Chiarimento in conservazione del momento angolare totale (Fisica I - Tre casi di urto)
Buon pomeriggio a tutti.
Sono un nuovo utente del forum, attualmente iscritto al primo anno della facoltà di Ingegneria Informatica presso il Politecnico di Milano. Chiedo cortesemente aiuto nella spiegazione di due quesiti di urto/dinamica del corpo rigido (esame di Fisica I).
Al fine di far emergere più chiaramente i miei dubbi (che come si vedrà leggendo, sono correlati tra loro), riporto un esempio aggiuntivo (Caso 1) in cui ho discusso la risoluzione di un quesito analogo.
Caso 1) Urto totalmente anelastico (urto con incastro) tra una pallina di massa $m$ ed un’asta rigida omogenea di massa $M$ e lunghezza $l$ incernierata in un punto $O$ e posta in verticale [foto 1]
Durante l’urto tra la massa $m$ e l’asta, non si conserva la quantità di moto totale $\vec p_{TOT}$ del sistema poiché agiscono forze esterne di natura impulsiva (le reazioni vincolari della parete ($\vec N$ ed $\vec R$) aventi punto di applicazione il polo $O$). Non è dunque possibile risolvere il problema applicando la conservazione della quantità di moto totale $\vec p_{TOT}$.
Si scriva la II Equazione Cardinale della dinamica per i sistemi di particelle: $\vec M_O^E = \frac{d}{dt}\vec L_{TOT}$.
Il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo $O$ durante l’urto è nullo ($\vec M_O^E =0$), poiché tutte le forze esterne agenti sul sistema hanno braccio nullo rispetto al polo scelto. Dunque, dalla II Equazione Cardinale, la derivata del momento angolare totale del sistema rispetto al tempo è nulla ($\frac{d}{dt}\vec L_{TOT} = 0$). Ne consegue, in un istante di tempo “attillato” all’urto (dunque in un istante di tempo immediatamente precedente e immediatamente successivo all’urto), la conservazione del momento angolare totale del sistema: $\vec L_{TOTi} = \vec L_{TOTf}$.
Si procede dunque alla risoluzione del problema (che qui tralascio, poiché già chiara e inoltre non necessaria).
Caso 2) Urto totalmente anelastico (urto con incastro) tra una pallina di massa m ed un quadro omogeneo di massa $M$, altezza $h$ e lunghezza $2h$ incernierato in un punto $O$ [foto 2]
Come nel caso precedente, durante l’urto tra la massa $m$ ed il quadro, non si conserva la quantità di moto totale $\vec p_{TOT}$ del sistema poiché agiscono forze esterne di natura impulsiva (le reazioni vincolari ($\vec N$ ed $\vec R$) della parete aventi punto di applicazione il polo $O$). Anche in questo caso, non è dunque possibile risolvere il problema applicando la conservazione della quantità di moto totale $\vec p_{TOT}$.
Si scriva la II Equazione Cardinale della dinamica per i sistemi di particelle: $\vec M_O^E = \frac{d}{dt}\vec L_{TOT}$.
Il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo $O$ durante l’urto è dato dalla somma dei momenti della forza peso del quadro ($M\vec g$), delle reazioni vincolari della parete ($\vec N$ ed $\vec R$) e della forza peso della pallina ($m\vec g$). Tra tutte le forze esterne in gioco, solo le prime tre ($M\vec g$, $\vec N$ ed $\vec R$) hanno momento nullo rispetto al polo $O$ (poiché hanno braccio nullo rispetto ad esso). La forza peso della pallina, come si evince dalla [foto 2], non ha braccio nullo rispetto al polo $O$.
Come mai, dunque, se il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo $O$ è diverso da 0, il problema viene comunque risolto affermando che in un istante di tempo “attillato” all’urto si conservi il momento angolare totale del sistema?
Nel calcolo del momento di inerzia totale, si considera sia il momento di inerzia del quadro ($I_q$), sia il contributo fornito dalla massa della pallina. Dunque, se in questo caso la massa della pallina non è stata trascurata, immagino che non possa essere trascurata nemmeno nel computo della somma dei momenti delle forze esterne rispetto al polo $O$.
Come si giustifica la conservazione del momento angolare del sistema?
Caso 3) Urto elastico tra una pallina di massa $m$ ed un’asta rigida omogenea di massa $M$ e lunghezza $l$ incernierata in un punto $O$ e posta in orizzontale [foto 3]
Come nei due casi precedenti, durante l’urto tra la massa $m$ e l’asta, non si conserva la quantità di moto totale $\vec p_{TOT}$ del sistema poiché agiscono forze esterne di natura impulsiva (la reazione vincolare ($\vec N$) del piolo $O$).
