Centro sistema vettori

[marcoianna]

Buona sera, mi è sorto questo dubbio:
se ho un sistema di vettori applicati non per forza paralleli tra loro (ergo non multipli) come potrò individuare il centro del sistema?

ho ragionato in questo modo: immaginando un sistema di forze applicate a un corpo rigido.
Esiste un punto (non necessariamente interno al corpo) in cui la risultante non da' momento (ovvero, se applichi la risultante dei tre vettori in quel punto, il corpo rigido trasla senza ruotare).

Quindi prescindendo dalle particolari dimensioni dei vettori (paralleli o non) :
la somma dei momenti rispetto all'origine dei tre vettori è uguale al momento del vettore risultante applicato nel centro C :

$(A_1-O)xxveca_1 + (A_2-O)xxveca_2 + (A_3-O)xxveca_3 = (C-O) xxvecR $




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ed ecco un bellissimo esempio numerico: (esercizio con vettori si paralleli ma affrontato in maniera generica)
$ A(1,0,0) $ $ B(0,1,0) $ $ C( 0,0,1) $
\( \overrightarrow{v}(a) (6,4,-10) \) \( \overrightarrow{v}(b) (-3,-2,5) \) \( \overrightarrow{v}(c) (12,8,-20) \)




calcolo la risultante banalmente ottengo \( \overrightarrow{R} : (15,10,-25) \)
mentre per il momento ottengo \( \overrightarrow{M} : (-1,19,7) \)





ora volendo utilizzare la formula di cui sopra $(A_1-O)xxveca_1 + (A_2-O)xxveca_2 + (A_3-O)xxveca_3 = (C-O) xxvecR $

Ottengo \( \ (-1,19,7)=(C-O)\times \overrightarrow{R} \ \)
e dunque \( (-1,19,7)=(x,y,z)\times (15,10,-25) \)



sviluppo la matrice \( \begin{bmatrix} i & j & k \\ x & y & z \\ 15 & 10 & -25 \end{bmatrix} \) ottenendo : \( (-25y-10z,15z+25x,10x-15y) \)

ottengo quindi le tre equazioni \( \begin{cases} -25y-10z=-1 \\ 15z+25x=19 \\ 10x-15y=7\end{cases} \)


Risolvendo tali equazioni dovrei pervenire a un risultato.... che però non è lo stesso che ottengo con \( \lambda \) [definizione canonica di centro di sistema di vettori paralleli]





Ringrazio chiunque voglia aiutarmi!

[marcoianna]

tale soluzione è differente da quella che otterrei utilizzando tale metodo

[Studente Anonimo]

"marcoianna":
... se applichi la risultante dei tre vettori in quel punto, il corpo rigido trasla senza ruotare ...

Intanto, questo non è vero. Il punto di cui parli non può essere un punto qualsiasi. Piuttosto, deve necessariamente essere il centro di massa del corpo rigido in esame.

[marcoianna]

"anonymous_0b37e9":[quote="marcoianna"]
... se applichi la risultante dei tre vettori in quel punto, il corpo rigido trasla senza ruotare ...

Intanto, questo non è vero. Il punto di cui parli non può essere un punto qualsiasi. Piuttosto, deve necessariamente essere il centro di massa del corpo rigido in esame.[/quote]


Giustissimo, ma se applico la risultante in quel punto il corpo trasla ma non ruota. Devo essermi espresso male.
Per il resto? sapresti aiutarmi?

[Studente Anonimo]

"marcoianna":
... ma se applico la risultante in quel punto il corpo trasla ma non ruota.

Non si comprende di quale punto stai parlando. Sei sicuro di aver compreso il mio messaggio precedente?

P.S.
Tra l'altro, avrei dovuto scrivere un qualsiasi punto della retta sulla quale giace la risultante passante per il centro di massa.

[marcoianna]

"anonymous_0b37e9":[quote="marcoianna"]
... ma se applico la risultante in quel punto il corpo trasla ma non ruota.

Non si comprende di quale punto stai parlando. Sei sicuro di aver compreso il mio messaggio precedente?

P.S.
Tra l'altro, avrei dovuto scrivere un qualsiasi punto della retta sulla quale giace la risultante passante per il centro di massa.[/quote]



hai ragione. Voleva essere un esempio, ma è stato mal posto.

Sapresti aiutarmi con l'esercizio?

[Studente Anonimo]

La tua soluzione particolare si ottiene da quella generale sostituendo $[r_1=2/5]$.

[marcoianna]

Come ho fatto a non pensarci! Ti ringrazio!