Che cos'è il commutatore?
I commutatori tra generatori (\([A, B]=AB-BA\)) descrivono le algebre di Lie, indipendentemente dalla scelta di una rappresentazione. Ad esempio, prendiamo \(SO(3,1)\): si possono prendere \(6\) generatori \(J^1, J^2, J^3; K^1, K^2, K^3\) corrispondenti (nella rappresentazione 4-vettoriale) alle tre rotazioni spaziali e ai tre boost, e questi verificano le seguenti relazioni di commutazione:
\[[J^i, J^j]=i \varepsilon^{ijk}J^k,\ [J^i, K^j]=i \varepsilon^{ijk}K^k,\ [K^i, K^j]=-i\varepsilon^{ijk}J^k.\]
Si può dare un'idea intuitiva di queste relazioni qui? Che significa, ad esempio, la prima? Capisco che ci stia informando del fatto che le rotazioni spaziali generino una sottoalgebra di Lie, ma oltre a questo? Prendiamo per esempio \([J_x, J_y]=iJ_z\). Come la leggo questa roba qui?
Grazie!
\[[J^i, J^j]=i \varepsilon^{ijk}J^k,\ [J^i, K^j]=i \varepsilon^{ijk}K^k,\ [K^i, K^j]=-i\varepsilon^{ijk}J^k.\]
Si può dare un'idea intuitiva di queste relazioni qui? Che significa, ad esempio, la prima? Capisco che ci stia informando del fatto che le rotazioni spaziali generino una sottoalgebra di Lie, ma oltre a questo? Prendiamo per esempio \([J_x, J_y]=iJ_z\). Come la leggo questa roba qui?
Grazie!
Risposte
"dissonance":
\[[J^i, J^j]=i \varepsilon^{ijk}J^k,\ [J^i, K^j]=i \varepsilon^{ijk}K^k,\ [K^i, K^j]=-i\varepsilon^{ijk}J^k.\]
Si può dare un'idea intuitiva di queste relazioni qui? Che significa, ad esempio, la prima? Capisco che ci stia informando del fatto che le rotazioni spaziali generino una sottoalgebra di Lie, ma oltre a questo?
Beh, e ti sembra poco?
Intanto fisicamente vuol dire che puoi ancora parlare di momenti angolari anche nel contesto relativistico. Questione non da poco, se dai un'occhiata a come sono definite le particelle elementari.
Prendiamo per esempio \([J_x, J_y]=iJ_z\). Come la leggo questa roba qui?
Ti riferisci al caso generale in MQ (cioe' senza considerare il resto delle relazioni con i boost etc.)?
Tipo per esempio come costruire i multipletti, oppure chiedi qualcosa di piu' generale?
Non ho capito bene quale e' il tuo dubbio: puoi essere piu' specifico?
Mh, già questa risposta mi dà parecchie informazioni e ti ringrazio. In effetti il problema è che conosco ancora troppo poca teoria per poter mettere a punto una domanda di senso compiuto su questo argomento. Meglio riparlarne più avanti, adesso finirei per fare solo confusione e non capirci molto.
non esiste la relatività..!! fidatevi è anni che ci smelono sopra..
In merito ai commutatori cominciando a studiare MQ ho notato una certa somiglianza fra le loro proprietà e quelle delle parentesi di Poisson 
"5mrkv":
In merito ai commutatori cominciando a studiare MQ ho notato una certa somiglianza fra le loro proprietà e quelle delle parentesi di Poisson
Scoprirai che questa osservazione ha delle conseguenze molto profonde...
Io in realtà stavo pensando che la giustissima osservazione di 5mrkv andrebbe in realtà letta al contrario. Cioè, non è che il commutatore assomiglia alle parentesi di Poisson: sono le parentesi di Poisson che somigliano al commutatore, perché quest'ultimo si riduce ad esse per \(\hbar \to 0\).
Ora, se capisco bene, tutta la meccanica classica sta nelle parentesi di Poisson e tutta la MQ sta nel commutatore. Infatti le prime determinano completamente la struttura dello spazio delle configurazioni di un sistema classico e il secondo determina completamente le osservabili fondamentali di un sistema quantistico. Ed ecco perché la meccanica classica funziona: è un caso limite della meccanica quantistica, che è "più vera", nel senso che ha un range di applicabilità più grande.
Vabbè, immagino siano ovvietà, ma mi è piaciuto dirle così se dovessero essere riflessioni errate me ne potrò accorgere.
Ora, se capisco bene, tutta la meccanica classica sta nelle parentesi di Poisson e tutta la MQ sta nel commutatore. Infatti le prime determinano completamente la struttura dello spazio delle configurazioni di un sistema classico e il secondo determina completamente le osservabili fondamentali di un sistema quantistico. Ed ecco perché la meccanica classica funziona: è un caso limite della meccanica quantistica, che è "più vera", nel senso che ha un range di applicabilità più grande.
Vabbè, immagino siano ovvietà, ma mi è piaciuto dirle così se dovessero essere riflessioni errate me ne potrò accorgere.
Ma è una cosa da Cohen o Gasiorowicz oppure è esplicitata in testi più impegnativi?
