Chiarimenti sull'energia potenziale
Buonasera
Scusate non capisco questi paragrafi del libro mi aiutereste gentilmente per favore?
1)
"l'espressione dell'energia potenziale elettrica dipende dalla forma del campo. Nel campo uniforme E fra due puastre conduttrici parallele, se $y$ è la distanza di una carica di prova q dalla piastra negativa, l'energia potenziale è:
$U$=$qEy$+$c$
Dubbi:
- da dove viene "c" ("costante arbitraria") cioè perche si deve aggiungere c?
- che valore ha y? È la differenza tra due distanze? È lo spostamento?
Paragrafo che non capisco (scusate la stupidità):
"Se una carica positiva si avvicina alla piastra negativa, la forza elettrica compie un lavoro positivo [perché positivo?]
e l'energia potenziale eltrrica della carica diminuisce della stessa quantità
[perché diminuisce proprio della stessa quantità, e perché dovrebbe diminuire?]
Per far allontanare una carica positiva dalla piastra negativa, è necessario che una forza esterna compia lavoro contro la forza elettrica[contro la Feletrrica positiva?] e l'energia potenziale eletrrica aumenta di una quantità pari al lavoro speso[ perché aumenta?]
Grazie inifinite scusate la banalità ma non mi va di imparare a memoria le frasi grazie mille
[
Scusate non capisco questi paragrafi del libro mi aiutereste gentilmente per favore?
1)
"l'espressione dell'energia potenziale elettrica dipende dalla forma del campo. Nel campo uniforme E fra due puastre conduttrici parallele, se $y$ è la distanza di una carica di prova q dalla piastra negativa, l'energia potenziale è:
$U$=$qEy$+$c$
Dubbi:
- da dove viene "c" ("costante arbitraria") cioè perche si deve aggiungere c?
- che valore ha y? È la differenza tra due distanze? È lo spostamento?
Paragrafo che non capisco (scusate la stupidità):
"Se una carica positiva si avvicina alla piastra negativa, la forza elettrica compie un lavoro positivo [perché positivo?]
e l'energia potenziale eltrrica della carica diminuisce della stessa quantità
[perché diminuisce proprio della stessa quantità, e perché dovrebbe diminuire?]
Per far allontanare una carica positiva dalla piastra negativa, è necessario che una forza esterna compia lavoro contro la forza elettrica[contro la Feletrrica positiva?] e l'energia potenziale eletrrica aumenta di una quantità pari al lavoro speso[ perché aumenta?]
Grazie inifinite scusate la banalità ma non mi va di imparare a memoria le frasi grazie mille
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Risposte
Ciao
Generalmente i potenziali si ricavano dall'integrazione di forme differenziali (e campi vettoriali).
Per esempio, poniamo di avere un campo vettoriale di forza F. Esso è, per definizione:
$ F=-\grad V $
Il che vuol dire che la relazione fra la forza e l'energia o il potenziale associato è molto particolare, e in particolare, per non farla lunga, implica derivate e integrali. In particolare i potenziali si ricavano mediante integrazione dei campi vettoriali. Ecco il perché della costante arbitraria di integrazione. Per esempio, supponiamo di avere un campo elettrico del tipo:
$ E(r, \ \theta)= 1/r^2 vec(e_r) + 0 \ vec(e_\theta) $
Che è tipicamente il campo di una carica puntiforme. Ho tolto le costanti (carica, \epsilon, etc. etc.) per comodità.
Dunque so che:
$ E_r=1/r^2= (partial V)/(partial r) $
e dunque integrando (integrale indefinito) trovi:
$V(r, \ \theta)=-1/r + c(\theta) + c(\in \mathbb{R})$
D'altra parte:
$ E_{\theta}=0= (partial V)/(partial \theta) $
e dunque integrando trovi:
$V(r, \ \theta)=0 + c(r) + c(\in \mathbb{R})$
Per confronto:
$V=-1/r + c(\in \mathbb{R}) $
Spero che il tutto non sia troppo astruso. Ad ogni modo, ti basti sapere che esce fuori matematicamente
Fisicamente la c ti sta a indicare che ciò che più ti interessa è la differenza di potenziale, piuttosto che il potenziale di per sé stesso. Ti garantisce che puoi scegliere il tuo sistema di riferimento con libertà. Pensa per esempio al potenziale gravitazionale. Quando hai fatto meccanica con ogni probabilità hai usato la conservazione dell'energia, e scritto, per un corpo che cade da un grattacielo:
$ U_f + E_{k,f}=U_i + E_{k,i} $
ponendo che l'energia potenziale finale $U_f$ fosse nulla perché il corpo aveva toccato terra. Il che implicava, sottosotto, mettere un sistema di riferimento che avesse per 0 il suolo, e misurare il potenziale rispetto a quello. Potevi però, eventualmente, chiederti se ti fosse venuto lo stesso risultato usando, come zero, il centro della terra. Se provi a riscrivere l'espressione ti escono due costanti da entrambi i potenziali $U_f$ e $U_i$, che si elidono. Quelle sono proprio le costanti arbitrarie, e sono arbitrarie proprio perché il loro contributo si annulla nelle espressioni come quella di sopra. Spero che il tutto sia comprensibile.
y, come detto dal testo, è la distanza da una delle due piastre della carica.
Per la tua seconda domanda, è sufficiente che tu pensi alla conservazione dell'energia e ti scriva l'espressione dell'energia nel caso particolare, e tutto ti risulterà come deve!
Generalmente i potenziali si ricavano dall'integrazione di forme differenziali (e campi vettoriali).
Per esempio, poniamo di avere un campo vettoriale di forza F. Esso è, per definizione:
$ F=-\grad V $
Il che vuol dire che la relazione fra la forza e l'energia o il potenziale associato è molto particolare, e in particolare, per non farla lunga, implica derivate e integrali. In particolare i potenziali si ricavano mediante integrazione dei campi vettoriali. Ecco il perché della costante arbitraria di integrazione. Per esempio, supponiamo di avere un campo elettrico del tipo:
$ E(r, \ \theta)= 1/r^2 vec(e_r) + 0 \ vec(e_\theta) $
Che è tipicamente il campo di una carica puntiforme. Ho tolto le costanti (carica, \epsilon, etc. etc.) per comodità.
Dunque so che:
$ E_r=1/r^2= (partial V)/(partial r) $
e dunque integrando (integrale indefinito) trovi:
$V(r, \ \theta)=-1/r + c(\theta) + c(\in \mathbb{R})$
D'altra parte:
$ E_{\theta}=0= (partial V)/(partial \theta) $
e dunque integrando trovi:
$V(r, \ \theta)=0 + c(r) + c(\in \mathbb{R})$
Per confronto:
$V=-1/r + c(\in \mathbb{R}) $
Spero che il tutto non sia troppo astruso. Ad ogni modo, ti basti sapere che esce fuori matematicamente
Fisicamente la c ti sta a indicare che ciò che più ti interessa è la differenza di potenziale, piuttosto che il potenziale di per sé stesso. Ti garantisce che puoi scegliere il tuo sistema di riferimento con libertà. Pensa per esempio al potenziale gravitazionale. Quando hai fatto meccanica con ogni probabilità hai usato la conservazione dell'energia, e scritto, per un corpo che cade da un grattacielo:
$ U_f + E_{k,f}=U_i + E_{k,i} $
ponendo che l'energia potenziale finale $U_f$ fosse nulla perché il corpo aveva toccato terra. Il che implicava, sottosotto, mettere un sistema di riferimento che avesse per 0 il suolo, e misurare il potenziale rispetto a quello. Potevi però, eventualmente, chiederti se ti fosse venuto lo stesso risultato usando, come zero, il centro della terra. Se provi a riscrivere l'espressione ti escono due costanti da entrambi i potenziali $U_f$ e $U_i$, che si elidono. Quelle sono proprio le costanti arbitrarie, e sono arbitrarie proprio perché il loro contributo si annulla nelle espressioni come quella di sopra. Spero che il tutto sia comprensibile.
y, come detto dal testo, è la distanza da una delle due piastre della carica.
Per la tua seconda domanda, è sufficiente che tu pensi alla conservazione dell'energia e ti scriva l'espressione dell'energia nel caso particolare, e tutto ti risulterà come deve!
Graziemille! Ma non so ancora cosa siano integrali e derivate. Non è che c'è un metodo per capire senza questi concetti? Scusi la stupidità ma non ho ben chairo il motivo per cui si deve aggiungere "c". Che cos'è c?Grazie mille
Si, l'ho scritto:
Ti rendo esplicito l'esempio:
L'energia potenziale gravitazionale è definita, per esempio (nella forma facile), come:
$U=mgh+c$
dove $m$ è la massa, $g$ è l'accelerazione di gravita, e $h$ è l'altezza rispetto ad un dato sistema di riferimento. Scriviamo la conservazione dell'energia per un corpo di massa m che cade da un grattacielo di 100 metri di altezza. Poniamo il sistema di riferimento in modo che abbia 0 con il suolo; allora:
$mgh_{palazzo}+1/2 m v_i^2=mgh_{ground}+1/2 m v_{f}^2$
e supponiamo che il corpo inizi la caduta con velocità nulla. Alllora il tutto si riduce a:
$mgh_{palazzo}=1/2 m v_{f}^2$
Dato che nel nostro sistema di riferimento l'altezza finale è nulla.
