Chiarimento su Deflessione di particella in campo elettrico e magnetico
Ciao ragazzi, oggi mi sono imbattuto nello studio della deflessione di una particella carica positivamente e immersa in un campo elettrico diretto verso l'alto, fra le armature di un condensatore, e poi immersa sempre nello stesso campo elettrico fra le armature del condensatore e successivamente magnetico, una volta uscita dalle armature del condensatore.
Tuttavia non sono sicura di aver compreso bene una cosa.
In termini di formule so che la deflessione della particella immersa nel campo elettrico è:
$Δy=1/2*((E*q)/m)*(L^2/(v0^2))$
che viene fuori ricavandola dalla seconda legge di Newton $F=m*a$ però applicata a una particella, e quindi $F=q*E$
Una volta trovata l'accelerazione imponendo l'uguaglianza tra le due formule la sostituisco nell'equazione del moto uniformemente accelerato e quindi trovo la mia $Δy$.
Per quanto riguarda invece la stessa particella immersa però prima nel campo elettrico e poi in quello magnetico, sempre in termini di formule, quanto vale? E' possibile che essa sia uguale a:
$Δy=(q*B^2*L^2)/(2*m*E)$ ?
Non riesco a capire come calcolarla nel secondo caso
Grazie a chiunque risponderà!
Tuttavia non sono sicura di aver compreso bene una cosa.
In termini di formule so che la deflessione della particella immersa nel campo elettrico è:
$Δy=1/2*((E*q)/m)*(L^2/(v0^2))$
che viene fuori ricavandola dalla seconda legge di Newton $F=m*a$ però applicata a una particella, e quindi $F=q*E$
Una volta trovata l'accelerazione imponendo l'uguaglianza tra le due formule la sostituisco nell'equazione del moto uniformemente accelerato e quindi trovo la mia $Δy$.
Per quanto riguarda invece la stessa particella immersa però prima nel campo elettrico e poi in quello magnetico, sempre in termini di formule, quanto vale? E' possibile che essa sia uguale a:
$Δy=(q*B^2*L^2)/(2*m*E)$ ?
Non riesco a capire come calcolarla nel secondo caso
Grazie a chiunque risponderà!
Risposte
Non ho capito, la particella prima è soggetta al campo elettrico nel condensatore e poi una volta uscita è soggetta ad uno magnetico? Oppure subisce entrambi i campi contemporaneamente?
All'uscita del condensatore è presente un campo magnetico di induzione che è perpendicolare al campo elettrico..
Quindi c'è un condensatore (piano?) che ha il suo campo elettrico ed una particella che ci passa dentro e viene deflessa rispetto alla direzione di partenza (orizzontale?). Poi esce e incontra un campo magnetico ortogonale rispetto a come era il campo elettrico nel condensatore, ho capito bene? In questo caso non ha senso parlare di deflessione dopo che è uscita, perché se non c'è componente della velocità nella direzione del campo magnetico si instaurerà un moto circolare uniforme con un certo raggio. Ma mi sembra molto confusa la cosa, la direzione ortogonale è a nostra scelta? La direzione del campo elettrico nel condensatore è data o la fissiamo noi? Magari se riporti il testo completo piuttosto che una interpretazione si può provare a rispondere.
Si effettivamente hai ragione, scusami 
Allora, è dato un elettrone che, con una certa velocità iniziale entra in un campo elettrico diretto verso l'alto e generato dalle armature di un condensatore. L'elettrone si muove, all'inizio, lungo la linea mediana tra le due armature, che hanno una certa differenza di potenziale. La mia domanda è: come faccio a determinare la distanza $Δy$ dell'elettrone dalla linea mediana tra le armature all'uscita del condensatore in presenza di un campo magnetico di induzione perpendicolare al campo elettrico e uscente dal foglio?
Allora, è dato un elettrone che, con una certa velocità iniziale entra in un campo elettrico diretto verso l'alto e generato dalle armature di un condensatore. L'elettrone si muove, all'inizio, lungo la linea mediana tra le due armature, che hanno una certa differenza di potenziale. La mia domanda è: come faccio a determinare la distanza $Δy$ dell'elettrone dalla linea mediana tra le armature all'uscita del condensatore in presenza di un campo magnetico di induzione perpendicolare al campo elettrico e uscente dal foglio?
Insomma proprio non lo vuoi riportare il testo 
Il punto è che in base a quanto è intenso il campo, lungo il condensatore e distanti le armature, questo elettrone potrebbe anche andare a sbatterci contro. Questi dati esistono? Dobbiamo considerare la distanza tra le armature sufficiente perché ciò non accada? La lunghezza quantomento deve essere data altrimenti è proprio impossibile definire un punto in cui calcolare questa deflessione. Ad esempio in quelle formule che hai sventolato prima c'è una $L$, immagino sia la lunghezza? Sicuro è un elettrone (quindi carica negativa)? Perché se il campo elettrico è verso l'alto e il magnetico ortogonale e uscente dal foglio questo elettrone viene deflesso parecchio verso il basso. Se non sappiamo nemmeno la distanza tra le armature come facciamo a dire se c'è una deflessione fino alla fine oppure ad un certo punto semplicemente sbatte contro il condensatore? Ripeto: posta il testo completo.
