Chiarimenti su momento angolare e di una forza
Salve, volevo avere delle spiegazioni sul concetto di momento della quantità di moto rispetto ad un polo (momento angolare) e momento di una forza rispetto a un polo. La definizione di momento angolare della quantità di moto $vec p=m*vec v$ rispetto ad un polo $O$ è $vec L=vec r X vec p$, dove $r$ è il vettore che individua la posizione del punto materiale $P$ rispetto al polo scelto.
Ora la mia domanda è: il momento angolare così definito è riferito ad un certo istante di tempo $t$? Cioè, la definizione che ho appena dato mi dice qual è il momento angolare all'istante $t$ di un punto materiale che possiede all'istante $t$ la quantità di moto $vec p$ e che si trova a distanza $vec r$ dal polo sempre in quell'istante $t$? Stessa cosa per il momento di una forza? Cioè, la definizione di momento di una forza $vec F$ rispetto al polo $O'$, cioè la legge $ vec M=vec r X vec F$ mi dice qual è il momento all'istante $t$ generato da una certa forza che agisce su un certo punto materiale all'istante $t$ dotato di massa $m$ e la cui posizione rispetto al polo $O'$ è $r$? Scusate per la domanda banale, però ho qualche difficoltà a ragionare in termini "istantanei. So che un punto materiale ad un istante di tempo $t$ possiede una certa velocità e accelerazione istantanee, però mi risulta un pò difficile da comprendere la questione di istantaneità nel caso di un momento di un vettore. Grazie mille
Ora la mia domanda è: il momento angolare così definito è riferito ad un certo istante di tempo $t$? Cioè, la definizione che ho appena dato mi dice qual è il momento angolare all'istante $t$ di un punto materiale che possiede all'istante $t$ la quantità di moto $vec p$ e che si trova a distanza $vec r$ dal polo sempre in quell'istante $t$? Stessa cosa per il momento di una forza? Cioè, la definizione di momento di una forza $vec F$ rispetto al polo $O'$, cioè la legge $ vec M=vec r X vec F$ mi dice qual è il momento all'istante $t$ generato da una certa forza che agisce su un certo punto materiale all'istante $t$ dotato di massa $m$ e la cui posizione rispetto al polo $O'$ è $r$? Scusate per la domanda banale, però ho qualche difficoltà a ragionare in termini "istantanei. So che un punto materiale ad un istante di tempo $t$ possiede una certa velocità e accelerazione istantanee, però mi risulta un pò difficile da comprendere la questione di istantaneità nel caso di un momento di un vettore. Grazie mille
Risposte
Invece di pensare ai valori istantanei di queste grandezze, vedile come funzioni del tempo. E cerca di interiorizzare il concetto che il momento delle forze applicate è la funzione temporale derivata della funzione momento angolare.
"Falco5x":
Invece di pensare ai valori istantanei di queste grandezze, vedile come funzioni del tempo. E cerca di interiorizzare il concetto che il momento delle forze applicate è la funzione temporale derivata della funzione momento angolare.
Si, questo lo so. Per esempio, se sto su una bicicletta posso dire che all'istante di tempo $t=3,43s$ il momento angolare di un punto del copertone rispetto all'asse di rotazione della ruota è di tot $(kg*(m^2/s))$
up..........
Non capisco sinceramente quale sia il dubbio...
Se al posto dei momenti angolare o della forza consideri la velocità hai lo stesso dubbio? Se non lo hai allora non c'è alcuna differenza tra la variabile velocità e questi momenti.
Nota poi che il momento angolare (o della quantità di moto) può anche riferirsi ad un sistema di punti materiali (come un corpo rigido ad esempio).
Se al posto dei momenti angolare o della forza consideri la velocità hai lo stesso dubbio? Se non lo hai allora non c'è alcuna differenza tra la variabile velocità e questi momenti.
Nota poi che il momento angolare (o della quantità di moto) può anche riferirsi ad un sistema di punti materiali (come un corpo rigido ad esempio).
"Faussone":
Non capisco sinceramente quale sia il dubbio...
Se al posto dei momenti angolare o della forza consideri la velocità hai lo stesso dubbio? Se non lo hai allora non c'è alcuna differenza tra la variabile velocità e questi momenti.
Nota poi che il momento angolare (o della quantità di moto) può anche riferirsi ad un sistema di punti materiali (come un corpo rigido ad esempio).
