h)$, con $\hat h$ solidale all'asse di rotazione, $\hat r$ versore radiale e $\varphi$ angolo misurato attorno all'asse di rotazione. L'origine $O$ giace nel luogo dove la figura è più stretta |><| (lo so, non è un disegno molto esplicativo
)$I_s=\int_{modello}\rho(P) d^2(s,P) dm=2\rho\int_{0}^{2\pi}( \int_{0}^{R} ( \int_{0}^{H/Rr} r^2 r d \hat h )d\hat r)d \varphi$
Come avrai notato per semplicità ho svolto il calcolo solo sulla metà superiore, e per simmetria ho moltiplicato per due all'inizio; se preferisci comunque puoi fare il calcolo completo. Se svolgi i calcoli ti accorgi che $H$ si elide, quindi il momento di inerzia rispetto l'asse in questione non dipende da come varia l'altezza dei coni, ed il risultato è proprio $3/5mR^2$
Scusa...ma non ho mica capito che figura hai considerato...tra l'altro io so che 3/10 è il momento d'inerzia del cono, e 3/5 è il doppio...mi fai vedere la figura?
La figura non è molto chiara, solo che con autocad non so come si fanno le proiezioni ortogonali
Anzi, se qualcuno sa come ricavarle dal modello 3D gli sarei molto grato se mi spiegasse come si fa
Quindi è schiacciata da entrambi i lati? Non solo da uno?
secondo me si, facendo così viene il risultato corretto...
Ma a rigor di termini "Spessore proporzionale alla distanza dell'asse" è anche se la depressione c'è in un lato solo...
Niente...anche considerando la figura in quel modo (un cilindro - 2 coni di altezza h/2) mi viene sempre sbagliato...mi spiegate perchè non mi funziona questo metodo?
$I_{"tot"} = I_{"cil"} -2I_{"con"} = 1/2 m_{"cil"} R^2 - 2 3/10 m_{"con"} R^2$
Relazione tra m cilindro e m cono:
$m_("Cono") = 1/3 \pi R^2\pi h/2 = 1/6\pi R^2 h = 1/6 m_{"cil"}$
sostituendo
$I = 1/2 m_{"cil"}R^2-1/10 m_{"Cil"}R^2=2/5 m_{"cil"} R^2$
La massa totale del corpo è 2 m cono, cioè $M= 1/3 m_{"cil"}\rightarrow m_{"cil"} = 3M$
dA CUI verrebbe
$I = 2/5 3M R^2 = 6/5 MR^2$
Inoltre non ho proprio capito il modo in cui hai integrato...
$I_{"tot"} = I_{"cil"} -2I_{"con"} = 1/2 m_{"cil"} R^2 - 2 3/10 m_{"con"} R^2$
Relazione tra m cilindro e m cono:
$m_("Cono") = 1/3 \pi R^2\pi h/2 = 1/6\pi R^2 h = 1/6 m_{"cil"}$
sostituendo
$I = 1/2 m_{"cil"}R^2-1/10 m_{"Cil"}R^2=2/5 m_{"cil"} R^2$
La massa totale del corpo è 2 m cono, cioè $M= 1/3 m_{"cil"}\rightarrow m_{"cil"} = 3M$
dA CUI verrebbe
$I = 2/5 3M R^2 = 6/5 MR^2$
Inoltre non ho proprio capito il modo in cui hai integrato...
Ah ho capito mo col metodo delle masse negative mi viene!
Piuttosto vorrei capire che dm hai usato in quell'integrale triplo, se possibile
Piuttosto vorrei capire che dm hai usato in quell'integrale triplo, se possibile
nell'integrale il $dm$ è una notazione per indicare il generico elemento di lunghezza/area/volume quando non sai a priori se l'integrale sarà di linea, di superficie o di volume. Nel tuo caso il $dm$ diventa un $dV$, cioè devi fare un integrale di volume.
Queste almeno sono le notazioni dei miei prof, poi non escludo che altri docenti possano utilizzare altre notazioni diverse per gli integrali multipli.
Comunque mi fa strano che col tuo metodo venga...a quanto ne so il momento di inerzia non è una quantità che può essere sommata brutalmente.
Ad esempio il momento di inerzia di un cilindro pieno di massa $m$ e raggio $R$ rispetto all'asse del cilindro è $1/2mR^2$;
il momento di inerzia di una superficie cilindrica di massa $m$ con raggio interno $R_i$ e raggio esterno $R_e$ rispetto sempre all'asse è $1/2m(R_e^2+R_i^2)$, ed è evidentemente diverso dal momento che otteresti facendo la differenza di due cilindri di massa $m$.
Il problema di questi calcoli è che anche la massa della figura che trovi alla fine varia quando fai la differenza, quindi secondo me facendo così non fai altro che complicare il problema
Queste almeno sono le notazioni dei miei prof, poi non escludo che altri docenti possano utilizzare altre notazioni diverse per gli integrali multipli.
Comunque mi fa strano che col tuo metodo venga...a quanto ne so il momento di inerzia non è una quantità che può essere sommata brutalmente.
Ad esempio il momento di inerzia di un cilindro pieno di massa $m$ e raggio $R$ rispetto all'asse del cilindro è $1/2mR^2$;
il momento di inerzia di una superficie cilindrica di massa $m$ con raggio interno $R_i$ e raggio esterno $R_e$ rispetto sempre all'asse è $1/2m(R_e^2+R_i^2)$, ed è evidentemente diverso dal momento che otteresti facendo la differenza di due cilindri di massa $m$.
Il problema di questi calcoli è che anche la massa della figura che trovi alla fine varia quando fai la differenza, quindi secondo me facendo così non fai altro che complicare il problema
A dire il vero il metodo della massa negativa funziona e come. E te lo dimostro subito. Mettiamo che un corpo rigido di massa M possa essere considerato come la somma tra le masse m1 e m2 (M = m1+m2). Si ha
$I_{"tot"}=\sum mr^2 = M\sum r^2 = (m_1+m_2)\sum r^2= m_1\sum r^2+m_2\sum r^2 = I_1+I_2
Anche con il cilindro funziona. In realtà non hai considerato che LA MASSA DEL CILINDRO GRANDE è diversa da quella del cilindro piccola, quindi non puoi chiamarle semplicemente M. Se fai i calcoli bene e al posto di m metti la MASSA TOTALE, in effetti i calcoli ti vengono.
Una domanda, come hai ottenuto questo dV, cioè il differenziale del volume?
$I_{"tot"}=\sum mr^2 = M\sum r^2 = (m_1+m_2)\sum r^2= m_1\sum r^2+m_2\sum r^2 = I_1+I_2
Anche con il cilindro funziona. In realtà non hai considerato che LA MASSA DEL CILINDRO GRANDE è diversa da quella del cilindro piccola, quindi non puoi chiamarle semplicemente M. Se fai i calcoli bene e al posto di m metti la MASSA TOTALE, in effetti i calcoli ti vengono.
Una domanda, come hai ottenuto questo dV, cioè il differenziale del volume?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo