Chiarimenti sul significato di un integrale in termodinamica

[siddy98]

Studiando termodinamica, mi è sorto questo dubbio:

Una trasformazione quasi-statica, essendo costituita da una successione di stati di equilibrio, è tale da poter essere identificata con una curva nel piano $p-V$.

Consideriamo però un ciclo non quasi-statico, e dunque irreversibile. E' noto che per un tale ciclo

$$\oint \frac{dQ}{T}<0$$

Se ho ben capito, in generale col simbolo $\oint \mbox{d}\omega$ si denota l'integrale della forma differenziale $\mbox{d}\omega$ lungo una certa curva chiusa, e qui è il punto: se al ciclo non quasi-statico non è associabile nessuna curva in $\mathbb{R^2}$ (che include il piano $p-V$), che significato ha l'integrale scritto sopra? Qual è l'insieme sul quale stiamo integrando? O quell'integrale non è di linea, ma indica qualcos'altro?

[fender97]

L'integrale
\[ \oint \frac{dQ}{T} \]
ha significato esclusivamente per le trasformazioni reversibili, proprio perché alle trasformazioni irreversibili non è associata alcuna curva in $ \mathbb{R^2} $. La variazione di entropia lungo una trasformazione termodinamica reversibile è definita come

$\DeltaS_(AB) = \int_{A}^{B} (\frac{dQ}{T})_(rev)$ e dal teorema di Clausius generalizzato ad infinite sorgenti si ha che

$\DeltaS_(AB) = \int_{A}^{B} (\frac{dQ}{T})_(rev) > \int_{A}^{B} (\frac{dQ}{T})_(irr)$

Se poi si parla di un ciclo termodinamico,
$\DeltaS = \oint (\frac{dQ}{T})_(rev) = 0$
e pertanto
$\oint(\frac{dQ}{T})_(irr) < 0$

Ma tale quantità, ovvero $\int_{A}^{B} (\frac{dQ}{T})_(irr) $ non è entropia. È un'altra quantità, diversa dall'entropia di cui non si conosce nulla. Se si vuole calcolare la variazione di entropia in una trasformazione irreversibile si deve usare un'altra trasformazione termodinamica reversibile che collega gli stessi stati termodinamici A e B.

Esempio: ho un gas perfetto che subisce una compressione adiabatica irreversibile tra uno stato A e uno stato B, caratterizzato ciascuno da variabili termodinamiche $p, V, T$.
Scelgo una generica trasformazione termodinamica reversibile tra gli stati A e B. Varrà il primo principio:

$ dQ = dU + dW$

Se sono noti $p_A, V_A, T_A$ e $p_B, V_B, T_B$ allora è noto
$\int_{A}^{B} (\frac{dQ}{T})_(rev) = \DeltaS_(AB) $

In conclusione, se la trasformazione è irreversibile non esiste una curva in $ \mathbb{R^2} $ in grado di rappresentarla. Per dare in ogni caso un valore a quella somma integrale, si sceglie una trasformazione reversibile tra i medesimi stati (che invece è ben rappresentabile con una curva).

Spero fosse questo quel che cercavi di capire

[siddy98]

"fender97":
Spero fosse questo quel che cercavi di capire

Ti ringrazio molto per la risposta, ma forse, purtroppo, non mi sono fatto capire bene. So bene come si esegue il calcolo dell'entropia, ma non era quello il punto della domanda. Il punto era questo:

Cosa indica il simbolo $\oint (frac{dQ}{T})_{irr.}$?

E' l'integrale di linea di una forma differenziale? A quanto pare no, perché non c'è una curva su cui integrare. Ma allora che genere di integrale è? Com'è definito?

E' vero che non mi interesserà mai calcolare quell'integrale, perché tutto ciò che mi serve sapere è che esso è sempre negativo, ma che prima di affermare che $\oint (frac{dQ}{T})_{irr.}<0$, bisognerebbe chiarire esattamente cosa si intende matematicamente con quel simbolo.

Ho posto la domanda anche su Stack Exchange, e ho ottenuto una risposta che mi sembra risolvere la questione. Magari domani ne scrivo qui, così qualcuno può confermarmene la correttezza.