Centro di massa su una sbarra rigida
Ciao a tutti sto provando ad eseguire quest'esercizio, e se è possibile vorrei qualche consiglio per sapere se ho sbagliato o meno......
La sbarra ha densita $lambda=2000 (g)/m = 2 (Kg)/m$ , reca in $A$ una massa puntiforme $m=1.5 Kg$ ed è vincolata in $B$ da un tirante, e nel suo punto $C$ da una cerniera.
$AB=BC,AC=2m$ Determinare:
$a)$ la posizione del centro di massa del sistema meccanico sbarra+massa puntiforme,nel rifermimento cartesiano in figura
$b)$ la reazione del tirante $T$ in termini delle sue componenti scalari, facendo rifermiento al sistema di assi cartesiani riportati in figura.
Ho risposto alla domanda $a$ ragionando che avrei dovuto trovarmi il centro di massa totle sommando la massa della sbarra più quella della massa puntiforme e ho fatto cosi:
$M_(AC)=lambda*Sup=2 (Kg)/m * 2m= 4 Kg$ quindi la massa totale sarà $M_(TOT)=M_(AC)+m=3,5Kg$
Poi vedendo dalla figura che la sbarra ha centro $Y_(C.M.)=0$ quindi esso si trovera solo su $X$ allora
$X_(C.M.)=(M_(TOT)*OB)/M_(TOT)=(M_(TOT)*(cos (pi/6)*BC))/M_(TOT)=0.86m$
Secondo voi è corretto?Il raggionamento che ho fatto va bene?
Grazie mille in anticipo
La sbarra ha densita $lambda=2000 (g)/m = 2 (Kg)/m$ , reca in $A$ una massa puntiforme $m=1.5 Kg$ ed è vincolata in $B$ da un tirante, e nel suo punto $C$ da una cerniera.
$AB=BC,AC=2m$ Determinare:
$a)$ la posizione del centro di massa del sistema meccanico sbarra+massa puntiforme,nel rifermimento cartesiano in figura
$b)$ la reazione del tirante $T$ in termini delle sue componenti scalari, facendo rifermiento al sistema di assi cartesiani riportati in figura.
Ho risposto alla domanda $a$ ragionando che avrei dovuto trovarmi il centro di massa totle sommando la massa della sbarra più quella della massa puntiforme e ho fatto cosi:
$M_(AC)=lambda*Sup=2 (Kg)/m * 2m= 4 Kg$ quindi la massa totale sarà $M_(TOT)=M_(AC)+m=3,5Kg$
Poi vedendo dalla figura che la sbarra ha centro $Y_(C.M.)=0$ quindi esso si trovera solo su $X$ allora
$X_(C.M.)=(M_(TOT)*OB)/M_(TOT)=(M_(TOT)*(cos (pi/6)*BC))/M_(TOT)=0.86m$
Secondo voi è corretto?Il raggionamento che ho fatto va bene?
Grazie mille in anticipo
Risposte
"Frankie8":
Ciao a tutti sto provando ad eseguire quest'esercizio, e se è possibile vorrei qualche consiglio per sapere se ho sbagliato o meno......
..............
$M_(AC)=lambda*Sup=2 (Kg)/m * 2m= 4 Kg$ quindi la massa totale sarà $M_(TOT)=M_(AC)+m=3,5Kg$
La massa totale va bene....
Poi vedendo dalla figura che la sbarra ha centro $Y_(C.M.)=0$ quindi esso si trovera solo su $X$ allora
$X_(C.M.)=(M_(TOT)*OB)/M_(TOT)=(M_(TOT)*(cos (pi/6)*BC))/M_(TOT)=0.86m$
Secondo voi è corretto?Il raggionamento che ho fatto va bene?
Grazie mille in anticipo
....ma questo no. Secondo quello che hai scritto, il cdm "di tutto il sistema" si trova in $B$, basta semplificare $M_(TOT)$ al numeratore e denominatore.....ma non è così. In B c'è il cdm della sola sbarra. E la massa aggiunta?
Grazie per avermi risposto 
cmq torniamo a noi ,come dici tu allora dovrei trovarmi la distanza da $A$ al centro per poi moltiplicarla per $m$ ,se conduco una perpendicolare ad $A$ ottengo il triangolo $AKB$
Quindi $AO=OB+BK=(cos( pi/6)*BC)+(cos 50°*AB)=1.50m$
Allora il centro di massa sarà
$X_(CM)=(M_(Ac)(OB)+m(AO))/M_(TOT)=1.63m$
E' giusto così?
cmq torniamo a noi ,come dici tu allora dovrei trovarmi la distanza da $A$ al centro per poi moltiplicarla per $m$ ,se conduco una perpendicolare ad $A$ ottengo il triangolo $AKB$Quindi $AO=OB+BK=(cos( pi/6)*BC)+(cos 50°*AB)=1.50m$
Allora il centro di massa sarà
$X_(CM)=(M_(Ac)(OB)+m(AO))/M_(TOT)=1.63m$
E' giusto così?
Scusa, ma gli angoli opposti al vertice in $B$ non valgono $50º$ ? Che c'entra l'angolo che il tirante forma con l'asse $x$, nel calcolo di $OB$ e $OK$ ? Niente.
Hai detto che $AB = BC = 1m$, giusto ? E quindi : $OB = 1*cos50º = 0.6428 m $ , $ OK = 2*OB = 1.2856 m$.
