Chiarimento su concetto di Densità di energia elettrostatica
Ciao ragazzi, sto preparando l'orale di fisica II. Sto ripassando i condensatori e sono arrivato al calcolo dell'energia potenziale elettrostatica. Questa vale, per il sistema, $U_e = 1/2 C V^2$ e rappresenta il lavoro speso contro la forza elettrostatica la quale si oppone al passaggio di carica e all'accumulo di carica sulle piastre. Tramite alcuni passaggi non troppo difficili tra varie relazioni (sul Mazzoldi, viene sfruttato un condensatore piano) si arriva alla formulazione della $U_e$ in funzione del campo e non più della carica.
Pertanto $U_e = 1/2 \epsilon_0 E^2 \tau$ con $\tau = \Sigma h$ volume tra le piastre. La quantità $U_e/\tau$ viene definita densità di energia elettrostatica. Ma essa cosa rappresenta esattamente? Rappresenta come l'energia potenziale si "distribuisce" in tutto il volume? Un pò come abbiamo visto ad esempio per il concetto di densità di carica (superficiale, lineare,volumica...). Grazie in anticipo!
Pertanto $U_e = 1/2 \epsilon_0 E^2 \tau$ con $\tau = \Sigma h$ volume tra le piastre. La quantità $U_e/\tau$ viene definita densità di energia elettrostatica. Ma essa cosa rappresenta esattamente? Rappresenta come l'energia potenziale si "distribuisce" in tutto il volume? Un pò come abbiamo visto ad esempio per il concetto di densità di carica (superficiale, lineare,volumica...). Grazie in anticipo!
Risposte
Già che ci siamo, per non caricare troppo di richieste il primo post, vi allego un'altra domanda che mi è sorta studiando i dielettrici nel caso di condensatori piani, con le armature a distanza $h$. Il libro di testo (il già citato Mazzoldi) porta due esempi, prima inserendo tra le armature una lastra di conduttore e poi inserendo una lastra isolante. Nel caso del conduttore, si dice che si accumula carica negativa sulla faccia della lastra rivolta verso la piastra caricata positivamente, e una carica positiva sulla faccia della lastra rivolta verso la piastra negativa. Questa presenza di carica "libera" causa una diminuzione di differenza di potenziale tale che $V' = E (h-s)$ con $s$ spessore della lastra. Nel caso della lastra isolante, invece, si legge che inserire il dielettrico tra le armature causa sì una diminuzione della ddp, ma questa volta l'effetto è minore di quello rilevato con la lastra di conduttore. Ma che vuol dire? Se inserire il dielettrico comporta la diminuzione della ddp fino a raggiungere un valore minimo quando $h = s$, che vuol dire che l'effetto è inferiore rispetto al caso di lastra conduttrice? 
Inoltre, non vorrei aver capito male ma, nel primo caso (quello con il conduttore) il campo $vecE$ resta uguale a quello che si aveva senza lastra mentre nel caso della lastra isolante il campo varia?
Inoltre, non vorrei aver capito male ma, nel primo caso (quello con il conduttore) il campo $vecE$ resta uguale a quello che si aveva senza lastra mentre nel caso della lastra isolante il campo varia?
L'effetto inferiore va inteso nel senso che un conduttore si comporta un po' come un dielettrico con costante dielettrica infinita, ossia la polarizzazione delle cariche è completa, la densità indotta è uguale a quella inducente, per cui nella lastra conduttrice il campo è nullo; mentre nella lastra di dielettrico è solo ridotto.
Comunque, inserendo una lastra conduttrice, il campo varia (se tieni fissa la ddp), aumenta nella proporzione in cui si riduce la distanza fra le armature, visto che lo spazio che, moltiplicato per il campo, produce la ddp, si riduce dello spessore della lastra.
Comunque, inserendo una lastra conduttrice, il campo varia (se tieni fissa la ddp), aumenta nella proporzione in cui si riduce la distanza fra le armature, visto che lo spazio che, moltiplicato per il campo, produce la ddp, si riduce dello spessore della lastra.
Ma quindi, se inserisco la lastra di conduttore, il campo varia? il testo dice che all'interno della lastra il campo è nullo, all'esterno è invariato e pertanto $V = E(h-s)$ dove $E$ è il campo senza lastra. Tuttavia, se varia la ddp all'interno, e varia anche la distanza tra le armature dato che abbiamo il dielettrico in mezzo, il campo $E = V/(h-s)$ non dovrebbe variare? 
questo capitolo mi sta un pò mandando in pappa il cervello
Un'altra cosa che si può dire è che la carica sulle armature resta costante, giusto? anche se aggiungiamo il dielettrico. La carica, prima e dopo il dielettrico, è sempre la stessa dico bene?
