Chiarimenti su moti nel piano

[oleg.fresi]

Sto studiando fisica 1, in particolare i moti piani ma ho difficoltà a capire le varie notazioni vettriali, perchè il libro da cui sto studiando, il Mazzoldi, non ne dà una rigorosa spiegazione. Per esempio, il raggio vettore che descri il mto di un punto materiale, è così definito: $r(t)=x(t)mu_x+y(t)mu_y$, questa equazione, in senso vettoriale, l'ho capita, perchè $x(t)mu_x$ è un po come dire, considera l'ascissa del punto proiettata sull'asse $x$ e il significato è reso grazie al versore $mu_x$, stessa cosa per $y(t)$. Nel momento in cui si definisce però la velocità istantanea inizano i problemi, infatti essa è $v=(dr(t))/dt$, ciò la derivata di un vettore, che è $v=(ds)/dtmu_t$. Ciò che non capisco è proprio quel passaggio che porta al $mu_t$. Infatti, facendo la derivata di un vettore, non ci si limita a fare la derivata del modulo (che è una funzione), ma bisogna anche considerare il verso e la direzione. Il probelam si amplia quando si usano le coordinate polari in cui la velocità diventa: $v=(dr)/dtmu_r+r(d theta)/dt mu_(theta)=v_r+v_(theta)$. Poi anche con l'accelerazione si presenta lo stesso problema per cui si ha:$a=(dv)/dtmu_t+v(dphi)/dtmu_N$. Deelle ultime due formule non mi è chiara l'introduzione dell'angolo e sportattutto cosa sia la derivata di un angolo. Sapreste darmi una spiegazione rigorosa, stile analisi o algebra lineare che sto studiando parallelamente, di cosa significhi fare la derivata di un vettore per quanto concerne il verso e la direzione? Preferirei una risposta rigorosa anche se complessa, piuttosto ciò che si fa nei libri di fisica, ovvero lasciare un'interpretazione intuitiva.

[Flamber]

"anonymous_0b37e9":
Qui ha ragione Lucacs. L'equazione oraria è l'ascissa curvilinea in funzione del tempo.

Buon proseguimento.

Ma non cambia nulla, semplicemente invece di utilizzare una parametrizzazione cartesiana, stai utilizzando una parametrizzazione curvilinea. La legge oraria la puoi esprimere come ti pare, rispetto agli assi cartesiani, rispetto all'asciassa curvilinea, rispetto alle coordinate polari o rispetto a qualsiasi altro sistema di riferimento.

Sul Muncuccini - Silvestrini ( Fisica 1)

Consideriamo un punto materiale che si muove nello spazio. Il suo moto ci è noto se conosciamo la sua posizione i funzione del tempo: se cioè conosciamo la legge che ci consente di calcolare, per ogni valore del tempo t, dove il punto si trova. Stabilito un sistema di riferimento cartesiano, la posizione può essere determinata specificando le coordinate x,y,z del punto; per cui il moto ci è noto se conosciamo come variano le coordinate in funzione del tempo (equazioni parametriche del moto):

$\vecr(t) = (x(t),y(t),z(t))$

[...] Questa equazione o una qualunque sua rappresentazione in termini di tre relazioni scalari, viene detta legge oraria del punto materiale considerato

È ovvio che se hai le equazioni parametriche puoi trovare la legge oraria, perchè queste sono la legge oraria, che puoi esprimere con il sistema di riferimento che più ti piace.

Quello che non è vero, invece, è che conoscendo solo la traiettoria (cioè il sostegno), puoi ricavare le equazioni orarie. Due curve si definiscono equivalenti se hanno lo stesso sostegno, ma due curve equivalenti non descrivono necessariamente lo stesso moto, è solo la lunghezza della curva a non dipendere dalla parametrizzazione scelta.
Ti ripeto, ti basta pensare ad un moto circolare uniforme ed uno circolare uniformemente accelerato sulla stessa circonferenza. Stesso sostegno, leggi orarie diverse ( e diverse secondo qualsiasi sistema di riferimento )
Per fare il tuo esempio del "circuito di Monza" è come se tu conoscessi solo la forma del tracciato e volessi sapere la velocità della macchina che ci ha girato sopra. Magari era una Panda dell' '82 che lo ha competato in 5:00:00 o magari era Aventador che lo ha girato in 1:30:00, questo non puoi saperlo dalla forma del tracciato.

Detto questo, penso che la discussione non sia più utile a risolvere il dubbio iniziale dell'utente, ho utilizzato la definizione di curva del Marcellini-Sbordone-Fusco (ANALISI 2) e la definizione di legge oraria del Mencuccini-Silvestrini (FISICA 1). Entrambi i testi sono molto chiari a riguardo, e non penso di potere essere più rigoroso di questi, quindi per chiunque avesse dubbi lo rimando a questi libri, che sicuramente esprimono il concetto il maniera molto ,migliore di quanto possa fare io.

[anonymous_0b37e9]

@ Flamber

L'equazione oraria, al singolare, è l'ascissa curvilinea in funzione del tempo. Quelle che tu chiami equazioni orarie, al plurale, sono tipicamente chiamate equazioni parametriche. In questo modo, come già scritto, il moto piano può essere descritto in due modi del tutto equivalenti:
1. Traiettoria ed equazione oraria (ascissa curvilinea in funzione del tempo).
2. Equazioni parametriche.
Vero è che puoi chiamare le cose come ti pare. Tuttavia, nel punto 1 di cui sopra, per equazione oraria si deve intendere l'ascissa curvilinea in funzione del tempo. Altrimenti lo schema non ha alcun senso. Non è il massimo usare lo stesso termine, equazione oraria, per intendere le coordinate in funzione del tempo, al plurale, e l'ascissa curvilinea in funzione del tempo, al singolare. Ad ogni modo, ciò che si deve ribadire è che, nella classificazione di cui sopra, al primo punto entrino la traiettoria e l'ascissa curvilinea in funzione del tempo. Sul fatto che non abbia molto senso proseguire la discussione mi trovi pienamente d'accordo. Si tratta di concetti piuttosto elementari.

"Lucacs":
... l'esempio le aveva, e io parlavo di quello ...

Non me ne ero accorto.

[Lucacs1]

Elementari si, ma come vedi tanta confusione sotto il cielo, senza che la situazione sia eccellente.
Il Mencuccini è lo Sbordone non brillano per precisione in questo caso.
E ti ripeto, parametrizzazioni equivalenti, stesso isentico sostegno. La legge oraria non riguarda questo, le parametrizzazioni Non sono la legge oraria
Una traiettoria è una curva le cui parametrizzazionii rispetto a un sistema di riferimento sono date dalla legge oraria.

[Flamber]

E saranno "confusi" anche i Prof. Mencuccini e Sbordone, mi riservo la possibilità di scegliere le mie fonti

[Lucacs1]

Senza andare lontano, su matematicamente c'è un pdf chiamato curve, leggilo e vedrai che davvero i due citati fanno confusione.