Chiarimento sul momento di inerzia di un disco
Salve, necessito di un chiarimento su un passaggio del mio libro di testo che non riesco a capire.
Il passaggio in questione è il seguente:
[size=84](Focardi, Massa, Uguzzoni - Fisica Generale - Meccanica e termodinamica - pag. 337)[/size]
Ora secondo me l'area della corona circolare infinitesima è:
[tex]\pi (p+dp)^2 - \pi p^2 = \pi p^2 + 2 p dp \pi + \pi dp^2 - \pi p^2 = 2 p dp \pi + \pi dp^2[/tex]
Solo che il testo sembra trascurare quel [tex]\pi dp^2[/tex], infatti solo il primo addendo è moltiplicato per [tex]o[/tex]. Cosa c'è che non va? Credo che lo trascuri perchè infinitesimo di ordine superiore (come indicato nella parentesi), ma non ho capito cosa ci renda possibile trascurare gli infinitesimi di dp di ordine superiore a 1 ....
Il passaggio in questione è il seguente:
Come primo esempio di utilizzazione della (8-7), calcoliamo il momento di inerzia di un disco omogeneo di massa m e raggio R, rispetto ad un asse ad esso perpendicolare passante per il suo centro O; il disco sia piccolo di spessore, tanto da essere schematizzabile come una superficie piana. Indicata con [tex]o[/tex] la densità superficiale di massa, risulta [tex]o = m / \pi R^2[/tex]. Come elemento infinitesimo di massa è conveniente scegliere una corona circolare col centro in O e paggi [tex]p[/tex] e [tex]p+dp[/tex], i cui punti hanno tutti la stessa distante dall'asse (a meno di infinitesimi di ordine superiore). Risulta
[tex]dm= o dS = 2 o \pi p dp[/tex]
[size=84](Focardi, Massa, Uguzzoni - Fisica Generale - Meccanica e termodinamica - pag. 337)[/size]
Ora secondo me l'area della corona circolare infinitesima è:
[tex]\pi (p+dp)^2 - \pi p^2 = \pi p^2 + 2 p dp \pi + \pi dp^2 - \pi p^2 = 2 p dp \pi + \pi dp^2[/tex]
Solo che il testo sembra trascurare quel [tex]\pi dp^2[/tex], infatti solo il primo addendo è moltiplicato per [tex]o[/tex]. Cosa c'è che non va? Credo che lo trascuri perchè infinitesimo di ordine superiore (come indicato nella parentesi), ma non ho capito cosa ci renda possibile trascurare gli infinitesimi di dp di ordine superiore a 1 ....
Risposte
[tex]2 p dp \pi + \pi dp^2 = (2 p + dp)\pi dp[/tex]
ma
[tex](2 p + dp) = 2p[/tex]
Un infinitesimo rispetto a un numero finito è zero.
Un infinitesimo è un numero che non è zero ma è "piccolissimo". Quanto verrà fatto il passaggio al limite, allora, diventerà "come uno zero".
Spero che sia più chiaro.
ma
[tex](2 p + dp) = 2p[/tex]
Un infinitesimo rispetto a un numero finito è zero.
Un infinitesimo è un numero che non è zero ma è "piccolissimo". Quanto verrà fatto il passaggio al limite, allora, diventerà "come uno zero".
Spero che sia più chiaro.
"Quinzio":
[tex]2 p dp \pi + \pi dp^2 = (2 p + dp)\pi dp[/tex]
ma
[tex](2 p + dp) = 2p[/tex]
Un infinitesimo rispetto a un numero finito è zero.
Un infinitesimo è un numero che non è zero ma è "piccolissimo". Quanto verrà fatto il passaggio al limite, allora, diventerà "come uno zero".
Spero che sia più chiaro.
