Centro di massa di un disco: verificare che è nel centro.
Buonasera a tutti.
Volevo sapere come faccio a verificare che il centro di massa di un disco è proprio nel centro del corpo in questione. La strada giusta credo sia provare che l'integrale della definizione di raggio vettore del centro di massa sia zero, ma ho difficoltà a trovare tale integrale.
Scusate l'eventuale non chiarezza. Grazie
Volevo sapere come faccio a verificare che il centro di massa di un disco è proprio nel centro del corpo in questione. La strada giusta credo sia provare che l'integrale della definizione di raggio vettore del centro di massa sia zero, ma ho difficoltà a trovare tale integrale.
Scusate l'eventuale non chiarezza. Grazie
Risposte
Prendiamo come origine il centro del disco, di raggio $R$ ($M$ la massa totale del disco e $sigma=(dm)/(da)$ la densità superficiale). Dalla definizione di centro di massa otteniamo le due relazioni scalari
$x_(CM)=1/M*int_M x*dm= 1/M*int_S x*sigma*da$
e
$y_(CM)=1/M*int_M y*dm= 1/M*int_S y*sigma*da$.
Dalla prima
$ 1/M*int_S x*sigma*da=sigma/M*int_S x*dx*dy=$ (salvo sviste) $=sigma/M*int_S x*dx*dy=2*sigma/M*int_-R^R x*sqrt(R^2-x^2)dx$
posto $t=x/R$
$-(R*sigma)/M*int_-1^1 -2t*sqrt(1-t^2)dt=-(R*sigma)/M*[2/3*(1-t^2)^(3/2)]_-1^1=0$.
Analogamente per $y_(CM)$, da cui
$vec r_(CM)=(0,0)$
È facile mi sia dimenticato o inventato dei coefficienti, o peggio. Vista l'ora ho il permeso di scrivere di tutto
$x_(CM)=1/M*int_M x*dm= 1/M*int_S x*sigma*da$
e
$y_(CM)=1/M*int_M y*dm= 1/M*int_S y*sigma*da$.
Dalla prima
$ 1/M*int_S x*sigma*da=sigma/M*int_S x*dx*dy=$ (salvo sviste) $=sigma/M*int_S x*dx*dy=2*sigma/M*int_-R^R x*sqrt(R^2-x^2)dx$
posto $t=x/R$
$-(R*sigma)/M*int_-1^1 -2t*sqrt(1-t^2)dt=-(R*sigma)/M*[2/3*(1-t^2)^(3/2)]_-1^1=0$.
Analogamente per $y_(CM)$, da cui
$vec r_(CM)=(0,0)$
È facile mi sia dimenticato o inventato dei coefficienti, o peggio. Vista l'ora ho il permeso di scrivere di tutto
-Piccola osservazione-
Arrivati a questo punto
$2*sigma/M*int_-R^R x*sqrt(R^2-x^2)dx$
possiamo concludere immediatamente osservando che l'integranda $x*sqrt(R^2-x^2)$ è una funzione dispari e che l'intervallo di integrazione è del tipo $[-a,a]$; questo ci basta per affermare
$2*sigma/M*int_-R^R x*sqrt(R^2-x^2)dx=0$
Arrivati a questo punto
$2*sigma/M*int_-R^R x*sqrt(R^2-x^2)dx$
possiamo concludere immediatamente osservando che l'integranda $x*sqrt(R^2-x^2)$ è una funzione dispari e che l'intervallo di integrazione è del tipo $[-a,a]$; questo ci basta per affermare
$2*sigma/M*int_-R^R x*sqrt(R^2-x^2)dx=0$
Secondo me si può anche uscirsene senza fare alcun conto. Intanto il disco è una figura piana, quindi il centro di massa (cdm) giace nel piano della figura. Poi ogni diametro del disco omogeneo è (contenuto in un) asse di simmetria materiale, quindi il cdm deve appartenere ad ogni diametro. L'unico punto che sia intersezione di tutti i diametri del disco (ne basterebbero due) è il centro. Concludiamo che il cdm non può che essere il centro del disco.
"dissonance":
Secondo me si può anche uscirsene senza fare alcun conto. Intanto il disco è una figura piana, quindi il centro di massa (cdm) giace nel piano della figura. Poi ogni diametro del disco omogeneo è (contenuto in un) asse di simmetria materiale, quindi il cdm deve appartenere ad ogni diametro. L'unico punto che sia intersezione di tutti i diametri del disco (ne basterebbero due) è il centro. Concludiamo che il cdm non può che essere il centro del disco.
Sono d'accordissimo con te
, ma lui chiedeva di "verificare che il centro di massa di un disco è proprio nel centro del corpo in questione", quindi ho pensato che avesse già sviluppato queste considerazioni di simmetria, e che volesse ora vedere i calcolacci.
Grazie mille!
Io usavo le coordinate polari, ma credo sia la stessa cosa.
Io usavo le coordinate polari, ma credo sia la stessa cosa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo