Centro di massa, liquidi e dannati serbatoi
Salve a tutti.
Sto studiando sul noto libro di fisica generale Fisica 1 di Resnick, Halliday e Krane. Mi sono imbattuto in un problema che nonostante gli sforzi non riesco a risolvere, precisamente il problema 5 del capitolo 7, pagina 163, ed. V. Posterò quello che ho dedotto fin'ora. Ecco il testo:
"Un serbatoio cilindrico è inizialmente riempito di un liquido (es.: gasolio), il quale viene fatto uscire un po' alla volta da un rubinetto alla base del contenitore. Si determini l'altezza del liquido nell'istante in cui il centro di massa tra serbatoio e liquido è alla minima altezza. I parametri da utilizzare sono M, la massa del serbatoio, m, la massa totale del liquido a serbatoio pieno, e h, l'altezza del serbatoio."
Innanzitutto, il problema stesso ha imposto che la discussione avvenga in senso unidimensionale, cioè il centro di massa, benché vari, rimanga sempre sull'asse del cilindro formato dal serbatoio, quindi basterà assumere l'asse x sull'asse del cilindro e porre, diciamo, lo zero al fondo del serbatoio e il verso positivo verso la cima, come in figura.
Alcune osservazioni che ho fatto:
Sto studiando sul noto libro di fisica generale Fisica 1 di Resnick, Halliday e Krane. Mi sono imbattuto in un problema che nonostante gli sforzi non riesco a risolvere, precisamente il problema 5 del capitolo 7, pagina 163, ed. V. Posterò quello che ho dedotto fin'ora. Ecco il testo:
"Un serbatoio cilindrico è inizialmente riempito di un liquido (es.: gasolio), il quale viene fatto uscire un po' alla volta da un rubinetto alla base del contenitore. Si determini l'altezza del liquido nell'istante in cui il centro di massa tra serbatoio e liquido è alla minima altezza. I parametri da utilizzare sono M, la massa del serbatoio, m, la massa totale del liquido a serbatoio pieno, e h, l'altezza del serbatoio."
Innanzitutto, il problema stesso ha imposto che la discussione avvenga in senso unidimensionale, cioè il centro di massa, benché vari, rimanga sempre sull'asse del cilindro formato dal serbatoio, quindi basterà assumere l'asse x sull'asse del cilindro e porre, diciamo, lo zero al fondo del serbatoio e il verso positivo verso la cima, come in figura.
Alcune osservazioni che ho fatto:
[*:23bxik5a] È possibile considerare serbatoio e liquido in base unicamente ai loro rispettivi centri di massa, per poi combinarli insieme per calcolare il cdm (centro di massa) totale del sistema. Poichè ciò che varia è soltanto il cdm del liquido, è ragionevole pensare che il cdm totale dipenderà dal cdm istante per istante del liquido, poichè il cdm del serbatoio è costante.[/*:m:23bxik5a]
[*:23bxik5a] La formula generale del centro di massa nei solidi è (cfr http://it.wikipedia.org/wiki/Centro_di_massa) [tex]\mathbf R = \frac{1}{M}\int_{M} \mathbf r\, \operatorname{d}m[/tex], che nel caso unidimensionale diventa [tex]R_{x} = \frac{1}{M}\int_{M} x, \operatorname{d}m[/tex].[/*:m:23bxik5a]
[*:23bxik5a] Nel serbatoio, ad uno spostamento $dx$ sull'asse x corrisponde una massa $dm$ e il rapporto $\frac{dx}{dm}$ sarà necessariamente uguale a $\frac{H}{M}$. Quindi [tex]dm = dx\,\frac{M}{H}[/tex]. Allora il cdm del serbatoio sarà [tex]R_{s,x} = \frac{1}{M}\cdot\int_{M} x\,\frac{M}{H}\,dx = \frac{1}{H}\cdot\int_{H} x\,dx = \frac{1}{H}\cdot\frac{H^{2}}{2} = \frac{H}{2}[/tex], che non varia.[/*:m:23bxik5a]
