Centro di massa procedimento inverso
Ciao Ragazzi,
sono nuovo e ho MOLTO bisogno della vostra saggezza.
Facendo riferimento all'immagine che vi allego
Io conosco la massa applicata nel baricentro e anche la distanza dagli assi di riferimento (Xg ed Yg) e ho la necessità di definire i valori delle masse A1,B1,A2 e B2.
Io ho già le formule per il calcolo che ora vi espongo:
$ B2=mCOG*(D-Xg)/D*((B/2)+Yg)/B $
$ A2=mCOG*(A-Xg)/A*((B/2)-Yg)/B $
$ B1=mCOG* (Xg)/D*((C/2)+Yg)/C $
$ A1=mCOG* (Xg)/A*((C/2)-Yg)/C $
Io so che queste formule sono giuste, ma vorrei capire l'equilibrio delle forze che ci sta dietro per arrivare alla determinazione di questi output, in modo da poterlo poi applicare ad altri casi con "n" masse.
Al momento ho impostato un sistema con tre equazioni ma avendo quattro incognite presumo me ne manchi una (e non sono nemmeno certo che sia la strada corretta), vi espongo il sistema che ho impostato per ora:
$ mCOG = A1+A2+B1+B2 $ (somma delle masse uguale alla massa nel baricentro)
$ mCOG*Xg = B1*D+A1*A $ (equilibrio momenti rispetto a y)
$ mCOG*Yg = B2*B/2+B1*C/2-A2*B/2-A1*C/2 $ (equilibrio momenti rispetto a x).
Potreste aiutarmi a definire il sistema e a capire come si arriva alle prime equazioni che vi ho segnalato?
Mi aiutereste infinitamente.
Vi ringrazio tutti in anticipo
sono nuovo e ho MOLTO bisogno della vostra saggezza.
Facendo riferimento all'immagine che vi allego
Io conosco la massa applicata nel baricentro e anche la distanza dagli assi di riferimento (Xg ed Yg) e ho la necessità di definire i valori delle masse A1,B1,A2 e B2.
Io ho già le formule per il calcolo che ora vi espongo:
$ B2=mCOG*(D-Xg)/D*((B/2)+Yg)/B $
$ A2=mCOG*(A-Xg)/A*((B/2)-Yg)/B $
$ B1=mCOG* (Xg)/D*((C/2)+Yg)/C $
$ A1=mCOG* (Xg)/A*((C/2)-Yg)/C $
Io so che queste formule sono giuste, ma vorrei capire l'equilibrio delle forze che ci sta dietro per arrivare alla determinazione di questi output, in modo da poterlo poi applicare ad altri casi con "n" masse.
Al momento ho impostato un sistema con tre equazioni ma avendo quattro incognite presumo me ne manchi una (e non sono nemmeno certo che sia la strada corretta), vi espongo il sistema che ho impostato per ora:
$ mCOG = A1+A2+B1+B2 $ (somma delle masse uguale alla massa nel baricentro)
$ mCOG*Xg = B1*D+A1*A $ (equilibrio momenti rispetto a y)
$ mCOG*Yg = B2*B/2+B1*C/2-A2*B/2-A1*C/2 $ (equilibrio momenti rispetto a x).
Potreste aiutarmi a definire il sistema e a capire come si arriva alle prime equazioni che vi ho segnalato?
Mi aiutereste infinitamente.
Vi ringrazio tutti in anticipo
Risposte
Di questi esercizi non sono molto pratico, ma secondo me nelle 4 formule c'e' qualcosa che non va.
Nel caso in cui il baricentro e' in $((A+D)/2, 0)$, le 4 masse dovrebbero essere $A1=B1=1/2 "mCOG" $ e $A2=B2 = 0$, se non erro, ma dalle formule non risulta cosi'.
Nel caso in cui il baricentro e' in $((A+D)/2, 0)$, le 4 masse dovrebbero essere $A1=B1=1/2 "mCOG" $ e $A2=B2 = 0$, se non erro, ma dalle formule non risulta cosi'.