Il mio dubbio deriva dal fatto che non riesco a capire bene in fisica il concetto di istantaneità, nel senso che, se un corpo per esempio si muove con una velocità non costante funzione del tempo, per esempio $vec v(t)$, mi viene difficile da pensare che tale punto possa avere ad un istante $t$ una velocità $vec v$. Cioè, se vedo un corpo che si muove con una certa velocità e poi ci faccio una foto, posso dire che questo corpo all'istante in cui ho scattato una foto aveva una certa velocità istantanea $vec v$; però dalla foto il corpo appare fermo ovviamente, quindi mi risulta un pò difficile pensare come questo corpo possa avere una certa velocità in quell'istante. Lo so che è un ragionamento molto stupido, però mi viene sempre da pensare al fatto che una grandezza fisica sia riferita ad un INTERVALLO di tempo (anche piccolissimo), ma mai ad un istante; cioè non mi riesco ad immaginare bene una grandezza fisica che è riferita ad un istante di tempo, ma tendo sempre a pensare che quella grandezza fisica è definita in un intervallo di tempo. Da qui quindi derivano i miei dubbi sul concetto di momento angolare e di momento dela forza, nel senso che io non mi riesco ad immaginare il momento di una forza riferito ad un istante $t$, ma tendo sempre ad immaginarmi il momento di una forza definito in un intervallo di tempo. Spero sia chiaro:)
Cioè dire che un corpo all'istante $3s$ ha una velocità di $5 m/s$ non mi entra bene in testa, nel senso che associo il concetto di velocità al movimento, per cui mi suona un pò strano....
Allora il dubbio che hai è ben preciso e riguarda il concetto di valore istantaneo!
Posso chiederti a che livello sei? Il dubbio che esprimi sulla velocità è un concetto che si affronta (o si dovrebbe affrontare) anche nelle scuole medie superiori comunque...
La velocità istantanea è il limite del rapporto tra spazio percorso in un intervallo di tempo $Delta t$ e l'intervallo di tempo $Delta t$ stesso, quando l'intervallo di tempo (di misura se vuoi) viene preso sempre più piccolo, tendente a zero.
Questo limite non è zero (visto che tende a zero non solo lo spazio percorso ma anche l'intervallo di tempo), ed è appunto il valore della velocità istantanea. In altre parole la velocità istantanea è la derivata dello spazio percorso rispetto al tempo (non so se conosci il concetto di derivata).
Una volta compreso questo la velocità (istantanea, ma ove non specificato ci si riferisce sempre a questa) in generale è una funzione del tempo, proprio come lo spazio percorso, e lo stesso vale per il momento della quantità di moto.
Posso chiederti a che livello sei? Il dubbio che esprimi sulla velocità è un concetto che si affronta (o si dovrebbe affrontare) anche nelle scuole medie superiori comunque...
La velocità istantanea è il limite del rapporto tra spazio percorso in un intervallo di tempo $Delta t$ e l'intervallo di tempo $Delta t$ stesso, quando l'intervallo di tempo (di misura se vuoi) viene preso sempre più piccolo, tendente a zero.
Questo limite non è zero (visto che tende a zero non solo lo spazio percorso ma anche l'intervallo di tempo), ed è appunto il valore della velocità istantanea. In altre parole la velocità istantanea è la derivata dello spazio percorso rispetto al tempo (non so se conosci il concetto di derivata).
Una volta compreso questo la velocità (istantanea, ma ove non specificato ci si riferisce sempre a questa) in generale è una funzione del tempo, proprio come lo spazio percorso, e lo stesso vale per il momento della quantità di moto.
A quanto ho capito, tu non riesci a concepire il momento della quantità moto come grandezza definita istante per istante, in quanto non riesci a concepire la quantità di moto istantanea di un punto materiale. Perdonami se fraintendo, ma questo è ciò che sono riuscito a cogliere dalla discussione. Sicuramente avrai ben nota la nozione di derivata di una funzione. E certamente saprai anche che il vettore velocità, data una traiettoria regolare percorsa da un punto materiale, è data dalla derivata del raggio vettore rispetto al parametro che ne definisce la traiettoria. Infatti, una traiettoria nello spazio tridimensionale è parametrizzabile (ovvero si può esprimere) mediante tre equazioni scalari di questo tipo, che ne individuano le coordinate ad ogni valore del parametro t (che solitamente è il tempo):
[tex]x=x(t) \qquad \qquad y=y(t) \qquad z=z(t)[/tex].
Dunque è evidente che calcolando le derivate in un certo punto t0 del dominio (istante di tempo) si trova,per definizione, il valore della velocità in quel punto (se tutte e tre le funzioni sono derivabili in quel punto).
