Chiarimenti su corrente di spostamento
Ciao a tutti, mi servirebbe un chiarimento per quanto riguarda le correnti di spostamento.
Dal libro che su cuisto studiando, il Mencuccini (ma ogni tanto mi leggo anche il Mazzoldi), si ha che considerando un circuito in cui circoli una corrente $ I$ e munito di un condensatore piano, una volta applicato il teorema della cicuitazione lungo una linea $l$ chiusa e concatenata al circuito stesso, si deve ottenere $rotB=mu_0I$.
Nel caso non stazionario, se si considerano due superfici $Sigma_1$ e $Sigma_2$ aventi $l$ come contorno e in prossimità delle armature del condensatore, se si considera $Sigma_1$ attraversata dal filo conduttore il teorema della cicuitazione è verificato. Se si considera $Sigma_2$ tra le due armature, il teorema della circuitazione non è verificato in quantro tra esse non è presente una corrente.
Questo problema lo si risolve considerando, oltre alla corrente amperiana che corre nel filo del circuito, una corrente di spostamento presente tra le armature del condensatore (una pura idealizzazione perchè in realtà non esiste una vera correntetra tra le armature), che a sua volta genera un campo magnetico localizzato nel condensatore.
Bene.
Come mi posso spiegare il perchè questo problema con questa soluzione si presenta solo nel caso non stazionario?
Da che mondo e mondo anche nel caso stazionario tra le armature di un condensatore non c'è una corrente $I$...
Ringrazio chiunque riesca a chiarirmi il concetto.
.BRN
Dal libro che su cuisto studiando, il Mencuccini (ma ogni tanto mi leggo anche il Mazzoldi), si ha che considerando un circuito in cui circoli una corrente $ I$ e munito di un condensatore piano, una volta applicato il teorema della cicuitazione lungo una linea $l$ chiusa e concatenata al circuito stesso, si deve ottenere $rotB=mu_0I$.
Nel caso non stazionario, se si considerano due superfici $Sigma_1$ e $Sigma_2$ aventi $l$ come contorno e in prossimità delle armature del condensatore, se si considera $Sigma_1$ attraversata dal filo conduttore il teorema della cicuitazione è verificato. Se si considera $Sigma_2$ tra le due armature, il teorema della circuitazione non è verificato in quantro tra esse non è presente una corrente.
Questo problema lo si risolve considerando, oltre alla corrente amperiana che corre nel filo del circuito, una corrente di spostamento presente tra le armature del condensatore (una pura idealizzazione perchè in realtà non esiste una vera correntetra tra le armature), che a sua volta genera un campo magnetico localizzato nel condensatore.
Bene.
Come mi posso spiegare il perchè questo problema con questa soluzione si presenta solo nel caso non stazionario?
Da che mondo e mondo anche nel caso stazionario tra le armature di un condensatore non c'è una corrente $I$...
Ringrazio chiunque riesca a chiarirmi il concetto.
.BRN
Risposte
Sul Mencuccini mi pare sia esposto esaustivamente l'esempio che tu fai. Sei già giunto a studiare i fenomeni elettrico-magnetici dipendenti dal tempo?
Ciao
Ciao
Si si questo capitolo me lo sono studiato già tutto, però questa cosa delle correnti di spostamento non l'ho proprio assimilata bene...
Tra le armature di un condensatore non è presente una corrente, sia nel caso stazionario che in quello non stazionario. Non capisco perchè considerare le correnti di spostamento solo in quest'ultimo.
Tra le armature di un condensatore non è presente una corrente, sia nel caso stazionario che in quello non stazionario. Non capisco perchè considerare le correnti di spostamento solo in quest'ultimo.
Scusami hai mai visto lavorare un condensatore in corrente continua? Il condensatore lavora proprio in regimi non stazionari.
Un condensatore in corrente continua è un circuito aperto. Concordi?
Il Mencuccini evidenzia, proprio con un esempio (E.VII.22), che anche se non c'è una corrente, intesa come moto ordinato di cariche in un conduttore, vi sia una corrente di spostamento tra le sue armature uguale a quella che si genera nel conduttore a cui è collegato il condensatore stesso. Per tale ragione si può considerare un condensatore in corrente alternata come un componente circuitale all'interno del quale circola una corrente di conduzione.
