Chiarimento su un problema di balistica
Un cannone spara proiettili alla vecita initiale $v_0=300m/s$ che devono colpire un bersaglio situato su un monte di altezza h=1000m e a distanza d=5000m. Calcolare:
1.l'altezza massima raggiunta.
2.la gittata se l'angolo di alzo $\alpha=30$gradi
E' possibile arrivare alle soluzioni considerando i dati evidenziate come superflui?
1.l'altezza massima raggiunta.
2.la gittata se l'angolo di alzo $\alpha=30$gradi
E' possibile arrivare alle soluzioni considerando i dati evidenziate come superflui?
Risposte
Si e no.
Per il punto 2 non ti occorrono (se il proiettile scavalca il monte, ovviamente). Hai alzo e velocita', ti bastano quelli.
Per il punto 1, ti serve l'alzo, in funzione della posizione del bersaglio
Per il punto 2 non ti occorrono (se il proiettile scavalca il monte, ovviamente). Hai alzo e velocita', ti bastano quelli.
Per il punto 1, ti serve l'alzo, in funzione della posizione del bersaglio
Il punto 1 è ambiguo.
Data quella velocità iniziale del proiettile, esistono due diversi valori di alzo che permettono di colpire quel bersaglio, in relazione ai quali esistono due diverse altezze massime della parabola di tiro.
Data quella velocità iniziale del proiettile, esistono due diversi valori di alzo che permettono di colpire quel bersaglio, in relazione ai quali esistono due diverse altezze massime della parabola di tiro.
Scusa Falco ma il massimo è uno solo ... 
@profk
"Se il proiettile scavalca il monte" significa che ti occorrono ...
Cordialmente, Alex
@profk
"Se il proiettile scavalca il monte" significa che ti occorrono ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Scusa Falco ma il massimo è uno solo ...
Non sono forse stato chiaro?
Ripeto con altre parole.
Le curve possibili sono due, una per ciascuno dei due valori di alzo consentiti (l'equazione di secondo grado che esce dal calcolo ha due possibili soluzioni).
Escono due valori di alzo perché lo stesso bersaglio puoi colpirlo con alzo basso e quindi tiro teso (ramo ascendente della parabola) oppure con alzo molto maggiore (ramo discendente della parabola).
Ciascuna curva ha il suo massimo, quindi i massimi possibili sono due.
No, perché la domanda richiede l'altezza massima raggiunta che sarà solo una delle due (eventualmente coincidenti ma sempre una è ... 
)
Cordialmente, Alex
)Cordialmente, Alex
Mah, io la intendevo cosi
Quando risolvi hai 2 alzi.
Per uno ha senso parlare di altezza massima (il massimo e' compreso tra cannone e 5000m, il proiettile colpisce il bersaglio in fase discendnete)
Per l'altro non ha senso parlare di massimo (il massimo e' il bersaglio).
Per quanto riguarda la gittata massima, vale la stessa cosa. Se, dato l'angolo e la velocita', il tiro e' "corto" (cade al massimo alla base del monte) ha senso parlare di gittata. Distanza e altezza non entrano in gioco se non come limiti (l'altezaa, anzi, in qesto caso, manco per gnente).
Se il tiro e' lungo, e il bersaglio e' oltrepassato (il proiettile gli vola sopra), ha ancora senso di parlare di gittata. In questo caso il limite e' l'altezza.
Se l'altezza del proiettile quando passa d e' minore di h, non ha senso parlare di gittata, perche si schianta sul monte.
Quando risolvi hai 2 alzi.
Per uno ha senso parlare di altezza massima (il massimo e' compreso tra cannone e 5000m, il proiettile colpisce il bersaglio in fase discendnete)
Per l'altro non ha senso parlare di massimo (il massimo e' il bersaglio).
Per quanto riguarda la gittata massima, vale la stessa cosa. Se, dato l'angolo e la velocita', il tiro e' "corto" (cade al massimo alla base del monte) ha senso parlare di gittata. Distanza e altezza non entrano in gioco se non come limiti (l'altezaa, anzi, in qesto caso, manco per gnente).
Se il tiro e' lungo, e il bersaglio e' oltrepassato (il proiettile gli vola sopra), ha ancora senso di parlare di gittata. In questo caso il limite e' l'altezza.
Se l'altezza del proiettile quando passa d e' minore di h, non ha senso parlare di gittata, perche si schianta sul monte.