Ciao Quinzio,
intanto ti ringrazio per la risposta ma la posizione del baricentro che prendi come base non è corretta, ho messo l'immagine proprio per renderlo chiaro
Il baricentro ha le sue coordinate $ (Xg;Yg) $
Le 4 formule da quello che ho potuto constatare sono corrette. Le ho estratte da un foglio di calcolo utilizzato con successo in precedenza, ho trovato inoltre corrispondenza in un articolo che parla della distribuzione dei pesi nei pneumatici delle automobili.
Io volevo estendere il ragionamento di base anche a figure irregolari e magari con più di 4 punti.
Grazie a chiunque possa aiutarmi
intanto ti ringrazio per la risposta ma la posizione del baricentro che prendi come base non è corretta, ho messo l'immagine proprio per renderlo chiaro
Il baricentro ha le sue coordinate $ (Xg;Yg) $
Le 4 formule da quello che ho potuto constatare sono corrette. Le ho estratte da un foglio di calcolo utilizzato con successo in precedenza, ho trovato inoltre corrispondenza in un articolo che parla della distribuzione dei pesi nei pneumatici delle automobili.
Io volevo estendere il ragionamento di base anche a figure irregolari e magari con più di 4 punti.
Grazie a chiunque possa aiutarmi
Non capisco come sia risolvibile il sistema. Hai un'incognita di troppo, dal momento che puoi scrivere 3 equazioni, ma le masse sono 4. Quindi una massa la devi assegnare tu arbitrariamente.
Ciao Testa-di-Missile, le 4 formule per trovare A1, A2, B1, B2 non sono esatte. Almeno non tutte.
"professorkappa":
Non capisco come sia risolvibile il sistema. Hai un'incognita di troppo, dal momento che puoi scrivere 3 equazioni, ma le masse sono 4. Quindi una massa la devi assegnare tu arbitrariamente.
Infatti il sistema ha un grado di liberta'.
Buon pomeriggio signori, grazie per il vostro contributo.
@Quinzio: è mia opinione (correggimi per favore se sbaglio) che le 4 formule sarebbero giuste nel caso la figura fosse un rettangolo, quindi con A=D e B=C. Sei d'accordo?
@Professorkappa: immaginavo fosse così, e il tuo contributo mi da conferma. Pensavo di essere io a perdermi qualcosa.
Allargo quindi la domanda, dimenticandoci delle 4 equazioni che prendevo per buone,
C'è un modo di fare questo procedimento a ritroso?
Ovvero conoscendo:
- Massa globale (somma delle masse);
- Coordinate centro di massa;
- Coordinate delle masse.
Ricavare i valori delle singole masse? - Partendo da 4 masse in poi (ho verificato che con tre masse le tre equazioni che ho scritto mi portano al risultato con successo).
Grazie ragazzi !!!
@Quinzio: è mia opinione (correggimi per favore se sbaglio) che le 4 formule sarebbero giuste nel caso la figura fosse un rettangolo, quindi con A=D e B=C. Sei d'accordo?
@Professorkappa: immaginavo fosse così, e il tuo contributo mi da conferma. Pensavo di essere io a perdermi qualcosa.
Allargo quindi la domanda, dimenticandoci delle 4 equazioni che prendevo per buone,
C'è un modo di fare questo procedimento a ritroso?
Ovvero conoscendo:
- Massa globale (somma delle masse);
- Coordinate centro di massa;
- Coordinate delle masse.
Ricavare i valori delle singole masse? - Partendo da 4 masse in poi (ho verificato che con tre masse le tre equazioni che ho scritto mi portano al risultato con successo).
Grazie ragazzi !!!
No, ti serve un'altra equazione: il rapporto tra 2 masse qualsiasi, per esempio; oppure una massa deve essere nota
"testadimissile":
Ovvero conoscendo:
- Massa globale (somma delle masse);
- Coordinate centro di massa;
- Coordinate delle masse.
Ricavare i valori delle singole masse? - Partendo da 4 masse in poi (ho verificato che con tre masse le tre equazioni che ho scritto mi portano al risultato con successo).
Grazie ragazzi !!!
Ma esattamente di cosa hai bisogno ?
Di una soluzione scritta tipo esercizio scolastico, o vuoi un procedimento numerico da usare in un software, ad es. un videogioco o un controllore ?
Ciao a tutti,
Buongiorno Quinzio,
allora il mio fine è quello di calcolare la forza agente su un qualsiasi accessorio per il sollevamento (fune,cavo metallico, catena che sia) a seconda di quanti punti utilizzo per sollevare un determinato oggetto.