Proviamo a fare lo stesso calcolo ponendo, come 0 del nostro sistema di riferimento, il centro della terra; allora:
$mg(h_{palazzo}+R_{terra})+1/2 m v_i^2=mg(h_{ground}+R_{terra})+1/2 m v_{f}^2$
se svolgi i piccoli conti vedrai che l'equazione trovata è sempre:
$mgh_{palazzo}=1/2 m v_{f}^2$
E' esattamente questo il significato della costante arbitraria. Puoi aggiungere ai tuoi potenziali una stessa quantità, tanto l'equazione del moto non cambia. Puoi scrivere più in generale:
$mgh_f + c + 1/2 m v_f^2 =mgh_i + c + 1/2 m v_f^2 $
da cui vedi subito che le costanti arbitrarie si elidono. Spero che la notazione sia chiara. E' un calcolo che comunque puoi fare benissimo da solo.
Spero che il tutto non sia troppo astruso. Ad ogni modo, ti basti sapere che esce fuori matematicamente
Fisicamente la c ti sta a indicare che ciò che più ti interessa è la differenza di potenziale, piuttosto che il potenziale di per sé stesso. Ti garantisce che puoi scegliere il tuo sistema di riferimento con libertà. Pensa per esempio al potenziale gravitazionale. Quando hai fatto meccanica con ogni probabilità hai usato la conservazione dell'energia, e scritto, per un corpo che cade da un grattacielo:
$U_f+E_{k,f}=U_i+E_{k,i} $
ponendo che l'energia potenziale finale Uf fosse nulla perché il corpo aveva toccato terra. Il che implicava, sottosotto, mettere un sistema di riferimento che avesse per 0 il suolo, e misurare il potenziale rispetto a quello. Potevi però, eventualmente, chiederti se ti fosse venuto lo stesso risultato usando, come zero, il centro della terra. Se provi a riscrivere l'espressione ti escono due costanti da entrambi i potenziali Uf e Ui, che si elidono. Quelle sono proprio le costanti arbitrarie, e sono arbitrarie proprio perché il loro contributo si annulla nelle espressioni come quella di sopra. Spero che il tutto sia comprensibile.
Ti rendo esplicito l'esempio:
L'energia potenziale gravitazionale è definita, per esempio (nella forma facile), come:
$U=mgh+c$
dove $m$ è la massa, $g$ è l'accelerazione di gravita, e $h$ è l'altezza rispetto ad un dato sistema di riferimento. Scriviamo la conservazione dell'energia per un corpo di massa m che cade da un grattacielo di 100 metri di altezza. Poniamo il sistema di riferimento in modo che abbia 0 con il suolo; allora:
$mgh_{palazzo}+1/2 m v_i^2=mgh_{ground}+1/2 m v_{f}^2$
e supponiamo che il corpo inizi la caduta con velocità nulla. Alllora il tutto si riduce a:
$mgh_{palazzo}=1/2 m v_{f}^2$
Dato che nel nostro sistema di riferimento l'altezza finale è nulla.
Proviamo a fare lo stesso calcolo ponendo, come 0 del nostro sistema di riferimento, il centro della terra; allora:
$mg(h_{palazzo}+R_{terra})+1/2 m v_i^2=mg(h_{ground}+R_{terra})+1/2 m v_{f}^2$
se svolgi i piccoli conti vedrai che l'equazione trovata è sempre:
$mgh_{palazzo}=1/2 m v_{f}^2$
E' esattamente questo il significato della costante arbitraria. Puoi aggiungere ai tuoi potenziali una stessa quantità, tanto l'equazione del moto non cambia. Puoi scrivere più in generale:
$mgh_f + c + 1/2 m v_f^2 =mgh_i + c + 1/2 m v_f^2 $
da cui vedi subito che le costanti arbitrarie si elidono. Spero che la notazione sia chiara. E' un calcolo che comunque puoi fare benissimo da solo.
Grazie mille! Invece la formula del lavoro di un campo eletrrico unfiorme da dove deriva? Perché si moltiplica per la differenza di 1/r -1/r2 grazie
Prova a scriverti la differenza di energia potenziale elettrica in termini di lavoro (tutto ciò ancora deriva dalla conservazione dell'energia); è mooolto simile a ciò che abbiamo fatto sopra con l'energia potenziale gravitazionale.