Il punto è che in base a quanto è intenso il campo, lungo il condensatore e distanti le armature, questo elettrone potrebbe anche andare a sbatterci contro. Questi dati esistono? Dobbiamo considerare la distanza tra le armature sufficiente perché ciò non accada? La lunghezza quantomento deve essere data altrimenti è proprio impossibile definire un punto in cui calcolare questa deflessione. Ad esempio in quelle formule che hai sventolato prima c'è una $L$, immagino sia la lunghezza? Sicuro è un elettrone (quindi carica negativa)? Perché se il campo elettrico è verso l'alto e il magnetico ortogonale e uscente dal foglio questo elettrone viene deflesso parecchio verso il basso. Se non sappiamo nemmeno la distanza tra le armature come facciamo a dire se c'è una deflessione fino alla fine oppure ad un certo punto semplicemente sbatte contro il condensatore? Ripeto: posta il testo completo.
Non avevo il testo e ti stavo rispondendo a memoria, chiedo scusa di nuovo. Ora sono tornato a casa e lo riporto parola-parola.
"Una carica $Q=10^-2C$ avente massa $m=0,004Kg$ entra con velocità iniziale $v0=20m/s$ in una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico diretto verso l'alto, generato dalle armature di un condensatore di lunghezza $L=0,05m$ distanti tra loro $d=0,02m$. Se l'elettrone si muove inizialmente lungo la linea mediana tra le due armature e la $d.d.p=10V$ tra le armature, determinare la distanza $Δy$ dell'elettrone dalla linea mediana tra le due armature all'uscita del condensatore, in presenza di un campo magnetico di induzione $B=10T$ perpendicolare al campo elettrico e uscente dal foglio."
Ora giuro che il testo è completo
"Una carica $Q=10^-2C$ avente massa $m=0,004Kg$ entra con velocità iniziale $v0=20m/s$ in una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico diretto verso l'alto, generato dalle armature di un condensatore di lunghezza $L=0,05m$ distanti tra loro $d=0,02m$. Se l'elettrone si muove inizialmente lungo la linea mediana tra le due armature e la $d.d.p=10V$ tra le armature, determinare la distanza $Δy$ dell'elettrone dalla linea mediana tra le due armature all'uscita del condensatore, in presenza di un campo magnetico di induzione $B=10T$ perpendicolare al campo elettrico e uscente dal foglio."
Ora giuro che il testo è completo
Davvero, una particella di 4 grammi la chiama ELETTRONE???
E' il testo, non è colpa mia! ahahah 
"mgrau":
Davvero, una particella di 4 grammi la chiama ELETTRONE???
Come se non bastasse un elettrone di carica positiva di $+10^-2 C$
Ma da dove l'hai preso questo problema Eddie?
Comunque tralasciando la questione "elettrone", il moto avviene nel piano che contiene la forza elettrica e quella magnetica ed è una composizione tra una parabola verso l'alto ed un moto circolare verso il basso. Penso ti convenga calcolare le due deflessioni separatamente e poi sommarle (con il giusto segno) alla fine.
Eh ma la questione è proprio questa... non so calcolare le deflessioni 
Comunque è un esercizio preso dalle dispense del mio professore di Fisica 2
Comunque è un esercizio preso dalle dispense del mio professore di Fisica 2
Quindi per il tuo prof un elettrone pesa 4 grammi, ha carica positiva ed in valore $10^(-2) C$. Non male 
Spero sia stata una svista. Ad ogni modo io farei così:
Deflessione per il campo elettrico
Seguiamo proprio la via più standard, di modo che ti sia chiaro che quando non sai che pesci prendere partire dalla base è la via giusta. Mettiamo l'asse x che separa a metà la distanza tra le armature e l'asse y ortogonale e diretto come il campo.
La forza elettrica è $F=QE \haty$ ed il campo elettrico è quello di un condensatore $E=(\DeltaV)/d=500 V/m$
Quindi lungo x ho che $\ddotx=0$ ovvero $x(t)=v_0 t$ mentre lungo y ho $\ddoty=QE/m$ quindi $y(t)=QE/(2m) t^2$ , come si diceva, una parabola verso l'alto.
Al tempo $\bart$ in cui la particella raggiunge la fine del condensatore si ha $x(\bart)=v\bart=L$ da cui $\bart=L/v_0$
Ora calcoliamo $y(\bart)=QE/(2m) (L/v_0)^2=10^-2 "C" *500 "N/C" * 1/(2*0.004 kg) ((0.05 "m")/(20 "m/s"))^2 = 3.9*10^-3 m$
Che è la deflessione (verso l'alto) cercata.