L'oggetto, nel mio caso, ha una massa nota e il centro di massa noto, decidendo quindi i punti di sollevamento, utilizzando i ragionamenti di cui stiamo parlando, dovrei/vorrei ricavare le masse (che poi nel mio caso sarebbero forze, ma è uguale) associate ai punti di sollevamento.
Non so se mi sono spiegato bene, ma spero di si.
Attendendo una vostra risposta, buona giornata a tutti.
Buongiorno Quinzio,
allora il mio fine è quello di calcolare la forza agente su un qualsiasi accessorio per il sollevamento (fune,cavo metallico, catena che sia) a seconda di quanti punti utilizzo per sollevare un determinato oggetto.
L'oggetto, nel mio caso, ha una massa nota e il centro di massa noto, decidendo quindi i punti di sollevamento, utilizzando i ragionamenti di cui stiamo parlando, dovrei/vorrei ricavare le masse (che poi nel mio caso sarebbero forze, ma è uguale) associate ai punti di sollevamento.
Non so se mi sono spiegato bene, ma spero di si.
Attendendo una vostra risposta, buona giornata a tutti.
In prima battuta, avevo elaborato una procedura numerica, che pero' e' abbastanza fastidiosa e macchinosa.
Invece c'e' un'alternativa che e' piu' simpatica perche' si usa all'inizio un metodo grafico e quindi molto intuitivo, e poi la soluzione finale e' numerica.
Volendo anche la parte grafica puo' essere svolta da un algoritmo, in modo da poter essere svolta su un computer ed essere precisa.
Allora la procedura e' cosi':
1° parte grafica:
a)
Si traccia una delle due diagonali del quadrilatero. Si ottengono cosi' due triangoli.
Si guarda in quale dei due triangoli cade il baricentro. Si segnano i vertici di questo triangolo.
Il vertice escluso ha massa zero. Si calcolano le masse dei 3 vertici del triangolo.
Il sistema e' determinato (3 eq. 3 incognite) quindi ammette 1 e 1 sola soluzione.
b)
Si ripete il procedimento usando l'altra diagonale.
2° parte numerica:
la soluzione finale e' una combinazione lineare (normalizzata) delle due soluzioni parziali trovate prima.
Ovvero, immaginiamo che le soluzioni trovate siano:
$$s_1 = (0, A2, B1, B2)$$
e
$$s_2 = (A1', 0, B1', B2')$$
allora la soluzione finale e'
$$s = k\ s_1 + (1-k)s_2$$
$k\in[0,1]$
$k$ e' un numero arbitrario da 0 a 1. Rappresenta il grado di liberta' del sistema.
Volendo si puo' estendere la procedura usando un pentangono, o un poligono di n lati a piacere.
Invece c'e' un'alternativa che e' piu' simpatica perche' si usa all'inizio un metodo grafico e quindi molto intuitivo, e poi la soluzione finale e' numerica.
Volendo anche la parte grafica puo' essere svolta da un algoritmo, in modo da poter essere svolta su un computer ed essere precisa.
Allora la procedura e' cosi':
1° parte grafica:
a)
Si traccia una delle due diagonali del quadrilatero. Si ottengono cosi' due triangoli.
Si guarda in quale dei due triangoli cade il baricentro. Si segnano i vertici di questo triangolo.
Il vertice escluso ha massa zero. Si calcolano le masse dei 3 vertici del triangolo.
Il sistema e' determinato (3 eq. 3 incognite) quindi ammette 1 e 1 sola soluzione.
b)
Si ripete il procedimento usando l'altra diagonale.
2° parte numerica:
la soluzione finale e' una combinazione lineare (normalizzata) delle due soluzioni parziali trovate prima.
Ovvero, immaginiamo che le soluzioni trovate siano:
$$s_1 = (0, A2, B1, B2)$$
e
$$s_2 = (A1', 0, B1', B2')$$
allora la soluzione finale e'
$$s = k\ s_1 + (1-k)s_2$$
$k\in[0,1]$
$k$ e' un numero arbitrario da 0 a 1. Rappresenta il grado di liberta' del sistema.
Volendo si puo' estendere la procedura usando un pentangono, o un poligono di n lati a piacere.
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