Ma per sapere in quale caso ti trovi ti occorrono sempre i dati del monte, no?
"axpgn":
No, perché la domanda richiede l'altezza massima raggiunta che sarà solo una delle due (eventualmente coincidenti ma sempre una è ...
Cordialmente, Alex
Insisto nel dire che secondo me il testo è ambiguo; di solito l'altezza massima non si intende "considerando tutti i possibili alzi" ma per una traiettoria ben precisa.
Si può anche interpretare come hai detto tu, però mi pare un po' tirato per i capelli.
Un buon testo di esercizio non deve tendere tranelli verbali, deve invece eliminare le ambiguità (idea mia, eh, poi ciascuno la pensi come crede).
Mi sta bene tutto ma che la frase "calcolare l' altezza massima raggiunta" sia ambigua e che la mia intepretazione sia "tirata per i capelli" francamente mi lascia perplesso ... 
Di "altezza massima" c'è n'è una quindi ... se scrivi "di solito si intende ..." sei tu che interpreti ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
Di "altezza massima" c'è n'è una quindi ... se scrivi "di solito si intende ..." sei tu che interpreti ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
Questo è il mio tentativo(ho provato a risolvere il punto 1,cercando di capire al meglio il testo )
sia
$h/d=sin\beta$ e supponiamo che il proiettile colpisca il bersaglio.
Sappiamo che nel punto di altezza massima $V_y=0$
quindi $-(g*t)+v_0*sin\beta=0$
risolvendo in funzione di t ottengo il tempo necessario a raggiungere l'altezza massima,sostituendo tale valore nell'equazione che rappresenta lo spostamento ottengo l'altezza massima.Per ora questo mi è venuto in mente....perdonate gli eventuali errori
sia
$h/d=sin\beta$ e supponiamo che il proiettile colpisca il bersaglio.
Sappiamo che nel punto di altezza massima $V_y=0$
quindi $-(g*t)+v_0*sin\beta=0$
risolvendo in funzione di t ottengo il tempo necessario a raggiungere l'altezza massima,sostituendo tale valore nell'equazione che rappresenta lo spostamento ottengo l'altezza massima.Per ora questo mi è venuto in mente....perdonate gli eventuali errori
"axpgn":
Ma per sapere in quale caso ti trovi ti occorrono sempre i dati del monte, no?
E dai, AXP, non sottilizziamo. Intendo chiaramente che i dati del monte NON entrano nella risoluzione dell'equazione per trovare la gittata una volta dati alzo e velocita' di sparo. Quella si risolve indipendentemente da h e d.
@Falco.
E' vero, gli esercizi dovrebbero essere inequivocabili, ma a volte e' l'ambiguita' che fa ragionare e fa vedere chi distingue eventi fisicamente possibili da eventi non.
In questo caso, davanti a un compito, avrei fatto i ragionamenti del post precedente.
Puppeteer, se calcoli $beta$ cosi, non colpirai MAI il bersaglio. LA supposizione e' sbagliata dall'inizio. A senso, se devi colpire un bersaglio fermo in alto, dovrei alzarti piu di $beta$, no?
Inoltre mi chiedo con $\alpha=30$ il monte verrà colpito?Dove sarà il proiettile quando x=5000?
Per rispondere pongo $x=d=5000m$
calcolo il tempo $t'=19,2s$necessario al proiettile per arrivare in d(RICORDO CHE IPOTIZZO UN ANGOLO DI 30 GRADI!)
sostituisco t' nell'equazione di y e vedo che il proiettile passa al di sopra dell'ostacolo,pertanto posso calcolare la gittata senza problemi.La cosa era ovvia ma l'ho fatto per esser chiaro.Per quanto riguarda il punto 1 come dovrei procedere?
Per rispondere pongo $x=d=5000m$
calcolo il tempo $t'=19,2s$necessario al proiettile per arrivare in d(RICORDO CHE IPOTIZZO UN ANGOLO DI 30 GRADI!)
sostituisco t' nell'equazione di y e vedo che il proiettile passa al di sopra dell'ostacolo,pertanto posso calcolare la gittata senza problemi.La cosa era ovvia ma l'ho fatto per esser chiaro.Per quanto riguarda il punto 1 come dovrei procedere?
Premetto che non voglio fare sterile polemica, ma ciascuno ha le sue idee ed è giusto che le difenda.
Nonostante la mia ragguardevole età io riesco ancora a immedesimarmi nella mente di uno studente, e quello che uno studente DEVE pretendere da un testo o da un professore è la mancanza assoluta di ambiguità.