Si scriva la II Equazione Cardinale della dinamica per i sistemi di particelle: $\vec M_O^E = \frac{d}{dt}\vec L_{TOT}$.
Il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo $O$ durante l’urto è dato dalla somma dei momenti della forza peso dell’asta ($M\vec g$), della reazione vincolare ($\vec N$) e della forza peso della pallina ($m\vec g$). Tra tutte le forze esterne in gioco, solo le prime due ($M\vec g$ ed $\vec N$) hanno momento nullo rispetto al polo $O$ (poiché hanno braccio nullo rispetto ad esso). La forza peso della pallina, come si evince dalla [foto 3], non ha braccio nullo rispetto al polo $O$.
Come mai, dunque, se il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo $O$ è diverso da 0, il problema viene comunque risolto affermando che in un istante di tempo “attillato” all’urto si conservi il momento angolare totale del sistema?
La risoluzione (un tema d’esame…) afferma: “Durante l’urto sul sistema asta-pallina agiscono forze esterne: il peso e la reazione vincolare del cuneo. Non si conserva la q.d.m. del sistema perché la reazione vincolare ha carattere impulsivo. Invece, il momento angolare con polo nel punto di contatto asta cuneo si conserva perché il peso non è impulsivo e il momento della reazione vincolare rispetto a tale polo è zero.”
Cosa intende con “il peso (della pallina, ndr) non è impulsivo”? Come può questo giustificare la conservazione del momento angolare del sistema?
Ringrazio anticipatamente chiunque dedicherà del tempo ad aiutarmi nella comprensione di questi passaggi!
Sono un nuovo utente del forum, attualmente iscritto al primo anno della facoltà di Ingegneria Informatica presso il Politecnico di Milano. Chiedo cortesemente aiuto nella spiegazione di due quesiti di urto/dinamica del corpo rigido (esame di Fisica I).
Al fine di far emergere più chiaramente i miei dubbi (che come si vedrà leggendo, sono correlati tra loro), riporto un esempio aggiuntivo (Caso 1) in cui ho discusso la risoluzione di un quesito analogo.
Caso 1) Urto totalmente anelastico (urto con incastro) tra una pallina di massa $m$ ed un’asta rigida omogenea di massa $M$ e lunghezza $l$ incernierata in un punto $O$ e posta in verticale [foto 1]
Durante l’urto tra la massa $m$ e l’asta, non si conserva la quantità di moto totale $\vec p_{TOT}$ del sistema poiché agiscono forze esterne di natura impulsiva (le reazioni vincolari della parete ($\vec N$ ed $\vec R$) aventi punto di applicazione il polo $O$). Non è dunque possibile risolvere il problema applicando la conservazione della quantità di moto totale $\vec p_{TOT}$.
Si scriva la II Equazione Cardinale della dinamica per i sistemi di particelle: $\vec M_O^E = \frac{d}{dt}\vec L_{TOT}$.
Il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo $O$ durante l’urto è nullo ($\vec M_O^E =0$), poiché tutte le forze esterne agenti sul sistema hanno braccio nullo rispetto al polo scelto. Dunque, dalla II Equazione Cardinale, la derivata del momento angolare totale del sistema rispetto al tempo è nulla ($\frac{d}{dt}\vec L_{TOT} = 0$). Ne consegue, in un istante di tempo “attillato” all’urto (dunque in un istante di tempo immediatamente precedente e immediatamente successivo all’urto), la conservazione del momento angolare totale del sistema: $\vec L_{TOTi} = \vec L_{TOTf}$.
Si procede dunque alla risoluzione del problema (che qui tralascio, poiché già chiara e inoltre non necessaria).
Caso 2) Urto totalmente anelastico (urto con incastro) tra una pallina di massa m ed un quadro omogeneo di massa $M$, altezza $h$ e lunghezza $2h$ incernierato in un punto $O$ [foto 2]
Come nel caso precedente, durante l’urto tra la massa $m$ ed il quadro, non si conserva la quantità di moto totale $\vec p_{TOT}$ del sistema poiché agiscono forze esterne di natura impulsiva (le reazioni vincolari ($\vec N$ ed $\vec R$) della parete aventi punto di applicazione il polo $O$). Anche in questo caso, non è dunque possibile risolvere il problema applicando la conservazione della quantità di moto totale $\vec p_{TOT}$.