Non credo di aver capito. Che è piccolo ci siamo, che per quanti zeri decimali poso mettere dopo la virgola dp è ancora più piccolo mi sta bene, ma non ho capito perchè è sempre vero che lo devo ignorare. Metti che io ho (anche idealmente) una strumentazione così precisa che mi serve il momento di inerzia calcolato con la massima precisione. (che poi, tra l'altro, è anche il motivo per cui non mi riescono alcuni esercizi di analisi di questo tipo). Essendo rigorosi, facciamo come hai detto tu e passiamo al limite:
[tex]\lim_{dp \to 0} ( 2 p dp \pi + \pi dp^2) = \lim_{dp \to 0} ( 2 p dp \pi) + \lim_{dp \to 0}(\pi dp^2)[/tex]
Se il secondo limite è 0 semplicemente perchè al posto di [tex]dp[/tex] gli metto 0 che è un numero "molto vicino" a dp, non vedo perchè non possa fare la stessa cosa con il primo addendo. Che [tex]dp^2[/tex] è più piccolo di [tex]dp[/tex] e quindi ancora più vicino a 0 di quanto lo sia dp mi sta bene, ma non dovrebbe essere sbagliato mettere 0 anche per il primo addendo. E in ogni caso non vedo perchè portare dp fuori dal limite, visto che non è costante. Cioè, voglio dire, assumendo che [tex]dp^2[/tex] sia abbastanza vicino a 0 da poter essere sostituito con 0, mentre [tex]dp[/tex] non lo è, non vedo perchè
[tex]\lim_{dp \to 0} ( 2 p dp \pi) = 2 p dp \pi[/tex] dove la parte a sinistra è quello che resta dopo aver sostituito 0 a [tex]dp^2[/tex] e la parte a destra è il risultato che dovrebbe venire.
Anche raccogliendo come hai fatto tu:
[tex]\lim_{dp \to 0} ( (2 p + dp)\pi dp )[/tex]
sostituendo, il limite viene zero.
Per "infinitesimale" si intende una quantità piccola ma finita.
Per "infinitesimo" si intende una quantità piccola che tende a zero.
In altri termini, mentre nel primo non è implicito un passaggio al limite, nel secondo lo è.
Rigorosamente, la quantità da calcolare è $(dA)/(dp)$.
Questa quantità vale $2\pip$.
In pratica devi dividere per $dp$ e prendere il limite per $dp$ che tende a zero.
Per "infinitesimo" si intende una quantità piccola che tende a zero.
In altri termini, mentre nel primo non è implicito un passaggio al limite, nel secondo lo è.
Rigorosamente, la quantità da calcolare è $(dA)/(dp)$.
Questa quantità vale $2\pip$.
In pratica devi dividere per $dp$ e prendere il limite per $dp$ che tende a zero.
"raffamaiden":
[quote="Quinzio"][tex]2 p dp \pi + \pi dp^2 = (2 p + dp)\pi dp[/tex]
ma
[tex](2 p + dp) = 2p[/tex]
Un infinitesimo rispetto a un numero finito è zero.
Un infinitesimo è un numero che non è zero ma è "piccolissimo". Quanto verrà fatto il passaggio al limite, allora, diventerà "come uno zero".
Spero che sia più chiaro.
Non credo di aver capito. Che è piccolo ci siamo, che per quanti zeri decimali poso mettere dopo la virgola dp è ancora più piccolo mi sta bene, ma non ho capito perchè è sempre vero che lo devo ignorare.
[/quote]
Non lo devi ignorare sempre, ma solo quando va a sommarsi a una quantità di ordine superiore, ovvero [tex]dp[/tex] si annulla in confronto a [tex]p[/tex], e [tex]dp^2[/tex] si annulla in confronto a [tex]dp[/tex].
Metti che io ho (anche idealmente) una strumentazione così precisa che mi serve il momento di inerzia calcolato con la massima precisione. (che poi, tra l'altro, è anche il motivo per cui non mi riescono alcuni esercizi di analisi di questo tipo).
Non è questione di precisione, sai. La precisione dei metodi matematici è assoluta, è esatta.
Se gli esercizi di analisi non ti vengono i motivi sono altri.
Anche l'inerzia di un disco è esattamente [tex]\pi m R^2[/tex], non è circa quel valore.
Nella pratica poi chiaramente è tutto un altro discorso.