Deflessione campo magnetico
La forza di lorentz è data da $F=Q*v\timesB$. Qui il campo magnetico è ortogonale alla velocità quindi il moto è circolare uniforme che curva verso il basso. La forza non cambia il modulo della velocità ma solo la direzione.
Ricaviamo anzitutto il raggio di curvatura $F=QvB=mv_0^2/R$ da cui $R=m v_0/(QB)=0.004 "kg" * 20 "m/s" /(10^-2 "C"* 10 "T")=0.8 m$ . Dato che la lunghezza del condensatore è appena $0.05 m$ in realtà non devi pensare davvero che il cerchio si chiuda, semplicemente la particella curverà su un arco di circonferenza.
Ora procediamo per via geometrica. Ho fatto un disegno, ti prego di immaginare che sia davvero un pezzo di circonferenza e non una cosa deforme. La linea tratteggiata tangente alla circonferenza è la linea che separa in due lo spazio tra i condensatori.
Quindi presa la fine di quella lunghezza vado a proiettare sulla circonferenza e tramite quei tringoli che vedi posso ricavare quanto è la distanza $\Deltay$ che ci interessa (a sinistra in figura c'è una R che è stata tagliata dalla foto, lo dico per chiarezza visto che disegno veramente male ancora ti confondi, anche quello è il raggio) . Ho trovato che
$\Deltay=R-\sqrt(R^2-L^2)=1.56*10^-3 m$ tenendo conto che è una deflessione verso il basso, quindi negativa nel nostro sistema di riferimento.
Ora finalmente componiamo i moti ovvero sommiamo le deflessioni con il giusto segno per trovare la deflessione complessiva
$\DeltaY=+3.9*10^-3 m - 1.56*10^-3 m = +2.34 * 10^-3 m$ .
Spero di non aver fatto errori.
Spero sia stata una svista. Ad ogni modo io farei così:Deflessione per il campo elettrico
Seguiamo proprio la via più standard, di modo che ti sia chiaro che quando non sai che pesci prendere partire dalla base è la via giusta. Mettiamo l'asse x che separa a metà la distanza tra le armature e l'asse y ortogonale e diretto come il campo.
La forza elettrica è $F=QE \haty$ ed il campo elettrico è quello di un condensatore $E=(\DeltaV)/d=500 V/m$
Quindi lungo x ho che $\ddotx=0$ ovvero $x(t)=v_0 t$ mentre lungo y ho $\ddoty=QE/m$ quindi $y(t)=QE/(2m) t^2$ , come si diceva, una parabola verso l'alto.
Al tempo $\bart$ in cui la particella raggiunge la fine del condensatore si ha $x(\bart)=v\bart=L$ da cui $\bart=L/v_0$
Ora calcoliamo $y(\bart)=QE/(2m) (L/v_0)^2=10^-2 "C" *500 "N/C" * 1/(2*0.004 kg) ((0.05 "m")/(20 "m/s"))^2 = 3.9*10^-3 m$
Che è la deflessione (verso l'alto) cercata.
Deflessione campo magnetico
La forza di lorentz è data da $F=Q*v\timesB$. Qui il campo magnetico è ortogonale alla velocità quindi il moto è circolare uniforme che curva verso il basso. La forza non cambia il modulo della velocità ma solo la direzione.
Ricaviamo anzitutto il raggio di curvatura $F=QvB=mv_0^2/R$ da cui $R=m v_0/(QB)=0.004 "kg" * 20 "m/s" /(10^-2 "C"* 10 "T")=0.8 m$ . Dato che la lunghezza del condensatore è appena $0.05 m$ in realtà non devi pensare davvero che il cerchio si chiuda, semplicemente la particella curverà su un arco di circonferenza.
Ora procediamo per via geometrica. Ho fatto un disegno, ti prego di immaginare che sia davvero un pezzo di circonferenza e non una cosa deforme. La linea tratteggiata tangente alla circonferenza è la linea che separa in due lo spazio tra i condensatori.
Quindi presa la fine di quella lunghezza vado a proiettare sulla circonferenza e tramite quei tringoli che vedi posso ricavare quanto è la distanza $\Deltay$ che ci interessa (a sinistra in figura c'è una R che è stata tagliata dalla foto, lo dico per chiarezza visto che disegno veramente male
ancora ti confondi, anche quello è il raggio) . Ho trovato che$\Deltay=R-\sqrt(R^2-L^2)=1.56*10^-3 m$ tenendo conto che è una deflessione verso il basso, quindi negativa nel nostro sistema di riferimento.
Ora finalmente componiamo i moti ovvero sommiamo le deflessioni con il giusto segno per trovare la deflessione complessiva
$\DeltaY=+3.9*10^-3 m - 1.56*10^-3 m = +2.34 * 10^-3 m$ .
Spero di non aver fatto errori.
Sei stato molto chiaro in realtà! Per quanto riguarda la deflessione del campo elettrico ci ero arrivato, ma quella del campo magnetico non avrei mai immaginato fosse così.. comunque grazie tante! Mi hai salvato la vita, visto che questo è un esercizio che piace parecchio al mio professore
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