Si scriva la II Equazione Cardinale della dinamica per i sistemi di particelle: $\vec M_O^E = \frac{d}{dt}\vec L_{TOT}$.
Il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo $O$ durante l’urto è dato dalla somma dei momenti della forza peso del quadro ($M\vec g$), delle reazioni vincolari della parete ($\vec N$ ed $\vec R$) e della forza peso della pallina ($m\vec g$). Tra tutte le forze esterne in gioco, solo le prime tre ($M\vec g$, $\vec N$ ed $\vec R$) hanno momento nullo rispetto al polo $O$ (poiché hanno braccio nullo rispetto ad esso). La forza peso della pallina, come si evince dalla [foto 2], non ha braccio nullo rispetto al polo $O$.
Come mai, dunque, se il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo $O$ è diverso da 0, il problema viene comunque risolto affermando che in un istante di tempo “attillato” all’urto si conservi il momento angolare totale del sistema?
Nel calcolo del momento di inerzia totale, si considera sia il momento di inerzia del quadro ($I_q$), sia il contributo fornito dalla massa della pallina. Dunque, se in questo caso la massa della pallina non è stata trascurata, immagino che non possa essere trascurata nemmeno nel computo della somma dei momenti delle forze esterne rispetto al polo $O$.
Come si giustifica la conservazione del momento angolare del sistema?
Caso 3) Urto elastico tra una pallina di massa $m$ ed un’asta rigida omogenea di massa $M$ e lunghezza $l$ incernierata in un punto $O$ e posta in orizzontale [foto 3]
Come nei due casi precedenti, durante l’urto tra la massa $m$ e l’asta, non si conserva la quantità di moto totale $\vec p_{TOT}$ del sistema poiché agiscono forze esterne di natura impulsiva (la reazione vincolare ($\vec N$) del piolo $O$).
Si scriva la II Equazione Cardinale della dinamica per i sistemi di particelle: $\vec M_O^E = \frac{d}{dt}\vec L_{TOT}$.
Il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo $O$ durante l’urto è dato dalla somma dei momenti della forza peso dell’asta ($M\vec g$), della reazione vincolare ($\vec N$) e della forza peso della pallina ($m\vec g$). Tra tutte le forze esterne in gioco, solo le prime due ($M\vec g$ ed $\vec N$) hanno momento nullo rispetto al polo $O$ (poiché hanno braccio nullo rispetto ad esso). La forza peso della pallina, come si evince dalla [foto 3], non ha braccio nullo rispetto al polo $O$.
Come mai, dunque, se il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo $O$ è diverso da 0, il problema viene comunque risolto affermando che in un istante di tempo “attillato” all’urto si conservi il momento angolare totale del sistema?
La risoluzione (un tema d’esame…) afferma: “Durante l’urto sul sistema asta-pallina agiscono forze esterne: il peso e la reazione vincolare del cuneo. Non si conserva la q.d.m. del sistema perché la reazione vincolare ha carattere impulsivo. Invece, il momento angolare con polo nel punto di contatto asta cuneo si conserva perché il peso non è impulsivo e il momento della reazione vincolare rispetto a tale polo è zero.”
Cosa intende con “il peso (della pallina, ndr) non è impulsivo”? Come può questo giustificare la conservazione del momento angolare del sistema?
Ringrazio anticipatamente chiunque dedicherà del tempo ad aiutarmi nella comprensione di questi passaggi!
Risposte
"JohnSewardMath":
Come mai, dunque, se il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo $O$ è diverso da 0, il problema viene comunque risolto affermando che in un istante di tempo “attillato” all’urto si conservi il momento angolare totale del sistema?
Nel calcolo del momento di inerzia totale, si considera sia il momento di inerzia del quadro ($I_q$), sia il contributo fornito dalla massa della pallina. Dunque, se in questo caso la massa della pallina non è stata trascurata, immagino che non possa essere trascurata nemmeno nel computo della somma dei momenti delle forze esterne rispetto al polo $O$.
Come si giustifica la conservazione del momento angolare del sistema?
Appunto perchè il tempo è' "attillato". Il peso della pallina esercita un momento, ma perchè il momento angolare cambi bisogna lasciare al momento il tempo di agire. Se consideri il momento angolare "subito prima" e "subito dopo" l'urto, risultano uguali. In seguito no, ma durante l'urto, sì.
E idem per il terzo caso.
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