Chiarimento su problema dilatazione termica
Salve a tutti, vi sottopongo un problema di fisica del quale non riesco a venire a capo:
Un anello di rame di massa 20 g alla temperatura di 0 °C ha un diametro D=2,54000 cm. Una sfera di alluminio alla temperatura di 100°C ha un diametro d=2,54508 cm. La sfera viene posta sull'anello e ai due oggetti si fa raggiungere l'equilibrio termico, senza alcuna perdita di calore verso l'ambiente. Alla temperatura di equilibrio la sfera passa esattamente attraverso l'anello. Qual è la massa della sfera?
Ora la mia perplessità è questa: partendo dal presupposto che i due diametri finali si debbano uguagliare, non credo di poter usare la formula di dilatazione LINEARE sia per la sfera che per l'anello, giusto? Ho provato ad usare la dilatazione volumica per la sfera, quella superficiale per l'anello, e alla fine mi trovo un'uguaglianza con valori al cubo da una parte, al quadrato dall'altra, che non so risolvere. Questo poichè il volume della sfera è proporzionale al cubo del raggio, l'area del cerchio al quadrato del raggio. Sapete dirmi dove sbaglio con il ragionamento? Grazie mille in anticipo!
Un anello di rame di massa 20 g alla temperatura di 0 °C ha un diametro D=2,54000 cm. Una sfera di alluminio alla temperatura di 100°C ha un diametro d=2,54508 cm. La sfera viene posta sull'anello e ai due oggetti si fa raggiungere l'equilibrio termico, senza alcuna perdita di calore verso l'ambiente. Alla temperatura di equilibrio la sfera passa esattamente attraverso l'anello. Qual è la massa della sfera?
Ora la mia perplessità è questa: partendo dal presupposto che i due diametri finali si debbano uguagliare, non credo di poter usare la formula di dilatazione LINEARE sia per la sfera che per l'anello, giusto? Ho provato ad usare la dilatazione volumica per la sfera, quella superficiale per l'anello, e alla fine mi trovo un'uguaglianza con valori al cubo da una parte, al quadrato dall'altra, che non so risolvere. Questo poichè il volume della sfera è proporzionale al cubo del raggio, l'area del cerchio al quadrato del raggio. Sapete dirmi dove sbaglio con il ragionamento? Grazie mille in anticipo!
Risposte
Per prima cosa puoi scrivere l'espressione che hai ricavato, così vediamo se la sappiamo risolvere...
Però mi chiedo una cosa: è noto che la massa non si crea nè si distrugge, quindi la massa che la sfera aveva prima della trasformazione è la stessa che avrà alla fine. Quindi se noi troviamo (da qualche tabella o da Wikipedia) la densità dell'alluminio (cioè $2700 (Kg)/m^3$) e la moltiplichiamo per il volume della sfera (ovviamente convertendo uno dei due) non abbiamo già trovato la massa?
Però mi chiedo una cosa: è noto che la massa non si crea nè si distrugge, quindi la massa che la sfera aveva prima della trasformazione è la stessa che avrà alla fine. Quindi se noi troviamo (da qualche tabella o da Wikipedia) la densità dell'alluminio (cioè $2700 (Kg)/m^3$) e la moltiplichiamo per il volume della sfera (ovviamente convertendo uno dei due) non abbiamo già trovato la massa?
"minomic":quella è la densità a $0°C$, come dice per esempio questa tabella
la densità dell'alluminio (cioè $2700 (Kg)/m^3$)
Ah ecco. Allora ho fatto bene a dire "mi chiedo una cosa..."
Adesso mi dò anche la risposta, cioè "NO".
Adesso mi dò anche la risposta, cioè "NO".
Non sono riuscito a scrivere tutto attraverso le formule, così ho preferito postare la pagina con l'esercizio impostato scannerizzata, spero vada bene. Dopo aver uguagliato i raggi dovrei trovare la temperatura di equilibrio, ma non saprei come risolvere l'uguaglianza trovata.Ho fatto qualche errore concettuale? Grazie in anticipo 
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C'è qualcuno che possa aiutarmi...?
Ciao! l'hai preso dall'Halliday questo esercizio, vero? 
Intanto dilatazione volumica e lineare sono collegate: $gamma=3alpha$. Ovvero il coefficiente di dilatazione volumica e' approssimabile al triplo di quello lineare.
La sfera cede calore in modo che all'equlibrio '' $D_e=d_e$ ''. ( Cioe', rispettivamente diametro rame e diametro sfera alla temperatura d'equilibrio ). Il calore scambiato e' tutto all'interno del sistema, quindi per quanto cede un corpo l'altro acquista:
$Q_1+Q_2=0$. Ovvero:
$Q_1=m_rc_rDeltaT_r$.
$Q_2=m_ac_aDeltaT_a$.
Dove: Dove: $m_r$: massa rame. $DeltaT_r$: variazione temperatura rame alla fine del processo.
$m_a$: massa alluminio. $DeltaT_a$: variazione temperatura alluminio alla fine del processo.
Ma le lunghezze ( diametri, che alla fin fine ci interessano ):
$DeltaD=Dalpha_rDeltaT_r$.
$Deltad=dalpha_aDeltaT_a$.
Dove: $DeltaD$: variazione diametro rame. $alpha_r$: coefficiente dilatazione lineare rame.