[*:23bxik5a] All'istante iniziale, cioè col serbatoio pieno, i cdm parziali e quindi il cdm totale hanno tutti la stessa posizione, cioè $x=h/2$.[/*:m:23bxik5a]
[*:23bxik5a] Intuitivamente, mentre il liquido diminuisce il cdm totale si sposta verso il basso, finchè non tocca la sua quota minima ed inizia a risalire. [/*:m:23bxik5a][*:23bxik5a] Nell'istante in cui il serbatoio di svuota, il cdm totale, che in questo caso è dato dal solo serbatoio (il liquido è fuoriuscito tutto), torna ad essere $x=h/2$.[/*:m:23bxik5a]
[*:23bxik5a] Per quanto riguarda il liquido, un istante dopo la condizione iniziale l'altezza sarà $h-dh$ e la massa sarà $m-dm$. Primo dubbio: è ragionevole ipotizzare [tex]\frac{dm}{dx} = \frac{m-dm}{h-dx}[/tex]? Se si allora dopo pochi passi si dovrebbe avere [tex]dm=\frac{m}{h}\,dx[/tex], che sostituito nell'integrale per la posizione del secondo cdm darebbe [tex]R_{l,x} = \frac{1}{m-dm} \cdot \int_{h-dx}x \cdot \frac{m}{h}\,dx[/tex].Quindi, dopo alcuni passaggi [tex]R_x = \frac{m\cdot(h-dx)^2}{2h\cdot(m-dm)}[/tex].[/*:m:23bxik5a][/list:u:23bxik5a]
A questo punto, in tutta onestà, non sono particolarmente sicuro delle ultime osservazioni e nemmeno degli effettivi calcoli svolti a dovere, conoscendomi. In linea del tutto generale, una volta ricavato il cdm del liquido in funzione di $dm$, pensavo di calcolare il cdm totale tramite [tex]R_x = \frac{M\cdot R_{s,x}+(m-dm)\cdot R_{l,x}}{M+m-dm}[/tex], con le opportune sostituzioni. Quindi dovrei aver ottenuto la funzione che descrive la ascissa del cdm totale in funzione della massa di liquido perso dal serbatoio, o c'è qualcosa che non va? Quel $dm$ posso usarlo tranquillamente come variabile oppure no?
Una volta ricavata la funzione, che dovrebbe presentarsi come il rapporto di due polinomi di primo grado in $dm$ (?), pensavo di ricavarne la derivata rispetto a $dm$ e imporla uguale a zero, così da poter capire a che quantità di massa persa corrisponda il minimo della funzione $R_x(dm)$. Una volta calcolato $dm$ e inserito in $R_x(dm)$ si dovrebbe avere quindi l'altezza del punto più basso che occupa il cdm totale.
C'è qualcosa di errato nei ragionamento o nei calcoli? Perchè non riesco ancora a risolverlo? Per esempio, eseguendo la derivata di cui sopra, ho ottenuto un valore numerico privo di $dm$, che significherebbe che la tangente alla curva $R_x(dm)$ ha coefficiente angolare costante, quindi la funzione non ha punti stazionari e cresce o descre sempre, il che è impossibile per ipotesi! Aiuto!
Risposte
No, non puoi usarlo tranquillamente come variabile. Anche se l'uso algebrico dei differenziali è pratica comune in fisica, occorre porre una certa attenzione alle loro manipolazioni. Comunque, in questo problema non è richiesto, in quanto si riduce al calcolo della coordinata del CdM di due masse, di cui una dipendente da un parametro (l'altezza $z$).
i) La coordinata del CdM del serbatoio è $\frac{h}{2}$ (il problema non esplicita l'omogeneità e lo spessore del materiale, ma mi sembra un'ipotesi ragionevole, altrimenti devi considerare un valore generico e costante $Z$).
ii) se il liquido raggiunge l'altezza $z$, la sua massa totale è $m\frac{z}{h}$, e la coordinata del suo CdM $\frac{z}{2}$.
iii) la coordinata del CdM del sistema è allora
$z_{CM}=\frac{Mh/2+mz^2/{2h}}{M+mz/h}=\frac{h}{2} \frac{M+mx^2}{M+mx}$, dove $x=z/h$, ed ovviamente $0 \le x \le 1$. Trova il minimo di questa funzione.