Prendi ad esempio questo limite
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{x+x^2}{x}[/tex]
La teoria dice che l risultato è 1.
Eppure svolgendo direttamente i calcoli, non ottieni mai 1.
Se ad es.[tex]x = 10^{-10}[/tex], quella frazione nel limite, non è 1, e "quasi" 1.
Se [tex]x = 0[/tex] la frazione è indeterminata, 0/0.
Per qui da quella divisione non esce mai 1, eppure il limite è 1.
E' la stessa cosa degli infinitesimi. Se poni [tex]x=dp[/tex], hai una cosa simile al ragionamento sull'inerzia.
Il fatto è che quando poi vai a calcolare l'inerzia, applichi un'integrale, e l'integrale ha il "potere" di resuscitare gli infinitesimi. (Chiedo perdono per il linguaggio).
Ovvero:
[tex]\int_{0}^{1}dx = 1[/tex]
mentre
[tex]\int_{0}^{1}{dx^2} = dx[/tex]
Perchè questo ? Sia [tex]dx[/tex] che [tex]dx^2[/tex] sono quantità piccole ma diverse da zero. Per cui entrambe dovrebbero risultare in un numero finito, es. 1.
Invece l'infinitesimo al quadrato è un infinitesimo di ordine minore, un infinitesimo di un infinitesimo, per cui ha meno "potere" degli infinitesimi superiori.
E' come chiedersi:
infiniti punti possono fare una retta ? Si.
infinite rette possono fare un piano ? Si.
infiniti punti possono fare un piano? No.
E' un po' strano che i punti fanno una retta, ma non possono fare un piano.
Occorre fare un doppio integrale per passare dai punti al piano, non serve fare un integrale più fitto, più denso. Si ottengono solo rette.
[/quote]
Vorrei chiarire che sono gli infinitesimi di ordine superiore ad essere trascurabili rispetto agli infinitesimi di ordine inferiore.
In altri termini, quando $x\to0$, $x^2$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x$, oppure, $x$ è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a $x^2$.
Allora, se proprio devo trascurarne uno, trascuro $x^2$.
In altri termini, quando $x\to0$, $x^2$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x$, oppure, $x$ è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a $x^2$.
Allora, se proprio devo trascurarne uno, trascuro $x^2$.
Ti consiglio di rivedere bene gli argomenti "Integrale secondo Riemann" e "Teorema fondamentale del calcolo integrale", chiamato anche teorema di Torricelli-Barrow, in particolare la relazione sistente tra il valore dell'integrale e le somme superiori e inferiori di Riemann (in questo caso si fa una somma di momenti di inerzia per ottenere il momento di inerzia totale, che nel caso continuo diventa un integrale di distribuzione del momento di inerzia) e il fatto che l'operazione di integrazione può essere considerata come inversa dell'operazione di derivazione di una funzione.
"speculor":
Per "infinitesimale" si intende una quantità piccola ma finita.
Per "infinitesimo" si intende una quantità piccola che tende a zero.
In altri termini, mentre nel primo non è implicito un passaggio al limite, nel secondo lo è.
Rigorosamente, la quantità da calcolare è $(dA)/(dp)$.
Questa quantità vale $2\pip$.
In pratica devi dividere per $dp$ e prendere il limite per $dp$ che tende a zero.
Ecco ci avevo pensato pure io di calcolare il differenziale della funzione, ed in effetti il risultato viene corretto. Ma non capisco perchè calcolando la differenza fra le aree di due settori circolari qualsiasi e poi facendo il limite per dp che tende a zero non viene (ovvero DOVREBBE venire 0). Cioè calcolando la variazione della funzione sulla retta tangente (differenziale) mi viene corretto, mentre non mi viene calcolando la variazione "reale" della funzione (non sulla tangente). Cioè secondo me dovrebbe venire anche con il limite che ho postato sopra
Non lo devi ignorare sempre, ma solo quando va a sommarsi a una quantità di ordine superiore, ovvero dp si annulla in confronto a p , e dp^2 si annulla in confronto a dp .
