Chiarimento sull' equazione di Laplace
Una funzione che soddisfa l'equazione di Laplace è periodica?
In caso negativo perché tali funzioni vengono chiamate funzioni armoniche?
Nello studio di tale equazione per una funzione definita su un dominio rettangolare con condizioni al contorno di tipo misto non mi è chiaro quanto leggo su alcune dispense e cioè che, fissata la variabile x, è possibile sviluppare la funzione nella sola variabile y tramite la serie di Fourier (i cui coefficienti poi dipenderanno da x). Ma tale sviluppo, se non sbaglio, si applica a funzioni periodiche. Se ad esempio considero la funzione $ phi $ (x,y)= x^2 - y^2 il suo laplaciano risulta uguale a zero, ma non mi pare si tratti di una funzione periodica anche una volta che viene fissata una delle due variabili...
In caso negativo perché tali funzioni vengono chiamate funzioni armoniche?
Nello studio di tale equazione per una funzione definita su un dominio rettangolare con condizioni al contorno di tipo misto non mi è chiaro quanto leggo su alcune dispense e cioè che, fissata la variabile x, è possibile sviluppare la funzione nella sola variabile y tramite la serie di Fourier (i cui coefficienti poi dipenderanno da x). Ma tale sviluppo, se non sbaglio, si applica a funzioni periodiche. Se ad esempio considero la funzione $ phi $ (x,y)= x^2 - y^2 il suo laplaciano risulta uguale a zero, ma non mi pare si tratti di una funzione periodica anche una volta che viene fissata una delle due variabili...
Risposte
Lo sviluppo di F. non richiede la periodicità...
Grazie per la risposta.
Quindi la denominazione di funzione armonica per una funzione che soddisfa l'equazione di Laplace non ha alcun riferimento alle armoniche elementari, ovvero ai polinomi di Fourier?
Io ricordavo inoltre che nello sviluppo di Fourier appare la frequenza (angolare) $ omega $ nell'argomento delle funzioni seno e coseno o equivalentemente nell'esponente dell'esponenziale complesso, legata al periodo T della funzione dalla relazione
$ omega $ = 2 $ pi $ / T
La funzione armonica che sto studiando, come accennato nel primo messaggio, è definita in un dominio rettangolare col vertice in basso a sinistra che coincide con l'origine degli assi cartesiani. L'asse x è quello orizzontale, l'asse y quello verticale. I lati del rettangolo misurano rispettivamente 2a quello orizzontale e 2b quello verticale e le condizioni al contorno sono
$ varphi $ (0,y)=0, $ varphi $ (2a,y)=g(y) e $ delta $$ varphi $(x,0)/ $ delta $y=0, $ delta $ $ varphi $(x,2b)/ $ delta $y=0
Come dicevo sempre nel primo messaggio, l'autore delle dispense suggerisce di fissare la variabile x e a questo punto di sviluppare la funzione $ varphi $ in serie di Fourier. Nello sviluppo che propone gli argomenti delle funzioni coseno e seno sono (n $ pi $ y/b).
n è l'indice della ridotta della serie, y la variabile e, ripeto, per quanto ricordavo, $ pi $ /b era la frequenza angolare della funzione (che supponevo periodica quindi).
Ma se la funzione non lo è (periodica intendo), cosa rappresenta il fattore $ pi $ /b? Come lo si ricava in questo caso? Credo che il problema esposto sia abbastanza "classico", purtroppo non ho trovato dimostrazioni alternative se non una (credo proprio su questo forum) basata su un metodo che purtroppo non ho mai visto, ovvero quello degli autovalori.
Più in generale a questo punto domando: come si sviluppa in serie di Fourier una funzione non periodica?
Quindi la denominazione di funzione armonica per una funzione che soddisfa l'equazione di Laplace non ha alcun riferimento alle armoniche elementari, ovvero ai polinomi di Fourier?
Io ricordavo inoltre che nello sviluppo di Fourier appare la frequenza (angolare) $ omega $ nell'argomento delle funzioni seno e coseno o equivalentemente nell'esponente dell'esponenziale complesso, legata al periodo T della funzione dalla relazione
$ omega $ = 2 $ pi $ / T
La funzione armonica che sto studiando, come accennato nel primo messaggio, è definita in un dominio rettangolare col vertice in basso a sinistra che coincide con l'origine degli assi cartesiani. L'asse x è quello orizzontale, l'asse y quello verticale. I lati del rettangolo misurano rispettivamente 2a quello orizzontale e 2b quello verticale e le condizioni al contorno sono
$ varphi $ (0,y)=0, $ varphi $ (2a,y)=g(y) e $ delta $$ varphi $(x,0)/ $ delta $y=0, $ delta $ $ varphi $(x,2b)/ $ delta $y=0
Come dicevo sempre nel primo messaggio, l'autore delle dispense suggerisce di fissare la variabile x e a questo punto di sviluppare la funzione $ varphi $ in serie di Fourier. Nello sviluppo che propone gli argomenti delle funzioni coseno e seno sono (n $ pi $ y/b).
n è l'indice della ridotta della serie, y la variabile e, ripeto, per quanto ricordavo, $ pi $ /b era la frequenza angolare della funzione (che supponevo periodica quindi).
Ma se la funzione non lo è (periodica intendo), cosa rappresenta il fattore $ pi $ /b? Come lo si ricava in questo caso? Credo che il problema esposto sia abbastanza "classico", purtroppo non ho trovato dimostrazioni alternative se non una (credo proprio su questo forum) basata su un metodo che purtroppo non ho mai visto, ovvero quello degli autovalori.
Più in generale a questo punto domando: come si sviluppa in serie di Fourier una funzione non periodica?
Lo sviluppo in serie di F. è una formula ben precisa. Prova ad applicarla... Per quanto riguarda il discorso sulla periodicità, direi che una funzione (di solito in L2) (periodica o non) è sviluppabile secondo F. in somme di funzioni periodiche.
Uno dei punti che appunto non mi è chiaro è proprio quanto tu dici: "[...] direi che una funzione (di solito in L2) (periodica o non) è sviluppabile secondo F. in somme di funzioni periodiche." , cioè una funzione sviluppata secondo Fourier è una somma(toria) di funzioni periodiche...ovvero (ma è qui che non ci scommetterei granchè) è una combinazione lineare di funzioni periodiche...e in quanto tale dovrebbe essere anch'essa (la somma delle funzioni periodiche) una funzione periodica...???
Beh, lo sviluppo è infinito...
Forse fraintendiamo. La funzione da sviluppare è definita su un intervallo semplice e non deve essere per forza periodica in quell'intervallo...
[url]
http://arrigoamadori.comlu.com/CalcoloN ... 964999.png
[/url]
Questa parabola è sviluppata a 30 termini.
http://arrigoamadori.comlu.com/CalcoloN ... 964999.png
[/url]
Questa parabola è sviluppata a 30 termini.
Ok. La spiegazione è questa. Tu sommi seni e coseni, che sono sì periodici, ma sono sfasati e dotati di coefficienti che cambiano. Il risultato della somma, quindi, non è detto che sia periodico.
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