Centro di massa di un cardioide
"Determinare l'equazione del centro di massa della curva di equazione polare $r=1+\cos\theta$."
Innanzitutto posso trovarmi le coordinate cartesiane:
$x=r\cos\theta=\cos\theta+\cos ^2\theta$
$y=r\sin\theta=\sin\theta+\cos\theta\sin\theta$
per ragioni di simmetria la y del centro di massa è 0. Non resta che determinarci la x con la formula
$x_c= \frac{\int_0^{2\pi} xdm }{\int_0^{2\pi} dm}=\frac{\int_0^{2\pi} x\sigma dV}{\int_0^{2\pi}\sigma dV}=\frac{\int_0^{2\pi} xf(x)dx}{\int_0^{2\pi} f(x) dx}$.
Ovviamente la f(x) non è che la y, mentre dx lo ottengo derivando la x. IN questo modo ottengo tutto in funzione di theta, e posso integrare. Ora poichè in questo modo vengono dei calcoli COMPLICATISSIMI, mi chiedevo se il mio procedimento e sbagliato e, in caso lo sia, come posso procedere...
Il risultato dovrebbe venire x=0,833...
Innanzitutto posso trovarmi le coordinate cartesiane:
$x=r\cos\theta=\cos\theta+\cos ^2\theta$
$y=r\sin\theta=\sin\theta+\cos\theta\sin\theta$
per ragioni di simmetria la y del centro di massa è 0. Non resta che determinarci la x con la formula
$x_c= \frac{\int_0^{2\pi} xdm }{\int_0^{2\pi} dm}=\frac{\int_0^{2\pi} x\sigma dV}{\int_0^{2\pi}\sigma dV}=\frac{\int_0^{2\pi} xf(x)dx}{\int_0^{2\pi} f(x) dx}$.
Ovviamente la f(x) non è che la y, mentre dx lo ottengo derivando la x. IN questo modo ottengo tutto in funzione di theta, e posso integrare. Ora poichè in questo modo vengono dei calcoli COMPLICATISSIMI, mi chiedevo se il mio procedimento e sbagliato e, in caso lo sia, come posso procedere...
Il risultato dovrebbe venire x=0,833...
Risposte
$f(Up)=\cos{Up}$
Non ho capito perchè sei passato alle coordinate cartesiane. Hai già tutto bello scritto in coordinate polari...userei quelle. Per quanto riguarda le definizioni del centro di massa vanno bene ma devi stare attento, quelli che scrivi sono integrali doppi e non ho capito molto bene cosa intendi in quel passaggio in cui spunta una funzione di [tex]x[/tex]. La definizione del centro di massa per un dominio [tex]\Omega[/tex] è
[tex]$x_{cm} = \frac{1}{M} \int_{\Omega} x \sigma dS$[/tex]
con
[tex]$M = \int_{\Omega} \sigma dS$[/tex]
Nel caso in questione l'insieme su cui devi integrare è dato da tutti i punti che stanno dentro alla cardioide cioè
[tex]$\Omega = \{ ( r , \theta ) \in \mathbb{R}^+ \times [0,2\pi] \, \, | \, \, r < 1 + \cos \theta \} $[/tex]
quindi
[tex]$M = \int_{\Omega} \sigma dS = \sigma \int_{\Omega} r \, dr \, d\theta = \sigma \int_0^{2 \pi} d\theta \int_0^{1+\cos \theta} dr \,\, r = \sigma \int_0^{2 \pi} d\theta \frac{(1+\cos \theta)^2}{2} = \frac{3 \pi}{2} \sigma $[/tex]
l'altro integrale invece è
[tex]$\int_{\Omega} x \sigma \, dS = \sigma \int_{\Omega} r \cos \theta \, r \, dr \, d\theta = \sigma \int_0^{2 \pi} d\theta \cos \theta \int_0^{1+\cos \theta} dr \, r^2 = \sigma \int_0^{2 \pi} d\theta \cos \theta \frac{(1 + \cos \theta)^3}{3} = \frac{5 \pi}{4} \sigma$[/tex]
quindi
[tex]$x_{cm} = \frac{1}{M} \int_{\Omega} x \sigma dS = \frac{5}{6} = 0.833....$[/tex]
[tex]$x_{cm} = \frac{1}{M} \int_{\Omega} x \sigma dS$[/tex]
con
[tex]$M = \int_{\Omega} \sigma dS$[/tex]
Nel caso in questione l'insieme su cui devi integrare è dato da tutti i punti che stanno dentro alla cardioide cioè
[tex]$\Omega = \{ ( r , \theta ) \in \mathbb{R}^+ \times [0,2\pi] \, \, | \, \, r < 1 + \cos \theta \} $[/tex]
quindi
[tex]$M = \int_{\Omega} \sigma dS = \sigma \int_{\Omega} r \, dr \, d\theta = \sigma \int_0^{2 \pi} d\theta \int_0^{1+\cos \theta} dr \,\, r = \sigma \int_0^{2 \pi} d\theta \frac{(1+\cos \theta)^2}{2} = \frac{3 \pi}{2} \sigma $[/tex]
l'altro integrale invece è
[tex]$\int_{\Omega} x \sigma \, dS = \sigma \int_{\Omega} r \cos \theta \, r \, dr \, d\theta = \sigma \int_0^{2 \pi} d\theta \cos \theta \int_0^{1+\cos \theta} dr \, r^2 = \sigma \int_0^{2 \pi} d\theta \cos \theta \frac{(1 + \cos \theta)^3}{3} = \frac{5 \pi}{4} \sigma$[/tex]
quindi
[tex]$x_{cm} = \frac{1}{M} \int_{\Omega} x \sigma dS = \frac{5}{6} = 0.833....$[/tex]
Ok ho un solo dubbio...nel penultimo integrale che hai scritto figura un "cos theta", dovuto ovviamente al fatto che stai calcolando la componente x. Ora, rileggendo i risultati del libro, mi accorgo che il risultato vero è $r = 0,833...$ e $\theta=0$. Questo significa che in quel determinato punto x e r sono uguali. Ora io avevo provato a fare il calcolo in questo modo
$r_c=\frac{\int_0^{2\pi}\int_0^{1+cos\theta}t^2dtd\theta}{M}$. In questo modo non dovrei trovarmi il modulo relativo al centro di massa? Eppure non viene 0,833, perchè l'integrale viene 5/3 pi greco...c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento?
$r_c=\frac{\int_0^{2\pi}\int_0^{1+cos\theta}t^2dtd\theta}{M}$. In questo modo non dovrei trovarmi il modulo relativo al centro di massa? Eppure non viene 0,833, perchè l'integrale viene 5/3 pi greco...c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento?
Upping
$\int f(up)dup$
Domanda ma nel caso che consideriamo la cardioide non come un area, ma come un filo sottile a forma di cardioide, il centro di massa mi viene 1...è corretto...?
Torniamo inoltre al caso "cardioide piena".
Anche riguardo all'area mi viene qualche problema...infatti ho pensato di dividere la cardioide in tanti "spicchi" di "cerchio" di raggio rho e angolo dtheta. In questo modo verrebbe
$ dm = \phi dA= 1/2 \phi \rho^2(\theta)d\theta = 1/2\phi (1+\cos \theta)^2 d\theta$.
La coordinata x inoltre sarebbe
$x_(cm) = \rho\theta \cos\theta = (1+cos\theta)cos\theta$
e pertanto la formula del centro di massa verrebbe
$(\int xdm)/(\int dm)=(\int cos\theta(1+cos\theta)^3d\theta)/(\int(1+cos\theta)^2d\theta).
Integrando da 0 a 2pigreco, ottengo 1.25. Dov'è che sbaglio?
Nel caso di cardioide lineare (filo sottile a forma di cardioide) invece ho pensato di prendere come massa un sottile arco di cerchio e prendere come massa infinitesima $dm= \rho(\theta) d\theta=\sigma(1+cos(\theta))d\theta$.
Anche qui, cosa c'è di sbagliato?
Torniamo inoltre al caso "cardioide piena".
Anche riguardo all'area mi viene qualche problema...infatti ho pensato di dividere la cardioide in tanti "spicchi" di "cerchio" di raggio rho e angolo dtheta. In questo modo verrebbe
$ dm = \phi dA= 1/2 \phi \rho^2(\theta)d\theta = 1/2\phi (1+\cos \theta)^2 d\theta$.