Non è questione di precisione, sai. La precisione dei metodi matematici è assoluta, è esatta.
Se gli esercizi di analisi non ti vengono i motivi sono altri.
Anche l'inerzia di un disco è esattamente \pi m R^2, non è circa quel valore.
Grazie, era quello che volevo sapere. Per gli esercizi, mi riferivo ad esercizi che vengono se ignori infinitesimi di ordine superiore, cosa che io non facevo.
Il fatto è che quando poi vai a calcolare l'inerzia, applichi un'integrale, e l'integrale ha il "potere" di resuscitare gli infinitesimi. (Chiedo perdono per il linguaggio).
Ovvero:
\int_{0}^{1}dx = 1
mentre
\int_{0}^{1}{dx^2} = dx
Anche l'integrale di $dx^2$ mi mancava, ho dato una lettura qui (è l'unico che ho trovato). Ne approfitto per chiederti una cosa: perchè i dx dopo il primo si considerano costanti, sia nel calcolo dell'integrale sia in quello della derivata? Cioè io ho sempre ragionato con "[tex]\int 1 dx = x[/tex] perchè la derivata di x è 1" quindi in pratica ignoravo quel dx. Nel mio testo queste cose non ci sono, cioè gli integrali sono sempre con dx alla prima, senza altre potenze.
Perchè dici che non viene? Dopo avere fatto la differenza, e questo l'hai fatto nel tuo primo messaggio, devi dividere per $dp$ e fare il limite per $dpto0$. Dovrebbe venire $2\pip$.
"speculor":
Perchè dici che non viene? Dopo avere fatto la differenza, e questo l'hai fatto nel tuo primo messaggio, devi dividere per $dp$ e fare il limite per $dpto0$. Dovrebbe venire $2\pip$.
Ma così ottengo la derivata della funzione! Infatti è la differenza tra i valori che assume la funzione in [tex]p+dp[/tex] e [tex]p[/tex] (che come hai detto ho fatto nel primo messaggio) diviso l'incremento infinitesimo [tex]dp[/tex] con [tex]lim_{dp \to 0}[/tex]. Ottengo la derivata della funzione che, come hai detto, viene [tex]2 \pi p[/tex]. Ma questo ovviamente non è il risultato. Infatti come si vede nel primo messaggio il risultato del libro è [tex]dS = 2 \pi p dp[/tex], ovvero c'è un fattore [tex]dp[/tex] in più, cioè il tutto è il differenziale della funzione, ovvero la variazione della funzione calcolata sulla retta tangente. Il concetto è che mi serve la variazione infinitesima della funzione, e la posso approssimare calcolandola sulla retta tangente (so che sapete queste cose, sto riassumendo per vedere se il mio ragionamento è giusto e in caso contrario mi correggete se lo ritenete opportuno). Fin qui ci sono e tutto torna.
Quello che dico io è che dovrebbe tornare anche senza il differenziale, ma calcolando la variazione "reale" della funzione (non sulla retta tangente, ma la variazione infinitesima effettiva che ha la funzione). E per fare questo devo calcolare la differenza tra i valori che assume la funzione in [tex]p+dp[/tex] e [tex]p[/tex] e poi fare il limite per [tex]dp \to 0[/tex] (senza dividere per niente quindi), ovvero devo fare il limite della quantità che ho scritto nel primo messaggio, ovvero [tex]lim_{dp \to 0} 2 p \pi dp + \pi dp^2[/tex] e il risultato dovrebbe venire uguale a quello di prima....
Ho scritto i miei ragionamenti così potete correggermi se c'è qualcosa di sbagliato e per fare capire perchè voglio fare questo.
Il concetto di "variazione infinitesima effettiva" è un po' ardito. Se parli di variazione infinitesima intendi una quantità che tende a zero, a quel punto si considera l'addendo che tende a zero meno velocemente. Se vuoi qualcosa di finito, devi dividere per $dp$ prima di fare il limite. In ogni modo, quando fai l'integrale, di fatto recuperi tutti quegli infinitesimi di ordine superiore che fai così fatica a trascurare.
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