[tex]x=x(t) \qquad \qquad y=y(t) \qquad z=z(t)[/tex].
Dunque è evidente che calcolando le derivate in un certo punto t0 del dominio (istante di tempo) si trova,per definizione, il valore della velocità in quel punto (se tutte e tre le funzioni sono derivabili in quel punto).
"alephy":
A quanto ho capito, tu non riesci a concepire il momento della quantità moto come grandezza definita istante per istante, in quanto non riesci a concepire la quantità di moto istantanea di un punto materiale. Perdonami se fraintendo, ma questo è ciò che sono riuscito a cogliere dalla discussione. Sicuramente avrai ben nota la nozione di derivata di una funzione. E certamente saprai anche che il vettore velocità, data una traiettoria regolare percorsa da un punto materiale, è data dalla derivata del raggio vettore rispetto al parametro che ne definisce la traiettoria. Infatti, una traiettoria nello spazio tridimensionale è parametrizzabile (ovvero si può esprimere) mediante tre equazioni scalari di questo tipo, che ne individuano le coordinate ad ogni valore del parametro t (che solitamente è il tempo):
[tex]x=x(t) \qquad \qquad y=y(t) \qquad z=z(t)[/tex].
Dunque è evidente che calcolando le derivate in un certo punto t0 del dominio (istante di tempo) si trova,per definizione, il valore della velocità in quel punto (se tutte e tre le funzioni sono derivabili in quel punto).
Si hai capito bene. Ho studiato analisi infinitesimale e so che cos'è una derivata, un integrale ecc...Però, quando studiai (per modo di dire) fisica alle superiori, visto che lì non si usava il calcolo infinitesimale, non ho mai posto l'attenzione sui concetti di velocità istantanea ecc...; cioè, a scuola si parlava sempre di grandezze costanti, dunque era irrilevante dire che un corpo avesse una certa velocità all'istante $t$ o nell'intervallo deltat, per cui non sono mai stato abituato a pensare in questo modo. Dunque, alla luce di quello che ho detto, vi faccio la seguente domanda: nel caso di grandezze fisiche variabili nel tempo, ha senso ovviamente parlare di momento di una forza (oppure angolare ecc..) all'istante $t$?
"Faussone":
Allora il dubbio che hai è ben preciso e riguarda il concetto di valore istantaneo!
Posso chiederti a che livello sei? Il dubbio che esprimi sulla velocità è un concetto che si affronta (o si dovrebbe affrontare) anche nelle scuole medie superiori comunque...
La velocità istantanea è il limite del rapporto tra spazio percorso in un intervallo di tempo $Delta t$ e l'intervallo di tempo $Delta t$ stesso, quando l'intervallo di tempo (di misura se vuoi) viene preso sempre più piccolo, tendente a zero.
Questo limite non è zero (visto che tende a zero non solo lo spazio percorso ma anche l'intervallo di tempo), ed è appunto il valore della velocità istantanea. In altre parole la velocità istantanea è la derivata dello spazio percorso rispetto al tempo (non so se conosci il concetto di derivata).
Una volta compreso questo la velocità (istantanea, ma ove non specificato ci si riferisce sempre a questa) in generale è una funzione del tempo, proprio come lo spazio percorso, e lo stesso vale per il momento della quantità di moto.
Esatto, a scuola fisica l'ho studiata da schifo e non avevo appreso nemmeno i concetti fondamentali, per cui mi sono trovato un attimo spaesato quando l'analisi infinitesimale viene applicata alla fisica.
Sì certo, ha perfettamente senso parlare di valori istantanei del momento di una forza o di qualunque altro vettore. Per esempio, per il momento della quantità di moto di un punto materiale rispetto ad un polo O è definito in maniera naturale, come l'hai definito tu:
[tex]\vec L= \vec r (t) \times \vec p(t)[/tex].
Come potrai intuire dalla notazione, in questo caso sia il raggio vettore che la quantità di moto dipendono dall'istante di tempo, in modo tale che il momento angolare rispetto al polo O risulti anch'esso una funzione del tempo.
[tex]\vec L= \vec r (t) \times \vec p(t)[/tex].
Come potrai intuire dalla notazione, in questo caso sia il raggio vettore che la quantità di moto dipendono dall'istante di tempo, in modo tale che il momento angolare rispetto al polo O risulti anch'esso una funzione del tempo.
Ok, grazie mille, ora mi è tutto più chiaro!
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