Centro di massa di una piramide
Sono alla prese con la ricerca del punto di centro di massa. Vorrei sapere come faccio a trovare che il centro di massa di una piramide regolare a base quadrata si trova sull'altezza ad 1/4 della sua lunghezza partendo dalla base. Della piramide conosco tutte le misure e anche la densità del materiale di cui è composta. Il risultato lo conosco perchè mi sono documentata su internet però non so come arrivarci. Capisco che il centro di massa si trova sull'altezza a causa della simmetria della piramide però non so come arrivare al fatto che è proprio ad 1/4.
Grazie!
Grazie!
Risposte
trovato! bel problema!
dunque.. sostanzialmente bisogna trovare una sorta di media su z sul volume.. integrando sul volume.. non so come chiamarlo.. valore di aspettazione? magari qualcuno ci può aiutare..
ma cominciamo con ordine
diciamo che $R$ è il semilato di base e $H$ è l'altezza. (semilato= metà lato)
$z$ è la coordinata lungo l'altezza, per comodità metterò l'origine degli assi al vertice della piramide.
$r$ è invece il semilato all'altezza $z$
la prima cosa da dire è che $r/z = R/H$
quindi procediamo a calcolare
$\bar z = (\ int int int z dx dy dz) / (\int int int dx dy dz)$
da notare che il denominatore è semplicemente il volume (che ti insegnano alle scuole medie) e nel numeratore l'integrazione rispetto ad x e y è semplicemente il quadrato
cioè
$ (\int int int dx dy dz) = V$ e $\int int dx dy = r^2 = (R/H)^2 *z^2$
diventa
$\bar z = R^2/H^2 * (\int_0^H y^3dy)/ (1/3 R^2 *H) = 3/4 H$
il tutto perchè siamo partiti dalla cima!
ma se partiamo dalla base $(1-3/4) H =1/4 H$
dunque.. sostanzialmente bisogna trovare una sorta di media su z sul volume.. integrando sul volume.. non so come chiamarlo.. valore di aspettazione? magari qualcuno ci può aiutare..
ma cominciamo con ordine
diciamo che $R$ è il semilato di base e $H$ è l'altezza. (semilato= metà lato)
$z$ è la coordinata lungo l'altezza, per comodità metterò l'origine degli assi al vertice della piramide.
$r$ è invece il semilato all'altezza $z$
la prima cosa da dire è che $r/z = R/H$
quindi procediamo a calcolare
$\bar z = (\ int int int z dx dy dz) / (\int int int dx dy dz)$
da notare che il denominatore è semplicemente il volume (che ti insegnano alle scuole medie) e nel numeratore l'integrazione rispetto ad x e y è semplicemente il quadrato
cioè
$ (\int int int dx dy dz) = V$ e $\int int dx dy = r^2 = (R/H)^2 *z^2$
diventa
$\bar z = R^2/H^2 * (\int_0^H y^3dy)/ (1/3 R^2 *H) = 3/4 H$
il tutto perchè siamo partiti dalla cima!
ma se partiamo dalla base $(1-3/4) H =1/4 H$
Avevo capito che dovevo cercare di esprimere il lato del quadrato all'altezza z in funzione di H e del semilato R ma non sapevo come fare. Adesso il concetto l'ho capito sicuramente, non so tanto bene la formula del volume e del quadrato, domattina la riguardo con davanti la figura e ci ripenso un po'. Solo, nell'ultimissima formula, al posto di $y^3dy$ non dovrebbe esserci $z^3dz$. Se è una cretinata immensa chiedo scusa in anticipo!
Grazie mille davvero!
Grazie mille davvero!
sì, scusa!
certo $z^3 dz$
ho sbagliato anche un'altra cosa: in questo caso R e r sono il lato (e non il semilato).
Se si vuole usare il semilato entra un fattore 2, che elevando al quadrato diventa un fattore 4, ma che in ogni caso si elide tra denominatore e numeratore. quindi questo non è un problema.
certo $z^3 dz$
ho sbagliato anche un'altra cosa: in questo caso R e r sono il lato (e non il semilato).
Se si vuole usare il semilato entra un fattore 2, che elevando al quadrato diventa un fattore 4, ma che in ogni caso si elide tra denominatore e numeratore. quindi questo non è un problema.
Perfetto!
Grazie mille sei stato molto chiaro.
Grazie mille sei stato molto chiaro.
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