Non riesco a comprendere le tue perplessità. Proviamo a considerare la corrente di spostamento nel caso stazionario. Quanto vale? Soprattutto cos'è la corrente di spostamento e da dove deriva?
Ciao
Un condensatore in corrente continua è un circuito aperto. Concordi?
Il Mencuccini evidenzia, proprio con un esempio (E.VII.22), che anche se non c'è una corrente, intesa come moto ordinato di cariche in un conduttore, vi sia una corrente di spostamento tra le sue armature uguale a quella che si genera nel conduttore a cui è collegato il condensatore stesso. Per tale ragione si può considerare un condensatore in corrente alternata come un componente circuitale all'interno del quale circola una corrente di conduzione.
Tra le armature di un condensatore non è presente una corrente, sia nel caso stazionario che in quello non stazionario. Non capisco perchè considerare le correnti di spostamento solo in quest'ultimo.
Non riesco a comprendere le tue perplessità. Proviamo a considerare la corrente di spostamento nel caso stazionario. Quanto vale? Soprattutto cos'è la corrente di spostamento e da dove deriva?
Ciao
"dknew":
Scusami hai mai visto lavorare un condensatore in corrente continua?
No...
Scusami ma sono un po' duro di comprendonio. Probabilmente sto affogando in un bicchier d'acqua.
Consideriamo il caso stazionario. Il teorema della ricuitazione di Ampere mi dice che $rotB=mu_0I$. Se lo consideriamo rispetto una superficie $Sigma_1$ di contorno $l$ e che concatena il filo conduttore, questo è verificato. Se, invece, lo consideriamo rispetto ad una superficie $Sigma_2$ sempre con contorno $l$ ma questa volta disposta tra le armature del condensatore, a me risulta non soddisfatto in quanto anche nel caso stazionario non c'è corrente tra le armature del condensatore. Esattamente quello che succede anche nel caso non stazionario. Perchè solo in quest'ultimo diventa un problema?
Per rispondere alla tua domanda, la corrente di spostamento non è altro che la variazione del campo elettrico tra le armature del condensatore che nel caso stazionario risulta pari a zero, in quanto il campo $E$ non varia.
Ciao e grazie.
.BRN
Scusami ma sono un po' duro di comprendonio. Probabilmente sto affogando in un bicchier d'acqua.
Non scusarti! Dobbiamo solo cercare di inquadrare il problema di fondo che ti crea la confusione.
Consideriamo il caso stazionario. Il teorema della ricuitazione di Ampere mi dice che $rotB=mu_0I$. Se lo consideriamo rispetto una superficie $Sigma_1$ di contorno $l$ e che concatena il filo conduttore, questo è verificato. Se, invece, lo consideriamo rispetto ad una superficie $Sigma_2$ sempre con contorno $l$ ma questa volta disposta tra le armature del condensatore, a me risulta non soddisfatto in quanto anche nel caso stazionario non c'è corrente tra le armature del condensatore. Esattamente quello che succede anche nel caso non stazionario. Perchè solo in quest'ultimo diventa un problema?
Tieni sempre presente che tu stai studiando un modello fisico-matematico che ti descrive la realtà!
Questa è una premessa che ci tengo sia ben chiara.
In realtà il discorso che fa il Mencuccini è un altro. Forse non l'hai afferrato oppure hai tralasciato qualche dettaglio importante durante lo studio.
Per rispondere alla tua domanda, la corrente di spostamento non è altro che la variazione del campo elettrico tra le armature del condensatore che nel caso stazionario risulta pari a zero, in quanto il campo $E$ non varia.
Può andare!
Torniamo alla questione del condensatore.
Caso stazionario o, meglio ancora, quasi stazionario perché le correnti presumono uno spostamento di cariche. Se fosse del tutto stazionario non si avrebbero correnti e nemmeno campi magnetici.
Per non portarla per le lunghe, ti invito a riguardati bene il Mencuccini, e spero di darti l'imbeccata giusta per sbloccarti.
Il Mencuccini ragiona più o meno così.
La seconda equazione di Maxwell, nel caso indipendente dal tempo, ci dice che il flusso del campo di induzione magnetica attraverso una superficie chiusa è zero, dunque il flusso del campo rispetto una superficie concatenata ad una curva chiusa è costante e non dipende dalla superficie. Questa è una considerazione da tenere a mente alla stregua del teorema di Ampere. Tra l'altro continua a valere nel caso non stazionario se la si considera istante per istante.
Prendiamo allora un circuito RC nel caso quasi-stazionario. Già qui dobbiamo capire che nei primi istanti il circuito non è in condizioni stazionarie perché il condensatore da scarico si caricherà..
Quando il condensatore sarà carico non ci sarà più corrente nel circuito, caso stazionario, ed applicando il teorema di equivalenza di Ampere, come suggerivi tu, non si hanno ambiguità. Non ci sono correnti concatenate per ogni scelta della superficie concatenata al circuito interno alle armature.
Quando si è nel caso non stazionario il problema realmente persiste perché nel circuito è localizzata una corrente, mentre tra le armature no.
Sei d'accordo fin qui?
Dov'è "l'inghippo"?
Non può essere nella seconda equazione di Maxwell perché quella è una legge che traduce un'evidenza sperimentale: la non esistenza dei monopoli magnetici. Bisogna aggiustare la quarta equazione quella da cui deriva il teorema di Ampere. Infatti, nella dimostrazione teorica della deduzione della quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario, se te la spulci bene, noterai che si ipotizza che la divergenza del vettore densità di corrente sia nulla. Cosa che non è vera nel caso non stazionario. Basta ricordarsi l'equazione di continuità.
Come possiamo correggerla?
Maxwell ci arrivò teoricamente introducendo il termine della corrente di spostamento, che altro non è che la corrente dovuta al fatto che anche la distribuzione di cariche localizzate può muoversi. Si può provare a fornire una specie di dimostrazione seguendo le linee guida della deduzione teorica, che il Mencuccini dà per il caso stazionario, e tenendo conto dell'equazione di continuità.
Chiaramente per il caso non stazionario il teorema di Ampere si modifica e dovrà tenere conto della somma delle correnti localizzate e delle correnti di spostamento.
Se adesso si va a riapplicare il teorema di Ampere non c'è più l'ambiguità della scelte della superficie concatenata al circuito. In quanto per una sarà presente il termine corrente concatenata di spostamento e non quella localizzata, per l'altra sarà viceversa. Inoltre il Mencuccini dimostra anche che questi termini sono equivalenti tra loro, come ti ricordavo nel precedente post.
Spero di essere stato abbastanza chiaro.
Ciao
"dknew":
Caso stazionario o, meglio ancora, quasi stazionario perché le correnti presumono uno spostamento di cariche. Se fosse del tutto stazionario non si avrebbero correnti e nemmeno campi magnetici.
Per non portarla per le lunghe, ti invito a riguardati bene il Mencuccini, e spero di darti l'imbeccata giusta per sbloccarti.
Puntualizzazione importante che di sicuro mi sta aiutando.
Mi sono riletto meglio alcune parti del Mencuccini e alcuni concetti non li avevo considerati nel modo giusto.
Dunque, il tutto gira intorno all'equazione di continuità. Dire $rotB=mu_0I$ rispetto ad una linea chiusa $l$ equivale a dire che $rotB$ è uguale al flusso del vettore densità di corrente $J$ attraverso una qualunque superficie $Sigma$ che abbia come contorno la linea $l$.
Detto questo, nel caso stazionario non ho corrente ne fuori ne dentro il condensatore e quindi vale $grad \cdotJ =0$ sia dentro le armature che fuori nel filo conduttore. Di consegueza applicare il teorema della circuitazione di Ampere sulla superficie $Sigma_1$ o su $Sigma_2$, mi fornisce lo stesso risultato.
Nel caso non stazionario, mi ritrovo con $grad \cdotJ =0$ tra le armature del condensatore e $grad \cdotJ =-(partial rho )/(partial t) $ fuori. Di conseguenza applicando il teorema di Ampere rispetto alla superficie $Sigma_1$ che concatena il filo, ottengo un flusso non nullo del vettore $J$ e se applicato rispetto a $Sigma_2$ tra le armature del condensatore, ottengo un flusso nullo di $J$ che contraddice quanto detto sopra ovvero che il flusso del vettore densità di corrente deve essere lo stesso indipendentemente da quale superficie si consederi avente la linea $l$ come contorno.
Difatti, come mi hai fatto notare, nel dimostrare la quarta eq. di Maxwell nel caso stazionario era stata imposta la condizione $grad \cdotJ =0$.
Sono stato impreciso?
Ciao.
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