La coordinata x inoltre sarebbe
$x_(cm) = \rho\theta \cos\theta = (1+cos\theta)cos\theta$
e pertanto la formula del centro di massa verrebbe
$(\int xdm)/(\int dm)=(\int cos\theta(1+cos\theta)^3d\theta)/(\int(1+cos\theta)^2d\theta).
Integrando da 0 a 2pigreco, ottengo 1.25. Dov'è che sbaglio?
Nel caso di cardioide lineare (filo sottile a forma di cardioide) invece ho pensato di prendere come massa un sottile arco di cerchio e prendere come massa infinitesima $dm= \rho(\theta) d\theta=\sigma(1+cos(\theta))d\theta$.
Anche qui, cosa c'è di sbagliato?
up
per il cdm del cardiode "lineare" il procedimento è analogo, solo che anzichè un integrale doppio avrai un integrale di linea di prima specie. ti anticipo che a me pare piuttosto incasinato:
$M x_(cm) = oint x lambda ds = int_0^(2pi) (1+cos theta)cos theta \ lambda \ | gamma'(theta)| \ d theta
dove $|gamma'(theta)| = sqrt([sin theta (-2cos theta + 1)]^2 + [-sin^2 theta + cos^2 theta + cos theta]^2)
se non ho dato in pasto a wolfram qualcosa di sbagliato, dovresti avere che $x_(cm) = 1/2$
per gli integrali doppi sopra, il differenziale in coordinate polari è $rho d rho d theta$ (vedi cambio di coordinate per gli integrali multipli), qualsiasi altra cosa è sbagliata
$M x_(cm) = oint x lambda ds = int_0^(2pi) (1+cos theta)cos theta \ lambda \ | gamma'(theta)| \ d theta
dove $|gamma'(theta)| = sqrt([sin theta (-2cos theta + 1)]^2 + [-sin^2 theta + cos^2 theta + cos theta]^2)
se non ho dato in pasto a wolfram qualcosa di sbagliato, dovresti avere che $x_(cm) = 1/2$
per gli integrali doppi sopra, il differenziale in coordinate polari è $rho d rho d theta$ (vedi cambio di coordinate per gli integrali multipli), qualsiasi altra cosa è sbagliata
CARDIOIDE VUOTO:
Che cosa c'è di male nel considerare la curva chiusa come un insieme di archi di cerchio infinitesimi di lunghezza $\rho d\theta$, e quindi a scrivere semplicemente
(*) (denominatore) $\int x dm = \int \rho \cos \theta \phi \rho d\theta=\int \phi \cos\theta rho^2 d\theta$?
CARDIOIDE PIENO
Studiando meglio quello che ho fatto con gli spicchi, mi sono accorto che in effetti c'era un errore. Infatti il numeratore della formula del cdm è $int xdm$. In effetti possiamo scrivere
(1) $dm= 1/2 \rho^2 d\theta$
Riguardo alla coordinata x di ciascuno "spicchio", in effetti è scorretto scrivere (come avevo fatto prima) semplicemente $\rho\cos \theta$, perchè, in effetti la x che dobbiamo considerare è la x del CENTRO DI MASSA di ciascuno spicchietto. Ho pensato di approssimare tale x a $1/2 \rho\cos\theta$ e quindi il numeratore della definizione del centro di massa verrebbe
(2) $1/2 \rho^3 cos\theta$
Vi sembra che questi miei ragionamenti siano corretti? In caso non lo fossero, ho un "opzione di riserva": calcolare con più esattezza il cdm di ciascuno SPICCHIO. per angolo dtheta infinitesimo, possiamo assumere rho approssimativamente uguale, quindi costante.
Che cosa c'è di male nel considerare la curva chiusa come un insieme di archi di cerchio infinitesimi di lunghezza $\rho d\theta$, e quindi a scrivere semplicemente
(*) (denominatore) $\int x dm = \int \rho \cos \theta \phi \rho d\theta=\int \phi \cos\theta rho^2 d\theta$?
