Centro di massa

[*brssfn76]

Spero che il disegno si capisca......

Una bacchetta omogenea di massa m=0.8Kg e lunghezza l=80 cm è appoggiata ad un blocco di massa M = 2 kg e altezza h=40 cm. Un estremo
della bacchetta è vincolato a muoversi senza attrito in una scanalatura verticale praticata lungo una faccia verticale del blocco; l'altro estremo
si può muovere lungo un piano orizzontale su cui poggia anche il parallelepipedo. Il sistema è inizialmente tenuto fermo rispetto al piano nella posizione
della figura. Se sucessivamente lo si lascia libero di muoversi, si calcoi, nell'istante in cui la bacchetta urta il piano:

- lo spostamento del blocco rispetto alla posizione iniziale
- la velocità del centro di massa del blocco

Si trascurino gli attriti

Allora per quanto riguarda la 1 domanda lo spostamento dovrebbe essere 1.53 cm ma ci sono arrivato con una soluzione un po' arzigogolata.......
in pratica il problema è che non so la lunghezza del blocco ma solo l'altezza perciò se qualcuno ha voglia di scrivere come impostare la soluzione
del primo punto è cosa assai gradita.....

Ma il vero dubbio è sul secondo punto. La forza esterna del sistema sull'asse orizzontale e 0 quindi la quantità di moto è conservata.
Se il blocco non risente di attrito, il centro di massa del sistema non si muove sull'asse x ma il blocco si. Ora ok il risultante delle forze interne
in base al 3 principio è nullo ma il blocco fino all'istante precedente al quale l'asta è orizzontale si muove quindi in assenza di attrito perchè dovrebbe fermarsi? Infatti la risposta al secondo punto è che la velocità del cm del blocco è nulla.


qualcuno sarebbe così paziente da spiegarmi cosa non va nel mio ragionamento ?anche utilizzando qualche passaggio matematico....

molte molte grazie

[mircoFN1]

Non so cosa ci sia di arzigogolante nella prima questione: basta conservare la posizione orizzontale del centro di massa.

Per quanto riguarda la seconda domanda, immagina che la sbarra rimbalzi perfettamente sul piano: come ti immagini che sia il moto del tutto in assenza di attrito?
Se consideri le posizioni orizzontali dei centri di massa dei due oggetti, direi che si tratta di un moto periodico (non armonico) di allontanamento e avvicinamento relativo (una spece di tira e molla). Bene, ma allora: quali sono le posizioni in cui si inverte il segno di questa velocità relativa e quindi il blocco è fermo?

ciao

[cavallipurosangue]

Aggiungo una parvenza di procedimento (sperando sia giusto, visto che l'ho fatto di corsa... : ho da fare economia... ).

Per il primo punto:

$\dotx=m/(M+m)L/2dotthetasintheta=>Deltax=m/(M+m)L/2int_0^(pi/3)dotthetasinthetadt=m/(M+m)L/2int_0^(pi/3)sinthetad\theta=m/(M+m)L/2(1-sqrt(3)/2)=1.53 cm$

Per il secondo punto ho usato la prima equazione e la conservazione dell'energia meccanica, trovando:

$dotx(theta)=sqrt((gL)/(M+m)(sintheta_0-sintheta)/(3m+5/2(M+m)1/(sin^2theta)))$

Il cui grafico, nell'intervallo di interesse $[0,pi/3]$:




Va precisato, però, che non sarebbe stato necessario trovare la formula qui sopra, bastava porre la velocità angolare della sbarra nulla in $theta$ uguale a 0... Ma visto che volevi avere le idee un po' più chiare...

[Sk_Anonymous]

C'era un modo molto più semplice per ricavarsi la velocità del blocco nella configurazione finale se il vincolo fosse bilatero: si nota che la componente orizzontale della velocità del centro di massa del blocco + l'asta rispetto ad un sistema di riferimento solidale al blocco è istantaneamente nulla (relazione cinematica), così come la componente orizzontale dello stesso rispetto a terra (si ricava dalla prima equazione cardinale); quindi il blocco è istantaneamente fermo rispetto al piano.
PS: si è dato per scontato che il vincolo tra i due corpi sia in grado di decelerare il blocco , il testo dice che l'asta è appoggiata al blocco.

[cavallipurosangue]

No, mi sembra proprio...

"Un estremo della bacchetta è vincolato a muoversi senza attrito in una scanalatura verticale praticata lungo una faccia verticale del blocco".

Poi non ho capito...Tu credi che il blocco rimanga sempre fermo...?

[*brssfn76]

grazie mille

[Sk_Anonymous]

Non sempre , solo istantaneamente nella configurazione che ci interessa.
La componente orizzontale della velocità del centro di massa rispetto a terra rimane nulla come è inizialmente, su questo credo che siamo daccordo.
Se la componente orizzontale della velocità della bacchetta rispetto ad un sistema di riferimento solidale al blocco è istantaneamente nulla allora lo sarà anche quella del centro di massa dell'intero sistema; quindi il blocco è fermo rispetto al piano.
A questo punto basta vedere come si muove la bacchetta rispetto al blocco nella configurazione in cui questa è orizzontale.

[cavallipurosangue]

Ok, capito, era quindi quello che suggerivo come postilla.

Basta infatti usare la prima formula che ho scritto (traduce quello che dici anche tu), imponendo velocità ed angolo nulle...

[*brssfn76]

"cavallipurosangue": cm$

Per il secondo punto ho usato la prima equazione e la conservazione dell'energia meccanica, trovando:

$dotx(theta)=sqrt((gL)/(M+m)(sintheta_0-sintheta)/(3m+5/2(M+m)1/(sin^2theta)))$

scusa cavallipurosangue........stavo cercando di ricavarmi
la formula dell'energia meccanica che tu hai scritto nella forma finale.
Purtroppo non riesco a ricavarmela
scrivo i contributi cinetici del cm dell'asta e del cm del blocco quindi il potenziale
del cm dell'asta in pratica:

$1/2m/(M+m)(L/2dotthetasintheta)^2+1/2Mdotx^2-m/(m+M)gL/2sintheta=0$

è sbagliato?

[cavallipurosangue]

Il mio bilancio è:

$mgL/2(sintheta_0-sintheta)=1/2Mdotx^2+1/2m(dotxveci-dot\thetaL/2costhetavecj+dotthetaL/2sinthetaveci)^2+1/12mL^2dottheta^2$

[*brssfn76]

cosa sarebbe $1/12 mLdottheta$?

[cavallipurosangue]

L'energia rotazionale dell'asta attorno al centro di massa.

Ho usato il Teorema di Kònig.

EDIT: mi sono scordato l'1/2... non è 1/12, ma 1/24...

[*brssfn76]

quindi 1/12mL^2 è solo il momento di inerzia rispetto al cm della sbarretta?

[cavallipurosangue]

Esatto