Se un professore o un testo lasciano aperta la porta a troppi "se" e "ma" nell'interpretazione degli esercizi da svolgere, allora non sanno fare il loro mestiere, perché non è in questo modo che si discrimina chi ha capito la fisica e chi no, in questo modo si capisce solo chi la sa insegnare bene e chi no.
Se invece facciamo quiz a premi allora è diverso, anche i trabocchetti e i cavilli logici fanno parte del gioco.
(dimostrazione: in tutte queste disquisizioni chi ha posto la domanda ci si raccapezza assai poco. Quasi quasi mi vien voglia di rispondergli in privato
)
Nonostante la mia ragguardevole età io riesco ancora a immedesimarmi nella mente di uno studente, e quello che uno studente DEVE pretendere da un testo o da un professore è la mancanza assoluta di ambiguità.
Se un professore o un testo lasciano aperta la porta a troppi "se" e "ma" nell'interpretazione degli esercizi da svolgere, allora non sanno fare il loro mestiere, perché non è in questo modo che si discrimina chi ha capito la fisica e chi no, in questo modo si capisce solo chi la sa insegnare bene e chi no.
Se invece facciamo quiz a premi allora è diverso, anche i trabocchetti e i cavilli logici fanno parte del gioco.
(dimostrazione: in tutte queste disquisizioni chi ha posto la domanda ci si raccapezza assai poco. Quasi quasi mi vien voglia di rispondergli in privato
)
Falco5x,tornando a un tuo post precedente ti posso dire che osservando il disegno sembra che il proiettile colpisca il bersaglio nel tratto discendente della parabola
"puppeteer":
Falco5x,tornando a un tuo post precedente ti posso dire che osservando il disegno sembra che il proiettile colpisca il bersaglio nel tratto discendente della parabola
Ah beh, se c'è un disegno allora l'ambiguità cade e mi rappacifico subito con il compilatore dell'esercizio.
Perfetto,dunque come dovrei procedere per svolgere il punto 1?(ho fatto un tentativo ma a quanto pare non è corretto e scusa se non l'ho specificato pprima)
@Falco5x
Io sono d'accordo con il tuo ragionamento, il problema sta nel fatto che in questo caso, per quanto mi sforzi, non riesco a vederci ambiguità alcuna ...
Per quel che ricordo, il "massimo" di un insieme di numeri reali è unico e se la richiesta è "determinare l'altezza massima raggiunta" non ci vedo dubbi ... le traiettorie possibili sono più di una? Bene, significa che dovrò calcolarmele tutte, trovare il punto più alto di ciascuna ed infine scegliere il massimo fra questi ... dove starebbe l'inghippo, il trabocchetto?
Dici che il ragazzo non ci si raccapezza più per la poca chiarezza del problema? Io propendo per altro, anche perché la domanda iniziale non è riferita al metodo risolutivo ma sull'inutilità dei dati forniti, ed è questa richiesta che mi fa pensare molto ...
@profk
È vero, sto "sottilizzando" (vedi faccine ... ) ma forse neanche tanto ... come detto appena sopra le richieste dell'OP riguardano proprio i dati forniti ed anche per la seconda domanda quei dati ti servono (anche se indirettamente) per capire se puoi o non puoi calcolarti la gittata ... detto in altro modo, non puoi semplicemente calcolarti la gittata ma devi anche stabilire se prima va a sbattere ... ne ho visti di esercizi del genere, svolti così e con sorpresa finale ... toh, sbatte! 
Cordialmente, Alex
Io sono d'accordo con il tuo ragionamento, il problema sta nel fatto che in questo caso, per quanto mi sforzi, non riesco a vederci ambiguità alcuna ...
Per quel che ricordo, il "massimo" di un insieme di numeri reali è unico e se la richiesta è "determinare l'altezza massima raggiunta" non ci vedo dubbi ... le traiettorie possibili sono più di una? Bene, significa che dovrò calcolarmele tutte, trovare il punto più alto di ciascuna ed infine scegliere il massimo fra questi ... dove starebbe l'inghippo, il trabocchetto?
Dici che il ragazzo non ci si raccapezza più per la poca chiarezza del problema? Io propendo per altro, anche perché la domanda iniziale non è riferita al metodo risolutivo ma sull'inutilità dei dati forniti, ed è questa richiesta che mi fa pensare molto ...