Queste sono le ascisse dei punti $B$ e $A$, che devi utilizzare per calcolare l'ascissa del cdm del sistema.
E poi devi calcolare anche l'ordinata del sistema, con formula analoga, tenendo presente che $y_B = 0$.
Hai detto che $AB = BC = 1m$, giusto ? E quindi : $OB = 1*cos50º = 0.6428 m $ , $ OK = 2*OB = 1.2856 m$.
Queste sono le ascisse dei punti $B$ e $A$, che devi utilizzare per calcolare l'ascissa del cdm del sistema.
E poi devi calcolare anche l'ordinata del sistema, con formula analoga, tenendo presente che $y_B = 0$.
Hai ragione scusami mi sono confuso, cmq poi ho eseguito lo stesso calcolo anche per $Y_(CM)=(m*AK)/M_(TOT)$ e in fine le coordinate del cmd mi vendono $(1.28 , 0.32)$
Per il secondo punto invece ho eseguito il momento meccanico rispetto al centro degli assi e scelto una rotazione oraria intorno a $z$ e mi viene cosi:
$T_X=T*sen((pi)/3)$
$T_y=T*cos ((pi)/3)$
${ ( -T_x+V_(Xc)=0 ),(-m*g+V_(Yc)-M_(AC)*g+T_y=0 ),( -V_(Xc)*OC+M_(AC)*g*OB-T_y*OB+m*g*OK=0 ):}$
Dovrebbe essere esatto no? Poi ho un dubbio sulla cerniera interna $C$ poichè è interna le sue reazioni sono interne quindi si devono considerare lo stesso visto che si considerano solo le reazioni esterne?
Per il secondo punto invece ho eseguito il momento meccanico rispetto al centro degli assi e scelto una rotazione oraria intorno a $z$ e mi viene cosi:
$T_X=T*sen((pi)/3)$
$T_y=T*cos ((pi)/3)$
${ ( -T_x+V_(Xc)=0 ),(-m*g+V_(Yc)-M_(AC)*g+T_y=0 ),( -V_(Xc)*OC+M_(AC)*g*OB-T_y*OB+m*g*OK=0 ):}$
Dovrebbe essere esatto no? Poi ho un dubbio sulla cerniera interna $C$ poichè è interna le sue reazioni sono interne quindi si devono considerare lo stesso visto che si considerano solo le reazioni esterne?
Innanzitutto, ho sbagliato anch'io a dirti nella prima risposta che la massa andava bene. Ho guardato troppo in fretta.
La massa totale vale $M_T = 4 + 1.5 = 5.5 kg$ , non$ 3.5kg $.
Chiarito questo, le coordinate del cdm sono sbagliate. Come fa l'ascissa del cdm a venirti uguale all'ascissa del punto A ?
Deve essere : $ x_(CM) = ( 4*0.6428 + 1.5*1.2856)/5.5 = 0.818 m $
E inoltre : $ y_(CM) = (1.5*AK)/5.5 = 0.209 m $
Le equazioni di equilibrio che hai scritto sono corrette, ma in genere si cerca di semplificare, se possibile, l'equazione dell'equilibrio alla rotazione assumendo un polo "conveniente" . Io avrei preso come polo dei momenti proprio la cerniera C, sicché nella terza equazione avrei solo $T_x$ e $T_y$ , quindi solo $T$ (attenzione: le sue componenti sono :
$T_x = T cos(\pi/3)$ e $T_y = T sen(\pi/3) $. Hai scambiato seno e coseno).
Non capisco la tua perplessità sulla reazione della cerniera: non vedi che l'hai già considerata, nelle equazioni di equilibrio? Certo che la devi considerare! Se fai il diagramma di corpo libero del sistema, ci metti o no la reazione incognita della cerniera?
La massa totale vale $M_T = 4 + 1.5 = 5.5 kg$ , non$ 3.5kg $.
Chiarito questo, le coordinate del cdm sono sbagliate. Come fa l'ascissa del cdm a venirti uguale all'ascissa del punto A ?
Deve essere : $ x_(CM) = ( 4*0.6428 + 1.5*1.2856)/5.5 = 0.818 m $
E inoltre : $ y_(CM) = (1.5*AK)/5.5 = 0.209 m $
Le equazioni di equilibrio che hai scritto sono corrette, ma in genere si cerca di semplificare, se possibile, l'equazione dell'equilibrio alla rotazione assumendo un polo "conveniente" . Io avrei preso come polo dei momenti proprio la cerniera C, sicché nella terza equazione avrei solo $T_x$ e $T_y$ , quindi solo $T$ (attenzione: le sue componenti sono :
$T_x = T cos(\pi/3)$ e $T_y = T sen(\pi/3) $. Hai scambiato seno e coseno).
Non capisco la tua perplessità sulla reazione della cerniera: non vedi che l'hai già considerata, nelle equazioni di equilibrio? Certo che la devi considerare! Se fai il diagramma di corpo libero del sistema, ci metti o no la reazione incognita della cerniera?
Cavolo quanti errori di calcolo che faccio ancora 
cmq non ho fatto il momento su $C$ per semplificarmi il prodotto vettoriale, però facendo cosi semplifico molti più calcoli....Ti ringrazio mille per essermi venuto in contro e avermi dato una bella drittà 
cmq non ho fatto il momento su $C$ per semplificarmi il prodotto vettoriale, però facendo cosi semplifico molti più calcoli....Ti ringrazio mille per essermi venuto in contro e avermi dato una bella drittà
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