Potreste farmi ancora unfavore vi prego e vi ringrazio? Mi direste che significa questa frase. Io non ne so niente e sono del tutto ignorante in materia che formule devo usare per capire il paragrafo che ho scritto nella domanda 2)?
(scusate la stupidità):
"Se una carica positiva si avvicina alla piastra negativa, la forza elettrica compie un lavoro positivo [perché positivo?]
e l'energia potenziale eltrrica della carica diminuisce della stessa quantità
[perché diminuisce proprio della stessa quantità, e perché dovrebbe diminuire?]
(scusate la stupidità):
"Se una carica positiva si avvicina alla piastra negativa, la forza elettrica compie un lavoro positivo [perché positivo?]
e l'energia potenziale eltrrica della carica diminuisce della stessa quantità
[perché diminuisce proprio della stessa quantità, e perché dovrebbe diminuire?]
$U_f-U_i= +- L$
dove $U_f$ è l'energia potenziale finale, $U_i$ la iniziale e $L$ il lavoro. Il tutto deriva da considerazioni energetiche. Sostituisci le formule e avrai l'asserto. Il segno di L dipende da chi consideri che faccia il lavoro. I generale osservi però che la differenza di energia potenziale è pari al lavoro.
dove $U_f$ è l'energia potenziale finale, $U_i$ la iniziale e $L$ il lavoro. Il tutto deriva da considerazioni energetiche. Sostituisci le formule e avrai l'asserto. Il segno di L dipende da chi consideri che faccia il lavoro. I generale osservi però che la differenza di energia potenziale è pari al lavoro.
@scuola1234 : ho corretto il titolo del messaggio. Cerca per cortesia di essere più precisa in seguito, grazie e buon proseguimento.
Grazoe mille
da dove viene "c" ("costante arbitraria") cioè perche si deve aggiungere c?
Nelle leggi fisiche compare solo la differenza di potenziale $ Delta U $. Ciò vuol dire che l'energia potenziale $U$ è una grandezza ausiliaria che serve a calcolare $ Delta U $, che è la vera grandezza dotata di senso fisico.
Consideriamo come energia potenziale di una carica, $U$ e $U'$, che differiscono per una costante additiva.
$ Delta U=U_f -U_i=(U'_f+c)-(U'_i+c) $
Come vedi $U$ e $U'$ vanno entrambe bene perché generano la stessa $Delta U$.
Di solito si sceglie il valore di $c$ considerando una superficie equipotenziale (superficie in cui l'energia potenziale di una carica unitaria è la stessa, in tutti i suoi punti) e imponendo che ivi l'energia potenziale sia nulla. Tale superficie viene detta: "Superficie di riferimento"
che valore ha y? È la differenza tra due distanze? È lo spostamento?
Lo dice il testo: "è la distanza delle carica q dalla piastra negativa"
Se si prende questa piastra come superficie di riferimento allora $U=qEy;$ $($per $y=0$ si ha $U=0).$
Se una carica positiva si avvicina alla piastra negativa, la forza elettrica compie un lavoro positivo [perché positivo?]
Il lavoro è positivo quando spostamento e forza (o almeno la sua componente lungo lo spostamento) hanno stesso verso, che è proprio il caso in questione.
l'energia potenziale eltrrica della carica diminuisce della stessa quantità
[perché diminuisce proprio della stessa quantità, e perché dovrebbe diminuire?]
La relazione tra $L$ e $Delta U$ è: $L=-Delta U rArr L=U_i-U_f$
È quindi ovvio che se $L>0$ allora $U_i > U_f$ e inoltre $ |L| =|Delta U| $
Per far allontanare una carica positiva dalla piastra negativa, è necessario che una forza esterna compia lavoro contro la forza elettrica[contro la Feletrrica positiva?] e l'energia potenziale eletrrica aumenta di una quantità pari al lavoro speso[ perché aumenta?]
Dire che una forza è positiva è privo di senso la forza è un vettore non un numero (positive e\o negative possono esserlo le sue componenti).
Vai qui:
viewtopic.php?f=19&t=120333&p=784177
per chiarirti questo concetto.
È il lavoro che può essere positivo o negativo. Nel caso in questione la carica si sposta nello stesso verso della forza esterna (che quindi compie un lavoro positivo). Il verso della forza elettrica che agisce sulla carica invece, è contrario allo spostamento (punta verso la piastra negativa) e quindi il suo lavoro è negativo e da $L=-Delta U$ si deduce che l'energia potenziale aunenta.
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