@profk
È vero, sto "sottilizzando" (vedi faccine ...
) ma forse neanche tanto ... come detto appena sopra le richieste dell'OP riguardano proprio i dati forniti ed anche per la seconda domanda quei dati ti servono (anche se indirettamente) per capire se puoi o non puoi calcolarti la gittata ... detto in altro modo, non puoi semplicemente calcolarti la gittata ma devi anche stabilire se prima va a sbattere ... ne ho visti di esercizi del genere, svolti così e con sorpresa finale ... toh, sbatte! Cordialmente, Alex
@ puppeteer
Come traccia di soluzione, ti posso dare qualche idea.
Per prima cosa tu conosci le funzioni x(t) e y(t) parametriche del tempo.
Queste funzioni contengono il parametro $\alpha$, cioè l'angolo di alzo, che nel caso del punto 1 del problema è incognito.
Nota però che il tempo non è né un dato del problema, né entra in alcun modo tra i risultati richiesti, dunque in questo caso fa solo confusione.
In questo problema ci sono invece dati metrici in x e y, come la distanza e l'altezza del bersaglio.
Il primo consiglio che mi viene da darti, dunque, è quello di eliminare il parametro tempo dalle due funzioni, portandoti così a un'unica equazione y(x), che risulterà essere una funzione di secondo grado, una parabola con la concavità rivolta verso il basso, corrispondente alla traccia del proiettile sul piano xy.
Questa parabola passa ovviamente per l'origine, dove è situato il cannone. Occorre adesso imporre che passi per il bersaglio, dunque inserendo i due dati di altezza e distanza in y e in x rispettivamente, ottieni un'equazione dove l'unica incognita è l'angolo di alzo.
Essendo questa un'equazione di secondo grado, scoprirai che ha due radici reali e positive, il che significa che esistono due angoli di alzo compatibili con il bersaglio.
Siccome tu stai cercando di colpire il bersaglio sul ramo discendente della parabola, è chiaro che l'alzo utile è quello maggiore, ovvero quello che si ottiene dal segno + anteposto alla radice quadrata nella formula risolvente.
Ad ogni modo è utile calcolare anche l'alzo minore, per considerazioni successive.
Definita quindi la traiettoria utile, è possibile trovare il massimo di questa o col metodo della derivata nulla della funzione y(x), che determina il punto di massimo, oppure considerando che questo punto si trova a metà della gittata calcolata come se il bersaglio non ci fosse e il proiettile cadesse a terra. In corrispondenza di questo punto x di massimo, sulla traiettoria c'è il punto y che corrisponde all'altezza massima raggiunta dal proiettile.
Questo per risolvere il punto 1.
Siccome hai utilizzato tutti i dati, in questo caso i dati del bersaglio non erano affatto superflui.
Riguardo al punto 2, non è molto chiaro cosa si voglia chiedere. Se la domanda prescinde dalla presenza della montagna, allora trovare la gittata con alzo 30° è banale, basta sostituire l'angolo nella formula della traiettoria e vedere a quale x cade il proiettile con y=0. In questo caso i dati in grassetto non servirebbero al calcolo.
Ma se si vuole complicare il discorso, si potrebbe anche intendere: "con alzo di 30 gradi il proiettile sorpassa il bersaglio (ovvero la montagna?) e quindi la gittata è ancora quella calcolata come se la montagna non ci fosse?". Per capire questo è necessario vedere se l'angolo di 30° è compreso tra i due alzi, minimo e massimo, calcolati al punto 1. Se è compreso, allora la risposta è sì, il proiettile con alzo 30° sorpassa il bersaglio. Se invece l'alzo di 30° è minore dell'alzo calcolato (il minore dei due) allora il proiettile sbatte sulla montagna.
Se le considerazioni richieste sono queste, allora anche per rispondere al punto 2 i dati in grassetto servono, perché il punto 1 è prerequisito alla risposta 2.
Si potrebbe però ancora obiettare che non sapendo come è fatta la montagna non è detto che il proiettile non cozzi da qualche parte anche se arriva teoricamente a sorpassare il bersaglio ma non mi addentro ulteriormente in questioni di questo tipo, che di sicuro chi ha scritto il problema non aveva intenzione alcuna di porre.
Come traccia di soluzione, ti posso dare qualche idea.
Per prima cosa tu conosci le funzioni x(t) e y(t) parametriche del tempo.
Queste funzioni contengono il parametro $\alpha$, cioè l'angolo di alzo, che nel caso del punto 1 del problema è incognito.
Nota però che il tempo non è né un dato del problema, né entra in alcun modo tra i risultati richiesti, dunque in questo caso fa solo confusione.
In questo problema ci sono invece dati metrici in x e y, come la distanza e l'altezza del bersaglio.
Il primo consiglio che mi viene da darti, dunque, è quello di eliminare il parametro tempo dalle due funzioni, portandoti così a un'unica equazione y(x), che risulterà essere una funzione di secondo grado, una parabola con la concavità rivolta verso il basso, corrispondente alla traccia del proiettile sul piano xy.
Questa parabola passa ovviamente per l'origine, dove è situato il cannone. Occorre adesso imporre che passi per il bersaglio, dunque inserendo i due dati di altezza e distanza in y e in x rispettivamente, ottieni un'equazione dove l'unica incognita è l'angolo di alzo.
Essendo questa un'equazione di secondo grado, scoprirai che ha due radici reali e positive, il che significa che esistono due angoli di alzo compatibili con il bersaglio.
Siccome tu stai cercando di colpire il bersaglio sul ramo discendente della parabola, è chiaro che l'alzo utile è quello maggiore, ovvero quello che si ottiene dal segno + anteposto alla radice quadrata nella formula risolvente.
Ad ogni modo è utile calcolare anche l'alzo minore, per considerazioni successive.
Definita quindi la traiettoria utile, è possibile trovare il massimo di questa o col metodo della derivata nulla della funzione y(x), che determina il punto di massimo, oppure considerando che questo punto si trova a metà della gittata calcolata come se il bersaglio non ci fosse e il proiettile cadesse a terra. In corrispondenza di questo punto x di massimo, sulla traiettoria c'è il punto y che corrisponde all'altezza massima raggiunta dal proiettile.
Questo per risolvere il punto 1.
Siccome hai utilizzato tutti i dati, in questo caso i dati del bersaglio non erano affatto superflui.
Riguardo al punto 2, non è molto chiaro cosa si voglia chiedere. Se la domanda prescinde dalla presenza della montagna, allora trovare la gittata con alzo 30° è banale, basta sostituire l'angolo nella formula della traiettoria e vedere a quale x cade il proiettile con y=0. In questo caso i dati in grassetto non servirebbero al calcolo.
Ma se si vuole complicare il discorso, si potrebbe anche intendere: "con alzo di 30 gradi il proiettile sorpassa il bersaglio (ovvero la montagna?) e quindi la gittata è ancora quella calcolata come se la montagna non ci fosse?". Per capire questo è necessario vedere se l'angolo di 30° è compreso tra i due alzi, minimo e massimo, calcolati al punto 1. Se è compreso, allora la risposta è sì, il proiettile con alzo 30° sorpassa il bersaglio. Se invece l'alzo di 30° è minore dell'alzo calcolato (il minore dei due) allora il proiettile sbatte sulla montagna.
Se le considerazioni richieste sono queste, allora anche per rispondere al punto 2 i dati in grassetto servono, perché il punto 1 è prerequisito alla risposta 2.
Si potrebbe però ancora obiettare che non sapendo come è fatta la montagna non è detto che il proiettile non cozzi da qualche parte anche se arriva teoricamente a sorpassare il bersaglio
ma non mi addentro ulteriormente in questioni di questo tipo, che di sicuro chi ha scritto il problema non aveva intenzione alcuna di porre.
Per calcolare l'angolo nella equazione della y conviene usare le formule parametriche, giusto?
"puppeteer":
Per calcolare l'angolo nella equazione della y conviene usare le formule parametriche, giusto?
Che vuoi dire?
Nelle equazioni parametriche l'angolo c'entra nel senso che determina le velocità secondo gli assi cartesiani:
$$\eqalign{
& {v_x} = {v_0}\cos \alpha \cr
& {v_y} = {v_0}\sin \alpha \cr} $$
ma poi ti conviene eliminare il parametro tempo e ricondurti all'equazione della traiettoria in xy, senza che compaia t.
In pratica dalle due equazioni parametriche:
$$\eqalign{
& x = t{v_0}\cos \alpha \cr
& y = t{v_0}\sin \alpha - \frac{1}
{2}g{t^2} \cr} $$
ti riconduci all'unica equazione in xy:
$$y = x\tan \alpha - \frac{g}
{{2{v_0}^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2}$$
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