Centro di massa lamina

[dario.basile]

Ciao a tutti,
non so come completare un problema di meccanica e spero che voi mi poteste dare una mano.
Il testo recita:
"Una piastra metallica, di forma quadrata con lato L=30cm e massa M, è sottoposta a una lavorazione che prevede l'asportazione di un angolo di un quadrato metallico di lato D=5cm. Trovare di quanto si è spostato il centro di massa tra prima e dopo la lavorazione."

Ecco il disegno che ho fatto io:


Edit: Non è $d-l$ bensì $l-d$.

Mi sono calcolato il centro di massa del quadrato integro prima della lavorazione immaginandolo come un sistema continuo:

$\lambda=(dM)/(dL)$ e ne deriva che $dM=lambdadL$.

Quindi $X_c=(int_{0}^{L} L dL)/(int_{0}^{L} dL)=L/2$ (avrei potuto anche risolverlo ad occhio, ma ho voluto mantenere il formalismo).

$X_c=Y_c$ per simmetria del sistema.


Ora mi calcolo il centro di massa del quadrato più piccolo:

$\lambda=(dm)/(dD)$ e ne deriva che $dm=lambdadD$.

Quindi $X_c=(int_{L-D}^{L} D dD)/(int_{L-D}^{L} dD)=L-D/2$.

$X_c=Y_c$ per simmetria del sistema.

Ora purtroppo non ho idee su come calcolare di quanto sia sia spostato il C.M. del quadrato grande una volta che si è staccato il quadratino più piccolo.
Avete idee?

[Dracmaleontes]

Potresti considerare il quadrato intero senza fori.
Sicuramente saprai che il suo centro di massa è pari a:
$x_{c_{1}} = \frac{x_c M' + m x_{c_{2}}}{M' + m} $
E allora:
$x_{c} = \frac{x_{c_{1}} (M'+m) - m x_{c_{2}}}{M'} $
Dove con m sto indicando la massa del quadratino asportato e M' la massa del quadrato di lato l senza il quadratino asportato.
E poi sarà simmetria $x_c = y_c$

Facendo un pò di calcoli mi viene che:
$ |\vec{r_{c_{1}}} - \vec{r_{c}} | = \frac{\sqrt{2}}{84} l $

dimmi se ti serve li posto

[dario.basile]

"Dracmaleontes":Potresti considerare il quadrato intero senza fori.
Sicuramente saprai che il suo centro di massa è pari a:
$x_{c_{1}} = \frac{x_c M' + m x_{c_{2}}}{M' + m} $
E allora:
$x_{c} = \frac{x_{c_{1}} (M'+m) - m x_{c_{2}}}{M'} $
Dove con m sto indicando la massa del quadratino asportato e M' la massa del quadrato di lato l senza il quadratino asportato.
E poi sarà simmetria $x_c = y_c$

Facendo un pò di calcoli mi viene che:
$ |\vec{r_{c_{1}}} - \vec{r_{c}} | = \frac{\sqrt{2}}{84} l $

dimmi se ti serve li posto

Mi sarebbero molto di aiuto, grazie.

[Dracmaleontes]

Basandomi sulla nomenclatura di prima:
$\vec{r_{c_{1}}} = (\frac{l}{2}, \frac{l}{2})$
$\vec{r_{c_{2}}} = (l - \frac{d}{2}, l - \frac{d}{2})$

Poichè $d = \frac{l}{6}$
$\vec{r_{c_{2}}} = (\frac{11l}{12}, \frac{11l}{12})$

Sia $\sigma$ la densità delle due lamine, sappiamo che, in generale: $M = \sigma A$
E dunque, applicando la formula che ho scritto nel posto precedente:

$x_c = \frac{\sigma \frac{l}{2} l^2 - \sigma \frac{l^2}{36} \frac{11l}{12} }{\sigma (l^2 - \frac{l^2}{36})} = \frac{41}{48} l = y_c $

$\vec{r_c} = (\frac{41}{48} l, \frac{41}{48} l)$
$ \vec{\Deltar} = \vec{r_{c_{1}}} - \vec{r_c} = (\frac{l}{84},\frac{l}{84})$
$|\vec{\Deltar}| = \frac{\sqrt{2}l}{84}$

[dario.basile]

"Dracmaleontes":Basandomi sulla nomenclatura di prima:
$\vec{r_{c_{1}}} = (\frac{l}{2}, \frac{l}{2})$
$\vec{r_{c_{2}}} = (l - \frac{d}{2}, l - \frac{d}{2})$

Poichè $d = \frac{l}{6}$
$\vec{r_{c_{2}}} = (\frac{11l}{12}, \frac{11l}{12})$

Sia $\sigma$ la densità delle due lamine, sappiamo che, in generale: $M = \sigma A$
E dunque, applicando la formula che ho scritto nel posto precedente:

$x_c = \frac{\sigma \frac{l}{2} l^2 - \sigma \frac{l^2}{36} \frac{11l}{12} }{\sigma (l^2 - \frac{l^2}{36})} = \frac{41}{48} l = y_c $

$\vec{r_c} = (\frac{41}{48} l, \frac{41}{48} l)$
$ \vec{\Deltar} = \vec{r_{c_{1}}} - \vec{r_c} = (\frac{l}{84},\frac{l}{84})$
$|\vec{\Deltar}| = \frac{\sqrt{2}l}{84}$

Ti ringrazio di cuore, ora finalmente ho un modello da poter applicare a tutti gli altri esercizi simili.

Ti segnalo solo che quando hai scritto $\vec{r_c}$ hai invertito le due cifre del denominatore: invece che $\vec{r_c} = (\frac{41}{48} l, \frac{41}{48} l)$ è $\vec{r_c} = (\frac{41}{84} l, \frac{41}{84} l)$.

Grazie ancora.

[Dracmaleontes]

Prego.
Si scusa hai ragione sulle cifre, piccolo refuso.