Sulla base di ciò, non capisco una cosa. In un esercizio, ho due condensatori in parallelo connessi in serie ad un generatore $V_0$. Il generatore viene poi scollegato e il condensatore $C_1$ riempito con un dielettrico. Mi si chiede la variazione di carica sul condensatore $C_1$. Dato che la presenza del dielettrico non cambia il valore della carica, la carica totale nei due condensatori è la stessa prima e dopo il dielettrico. Ma perché, invece, la carica su $C_1$ varia?
questo capitolo mi sta un pò mandando in pappa il cervello
Un'altra cosa che si può dire è che la carica sulle armature resta costante, giusto? anche se aggiungiamo il dielettrico. La carica, prima e dopo il dielettrico, è sempre la stessa dico bene?
Sulla base di ciò, non capisco una cosa. In un esercizio, ho due condensatori in parallelo connessi in serie ad un generatore $V_0$. Il generatore viene poi scollegato e il condensatore $C_1$ riempito con un dielettrico. Mi si chiede la variazione di carica sul condensatore $C_1$. Dato che la presenza del dielettrico non cambia il valore della carica, la carica totale nei due condensatori è la stessa prima e dopo il dielettrico. Ma perché, invece, la carica su $C_1$ varia?
"MrEngineer":
Ma quindi, se inserisco la lastra di conduttore, il campo varia? il testo dice che all'interno della lastra il campo è nullo, all'esterno è invariato e pertanto $V = E(h-s)$ dove $E$ è il campo senza lastra. Tuttavia, se varia la ddp all'interno, e varia anche la distanza tra le armature dato che abbiamo il dielettrico in mezzo, il campo $E = V/(h-s)$ non dovrebbe variare?
Dipende dalla situazione. Se il condensatore è isolato, come pare sia il tuo caso, la carica è quella che è, e siccome il campo dipende solo dalla densità di carica, anche il campo resta uguale. Però, dato che la distanza "utile" fra le armature si riduce dello spessore della lastra, la ddp diminuisce.
Invece, se il condensatore è collegato ad un generatore, inserendo la lastra aumenta la capacità, aumenta la carica, aumenta il campo e la ddp ovviamente resta quella.
"MrEngineer":
Un'altra cosa che si può dire è che la carica sulle armature resta costante, giusto? anche se aggiungiamo il dielettrico. La carica, prima e dopo il dielettrico, è sempre la stessa dico bene?
Certo
"MrEngineer":
Sulla base di ciò, non capisco una cosa. In un esercizio, ho due condensatori in parallelo connessi in serie ad un generatore $V_0$. Il generatore viene poi scollegato e il condensatore $C_1$ riempito con un dielettrico. Mi si chiede la variazione di carica sul condensatore $C_1$. Dato che la presenza del dielettrico non cambia il valore della carica, la carica totale nei due condensatori è la stessa prima e dopo il dielettrico. Ma perché, invece, la carica su $C_1$ varia?
La carica complessiva non varia, ma, dato che la capacità di $C_1$ aumenta, la carica si distribuisce diversamente sui due condensatori (proporzionalmente alla capacità) in modo che la ddp resti uguale sui due condensatori (ma non uguale a prima, diminuisce). La carica su $C_1$ quindi aumenta.
E' come avere due recipienti comunicanti, riempiti d'acqua fino a un certo livello. Se la sezione di uno dei due aumenta, parte dell'acqua va verso questo recipiente, e il livello comune decresce.
Quindi, in sostanza, la carica non varia per il singolo condensatore anche in seguito al dielettrico, ma poichè in questo caso abbiamo due condensatori in parallelo la carica deve variare. L'analogia con i vasi d'acqua è stata utile!
"MrEngineer":
... Ma essa cosa rappresenta esattamente? Rappresenta come l'energia potenziale si "distribuisce" in tutto il volume? ...
Sì rappresenta la densità energetica, ovvero l'energia per unità di volume, ovviamente una funzione del punto.
L'energia elettrostatica la possiamo pensare sia immagazzinata nella distribuzione di carica sia nel campo elettrico associato a detta distribuzione; sono due modi alternativi di "vederla" e di calcolarla, nel primo caso il calcolo interessa una frazione limitata dello spazio, nel secondo caso l'intero spazio, ma sono "visioni" del tutto equivalenti ... e qui si entra nel "campo" della filosofia.
Mi trovo un pò spaesato ad affrontare concetti energetici, in quanto si entra in ambienti oscuri e poco battuti. Credo di aver capito, in soldoni, il concetto di polarizzazione di un dielettrico. Tuttavia, non riesco a capire il senso logico racchiuso dal vettore polarizzazione $vecP$. Per materiali lineari, omogenei e isotropi il vettore $vecP = \epsilon_0 \chi vecE$ dove $\chi = k-1$ con $k$ costante dielettrica relativa. Ma quali informazioni racchiude esattamente questo vettore? Si vede che esso è (a meno delle costanti a moltiplicare) proporzionale al campo e quindi sarà parallelo al campo, ma poi? Cosa rappresenta il vettore $vecP$? E cosa rappresenta il vettore induzione $D = \epsilon_0 vecE + vecP$ ?
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