No, no, è solo una cosa che mi sono pensato da solo, potenzialmente anche del tutto errata!!! Non lo so, per questo l'ho scritta qui: così casomai è una cavolata qualcuno me lo potrebbe fare notare. [size=85]Comunque io conosco solo un libro di MQ ed è il Sakurai (oltre alla roba per matematici). Non ho idea di chi siano questi autori di cui parli tu... 
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Non lo so, per questo l'ho scritta qui: così casomai è una cavolata qualcuno me lo potrebbe fare notare. [size=85]Comunque io conosco solo un libro di MQ ed è il Sakurai (oltre alla roba per matematici). Non ho idea di chi siano questi autori di cui parli tu... [/size]
"5mrkv":
Ma è una cosa da Cohen o Gasiorowicz oppure è esplicitata in testi più impegnativi?
Il primo ad aver affrontato questo argomento in modo rigoroso e formale è stato P.A.M. Dirac in I princìpi della meccanica quantistica. Nel primo paragrafo del capitolo che interessa, l'autore introduce le parentesi di Poisson quantistiche mettendole in relazione con i commutatori. Quindi assume che, almeno per le variabili dinamiche più elementari, posizione e impulso in particolare, non ci sono motivi di principio per non prendere le parentesi di Poisson quantistiche uguali alle parentesi di Poisson classiche. In ogni modo, tutto ciò che si può trovare in altri testi di riferimento non è minimamente paragonabile alle considerazioni rigorose e formali che puoi trovare in questa opera. Ti invito a leggerla, provare per credere.
Sono ancora agli inizi. Ho cominciato a studiare la parte principale del Cohen (senza complementi) per farmi una idea della materia. Adesso ho dovuto dare altri esami quindi sono un po' indietro. Il Gasioz è il testo usato dal prof e fra un paio di giorni inizierò a studiare da li.
Intanto colgo l'occasione per salutare tutti che è un sacco di tempo che non ci troviamo tutti sullo stesso thread! Quindi....ciao! 
@5mrkv:
se posso permettermi di fare il guastafeste...lascia perdere il Gasiorowicz!! E' troppo conciso, poco chiaro nelle spiegazioni e ha pochissimi esempi. Se cerchi qualcosa "da primo studio" ho scoperto di recente il Griffiths - Introduction to Quantum Mechanics e te lo consiglio caldamente.
[OT]
Mi diresti dove studi?
[/OT]
@dissonance:
Tieni presente che la tua affermazione continua ad essere vera anche se prendi una qualunque teoria di campo (classica) e la quantizzi. Anzi, per la come la vedo io (anche se il post di speculor mi ha fatto venire qualche dubbio e mi andrò a documentare sul Dirac...) quando uno vuole quantizzare una teoria classica quello che fa è proprio "promuovere" le parentesi di Poisson classiche a commutatori tra operatori che agiscono su un certo spazio di Hilbert.
@5mrkv:
se posso permettermi di fare il guastafeste...lascia perdere il Gasiorowicz!! E' troppo conciso, poco chiaro nelle spiegazioni e ha pochissimi esempi. Se cerchi qualcosa "da primo studio" ho scoperto di recente il Griffiths - Introduction to Quantum Mechanics e te lo consiglio caldamente.
[OT]
Mi diresti dove studi?
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@dissonance:
Tieni presente che la tua affermazione continua ad essere vera anche se prendi una qualunque teoria di campo (classica) e la quantizzi. Anzi, per la come la vedo io (anche se il post di speculor mi ha fatto venire qualche dubbio e mi andrò a documentare sul Dirac...) quando uno vuole quantizzare una teoria classica quello che fa è proprio "promuovere" le parentesi di Poisson classiche a commutatori tra operatori che agiscono su un certo spazio di Hilbert.
Bologna.
"alle.fabbri":
...anche se il post di speculor mi ha fatto venire qualche dubbio e mi andrò a documentare sul Dirac...
Ciao. Per la precisione, il capitolo di cui parlo si riferisce alla prima quantizzazione.
Ma com'è il Sakurai in confronto ai libri precedentemente citati?
Se pensi di indirizzarti verso il teorico il Sakurai é il meglio su piazza, a mio avviso.
"alle.fabbri":
Se pensi di indirizzarti verso il teorico il Sakurai é il meglio su piazza, a mio avviso.
Pero' il Dirac anche secondo me e' imprescindibile.
A parte che lo ho sempre trovato molto bello da leggere, ma credo che guidi il lettore in mezzo alle idee della MQ meglio degli altri libri.
Il Sakurai e' un libro molto utile, pero': in un certo senso mi e' sempre sembrato complementare al Dirac, quando magari uno ha bisogno di un po' piu' di concretezza.
Alla fine se mi guardo indietro (beh, anche intorno
) vedo diversi libri di MQ: meglio avere piu' "interlocutori" in questo campo 
@yoshiharu:
Devo confessarti di non averlo mai letto per bene, ma solo sfogliato. Ora me lo leggerò seriamente. Grazie del suggerimento
Concordo del tutto.
"yoshiharu":
Pero' il Dirac anche secondo me e' imprescindibile.
Devo confessarti di non averlo mai letto per bene, ma solo sfogliato. Ora me lo leggerò seriamente. Grazie del suggerimento
"yoshiharu":
Alla fine se mi guardo indietro (beh, anche intorno
Concordo del tutto.
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