Tra l'altro, ci aspettiamo che $z_{CM}(0)=z_{CM}(1)=\frac{h}{2}$, come in effetti si verifica.
i) La coordinata del CdM del serbatoio è $\frac{h}{2}$ (il problema non esplicita l'omogeneità e lo spessore del materiale, ma mi sembra un'ipotesi ragionevole, altrimenti devi considerare un valore generico e costante $Z$).
ii) se il liquido raggiunge l'altezza $z$, la sua massa totale è $m\frac{z}{h}$, e la coordinata del suo CdM $\frac{z}{2}$.
iii) la coordinata del CdM del sistema è allora
$z_{CM}=\frac{Mh/2+mz^2/{2h}}{M+mz/h}=\frac{h}{2} \frac{M+mx^2}{M+mx}$, dove $x=z/h$, ed ovviamente $0 \le x \le 1$. Trova il minimo di questa funzione.
Tra l'altro, ci aspettiamo che $z_{CM}(0)=z_{CM}(1)=\frac{h}{2}$, come in effetti si verifica.
Ecco l'illuminazione che cercavo!
In effetti con queste condizioni è tutto verificato. L'ascissa del cdm totale in funzione di x restituisce una funzione iperbolica ($z_{CM}=\frac{h}{2} \frac{M+mx^2}{M+mx}$), di cui il solo ramo al di sopra dell'asse x è interessante. Quindi, derivando la funzione e imponendo $\frac{d(z_{CM})}{dx}=0$, si hanno due soluzioni di cui una sola è quella valida. In particolare la soluzione vale $x_s = -\frac{M}{m} + \frac{sqrt(M^2+mM)}{m}$, quindi nel punto $x_s$ la funzione $z_{CM}$ avrà il suo minimo locale, che è anche minimo assoluto ed unico punto stazionario della funzione (ho effettuato lo studio a parte).
Successivamente ho calcolato $z_{CM}(x_s) = \frac{h}{m}\cdot(sqrt(M^2+mM)-M)$ e il calcolo è concluso. Ho verificato per scrupolo il modello su Geogebra, con valori fittizi, e tutto torna.
Ho una sola domanda:
Da dove hai assunto che $x=z/h$? So che probabilmente è banale, ma non mi viene in mente. Grazie ancora della risposta.
In effetti con queste condizioni è tutto verificato. L'ascissa del cdm totale in funzione di x restituisce una funzione iperbolica ($z_{CM}=\frac{h}{2} \frac{M+mx^2}{M+mx}$), di cui il solo ramo al di sopra dell'asse x è interessante. Quindi, derivando la funzione e imponendo $\frac{d(z_{CM})}{dx}=0$, si hanno due soluzioni di cui una sola è quella valida. In particolare la soluzione vale $x_s = -\frac{M}{m} + \frac{sqrt(M^2+mM)}{m}$, quindi nel punto $x_s$ la funzione $z_{CM}$ avrà il suo minimo locale, che è anche minimo assoluto ed unico punto stazionario della funzione (ho effettuato lo studio a parte).
Successivamente ho calcolato $z_{CM}(x_s) = \frac{h}{m}\cdot(sqrt(M^2+mM)-M)$ e il calcolo è concluso. Ho verificato per scrupolo il modello su Geogebra, con valori fittizi, e tutto torna.
Ho una sola domanda:
"Cmax":
iii) la coordinata del CdM del sistema è allora $z_{CM}=\frac{Mh/2+mz^2/{2h}}{M+mz/h}=\frac{h}{2} \frac{M+mx^2}{M+mx}$, dove $x=z/h$, ed ovviamente $0 \le x \le 1$.
Da dove hai assunto che $x=z/h$? So che probabilmente è banale, ma non mi viene in mente. Grazie ancora della risposta.
Non ho assunto niente. Sono solo passaggi di algebra elementare, in modo da isolare e rinominare il rapporto $z/h$.
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