CARDIOIDE PIENO
Studiando meglio quello che ho fatto con gli spicchi, mi sono accorto che in effetti c'era un errore. Infatti il numeratore della formula del cdm è $int xdm$. In effetti possiamo scrivere
(1) $dm= 1/2 \rho^2 d\theta$
Riguardo alla coordinata x di ciascuno "spicchio", in effetti è scorretto scrivere (come avevo fatto prima) semplicemente $\rho\cos \theta$, perchè, in effetti la x che dobbiamo considerare è la x del CENTRO DI MASSA di ciascuno spicchietto. Ho pensato di approssimare tale x a $1/2 \rho\cos\theta$ e quindi il numeratore della definizione del centro di massa verrebbe
(2) $1/2 \rho^3 cos\theta$
Vi sembra che questi miei ragionamenti siano corretti? In caso non lo fossero, ho un "opzione di riserva": calcolare con più esattezza il cdm di ciascuno SPICCHIO. per angolo dtheta infinitesimo, possiamo assumere rho approssimativamente uguale, quindi costante.
CARDIOIDE VUOTO:
Che cosa c'è di male nel considerare la curva chiusa come un insieme di archi di cerchio infinitesimi di lunghezza $\rho d\theta$, e quindi a scrivere semplicemente
(*) (denominatore) $\int x dm = \int \rho \cos \theta \phi \rho d\theta=\int \phi \cos\theta rho^2 d\theta$?
CARDIOIDE PIENO
Studiando meglio quello che ho fatto con gli spicchi, mi sono accorto che in effetti c'era un errore. Infatti il numeratore della formula del cdm è $int xdm$. In effetti possiamo scrivere
(1) $dm= 1/2 \rho^2 d\theta$
Riguardo alla coordinata x di ciascuno "spicchio", in effetti è scorretto scrivere (come avevo fatto prima) semplicemente $\rho\cos \theta$, perchè, in effetti la x che dobbiamo considerare è la x del CENTRO DI MASSA di ciascuno spicchietto. Ho pensato di approssimare tale x a $1/2 \rho\cos\theta$ e quindi il numeratore della definizione del centro di massa verrebbe
(2) $1/2 \rho^3 cos\theta$
Vi sembra che questi miei ragionamenti siano corretti? In caso non lo fossero, ho un "opzione di riserva": calcolare con più esattezza il cdm di ciascuno SPICCHIO. per angolo dtheta infinitesimo, possiamo assumere rho approssimativamente uguale, quindi costante.
Che cosa c'è di male nel considerare la curva chiusa come un insieme di archi di cerchio infinitesimi di lunghezza $\rho d\theta$, e quindi a scrivere semplicemente
(*) (denominatore) $\int x dm = \int \rho \cos \theta \phi \rho d\theta=\int \phi \cos\theta rho^2 d\theta$?
CARDIOIDE PIENO
Studiando meglio quello che ho fatto con gli spicchi, mi sono accorto che in effetti c'era un errore. Infatti il numeratore della formula del cdm è $int xdm$. In effetti possiamo scrivere
(1) $dm= 1/2 \rho^2 d\theta$
Riguardo alla coordinata x di ciascuno "spicchio", in effetti è scorretto scrivere (come avevo fatto prima) semplicemente $\rho\cos \theta$, perchè, in effetti la x che dobbiamo considerare è la x del CENTRO DI MASSA di ciascuno spicchietto. Ho pensato di approssimare tale x a $1/2 \rho\cos\theta$ e quindi il numeratore della definizione del centro di massa verrebbe
(2) $1/2 \rho^3 cos\theta$
Vi sembra che questi miei ragionamenti siano corretti? In caso non lo fossero, ho un "opzione di riserva": calcolare con più esattezza il cdm di ciascuno SPICCHIO. per angolo dtheta infinitesimo, possiamo assumere rho approssimativamente uguale, quindi costante.
cos up
il problema te l'avevo già detto un po' di tempo fa. c'è tutta una teoria sugli integrali multipli, e approssimare cose infinitesime non è facile, altrimenti a cosa servirebbero i vari corsi di analisi? se vuoi continuare così sei libero di farlo, ma sappi che è tempo perso.
comunque ti avevo pure già detto di non uppare prima del tempo stabilito, vedi regolamento
comunque ti avevo pure già detto di non uppare prima del tempo stabilito, vedi regolamento
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