$Deltad$: variazine diametro alluminio. $alpha_a$: coefficiente dilatazione lineare alluminio.
Ma i diametri alla fine dovranno eguagliarsi, quindi:
$D+DeltaD=d-Deltad$. Infatti uno si dilata a causa dell'aumento della temperatura, invece l'altro si restringe per la diminuizione.
Poi: $DeltaT_r=100-DeltaT_a$.
Hai sei incognite ( '' $m_a,DeltaT_a,DeltaT_r,DeltaD,Deltad,Q$ '' ) e sei equazioni, pertanto il problema puo' essere risolto.
Intanto dilatazione volumica e lineare sono collegate: $gamma=3alpha$. Ovvero il coefficiente di dilatazione volumica e' approssimabile al triplo di quello lineare.
La sfera cede calore in modo che all'equlibrio '' $D_e=d_e$ ''. ( Cioe', rispettivamente diametro rame e diametro sfera alla temperatura d'equilibrio ). Il calore scambiato e' tutto all'interno del sistema, quindi per quanto cede un corpo l'altro acquista:
$Q_1+Q_2=0$. Ovvero:
$Q_1=m_rc_rDeltaT_r$.
$Q_2=m_ac_aDeltaT_a$.
Dove: Dove: $m_r$: massa rame. $DeltaT_r$: variazione temperatura rame alla fine del processo.
$m_a$: massa alluminio. $DeltaT_a$: variazione temperatura alluminio alla fine del processo.
Ma le lunghezze ( diametri, che alla fin fine ci interessano ):
$DeltaD=Dalpha_rDeltaT_r$.
$Deltad=dalpha_aDeltaT_a$.
Dove: $DeltaD$: variazione diametro rame. $alpha_r$: coefficiente dilatazione lineare rame.
$Deltad$: variazine diametro alluminio. $alpha_a$: coefficiente dilatazione lineare alluminio.
Ma i diametri alla fine dovranno eguagliarsi, quindi:
$D+DeltaD=d-Deltad$. Infatti uno si dilata a causa dell'aumento della temperatura, invece l'altro si restringe per la diminuizione.
Poi: $DeltaT_r=100-DeltaT_a$.
Hai sei incognite ( '' $m_a,DeltaT_a,DeltaT_r,DeltaD,Deltad,Q$ '' ) e sei equazioni, pertanto il problema puo' essere risolto.
"_GaS_":
Ciao! l'hai preso dall'Halliday questo esercizio, vero?
Intanto dilatazione volumica e lineare sono collegate: $gamma=3alpha$. Ovvero il coefficiente di dilatazione volumica e' approssimabile al triplo di quello lineare.
La sfera cede calore in modo che all'equlibrio '' $D_e=d_e$ ''. ( Cioe', rispettivamente diametro rame e diametro sfera alla temperatura d'equilibrio ). Il calore scambiato e' tutto all'interno del sistema, quindi per quanto cede un corpo l'altro acquista:
$Q_1+Q_2=0$. Ovvero:
$Q_1=m_rc_rDeltaT_r$.
$Q_2=m_ac_aDeltaT_a$.
Dove: Dove: $m_r$: massa rame. $DeltaT_r$: variazione temperatura rame alla fine del processo.
$m_a$: massa alluminio. $DeltaT_a$: variazione temperatura alluminio alla fine del processo.
Ma le lunghezze ( diametri, che alla fin fine ci interessano ):
$DeltaD=Dalpha_rDeltaT_r$.
$Deltad=dalpha_aDeltaT_a$.
Dove: $DeltaD$: variazione diametro rame. $alpha_r$: coefficiente dilatazione lineare rame.
$Deltad$: variazine diametro alluminio. $alpha_a$: coefficiente dilatazione lineare alluminio.
Ma i diametri alla fine dovranno eguagliarsi, quindi:
$D+DeltaD=d-Deltad$. Infatti uno si dilata a causa dell'aumento della temperatura, invece l'altro si restringe per la diminuizione.
Poi: $DeltaT_r=100-DeltaT_a$.
Hai sei incognite ( '' $m_a,DeltaT_a,DeltaT_r,DeltaD,Deltad,Q$ '' ) e sei equazioni, pertanto il problema puo' essere risolto.
Ti ringrazio molto, comunque si l'esercizio l'ho preso sull'Halliday
Quindi alla fine bisognava considerare gli incrementi come dilatazione lineare e basta, giusto? Io pensavo che i diametri aumentassero in proporzioni diverse per sfera e anello, per questo avevo impostato una dilatazione superficiale e una volumetrica.
Si', tutto l'esercizio l'ho svolto in base a dilatazioni lineari. Anche perche' se avessimo voluto utilizzare i volumi, alla fine avremmo comunque dovuto ricavare i nuovi diametri della sfera e dell'anello. Quindi era conveniente agire direttamente sugli incrementi lineari in questo caso.
"_GaS_":
Si', tutto l'esercizio l'ho svolto in base a dilatazioni lineari. Anche perche' se avessimo voluto utilizzare i volumi, alla fine avremmo comunque dovuto ricavare i nuovi diametri della sfera e dell'anello. Quindi era conveniente agire direttamente sugli incrementi lineari in questo caso.
Credevo che in qualche modo le dilatazioni lineari fossero condizionate dall'aumento di volume in un caso e di superficie dell'altro...
Grazie mille per i chiarimenti!!!
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