Centro di massa
ciao a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio...come si fa? qualcuno può aiutarmi? grazie...
trovare il centro di massa di una semisfera di densità uniforme.
ciao!
trovare il centro di massa di una semisfera di densità uniforme.
ciao!
Risposte
vanno risolte 3 equazioni integrali, per le tre coordinate. però nota che la simmetria radiale ti permette, se la semisfera è posizionata con il diametro sul piano xy e il centro nell'origine, di dire che la x e la y del centro di massa sono 0. ora devi trovare la z. io ho ragionato così, però è la prima volta che mi cimento con un problema del genere, e forse ci sono degli errori, controlla tu!
con quei "t" mi sono perso (o anche prima) ...
forse stai calcolando il momento M rispetto all'origine;
alla fine, arrivi a
M = pi r^4 rho / 4 ?
se sì, dividendolo per la massam = 4 pi r^3 rho / 6
ottieni il braccio, cioè la distanza del baricentro dall'origine:
z_b = M/m = 3 r / 8 tony
forse stai calcolando il momento M rispetto all'origine;
alla fine, arrivi a
se sì, dividendolo per la massa
ottieni il braccio, cioè la distanza del baricentro dall'origine:
Be' il mio calcolo era intuitivo, non ho seguito un ragionamento particolare: ho imposto che il momento del primo ordine rispetto a un punto z incognito (mi sono ristretto all'asse verticale) fosse uguale da un lato e dall'altro... è un ragionamento valido?
il ragionamento non fa una grinza: è uno dei modi di imporre l'equilibrio dei momenti;
quel che mi lascia perplesso sono le formule
come dicevo altrove, non è il mio mestiere correggere i lavori degli altri, e mi ci muovo impacciatamente;
qui, secondo me quel "3" che tu attribuisci prima a z^2 e poi a t^2 non c'entra per niente; poi, invertirei il segno del secondo membro degli integrali, visto che il momento "tira" dalla parte opposta.
e prova ad andare in fondo al calcolo, così verifichiamo il risultato che ti davo ...
tony
quel che mi lascia perplesso sono le formule
come dicevo altrove, non è il mio mestiere correggere i lavori degli altri, e mi ci muovo impacciatamente;
qui, secondo me quel "3" che tu attribuisci prima a z^2 e poi a t^2 non c'entra per niente; poi, invertirei il segno del secondo membro degli integrali, visto che il momento "tira" dalla parte opposta.
e prova ad andare in fondo al calcolo, così verifichiamo il risultato che ti davo ...
tony
Vedo in ritardo questo topic, ma vorrei osservare che,
data la simmetria della semisfera attorno ad un asse,
la posizione del baricentro deve stare su quest'asse
ad una distanza dal centro calcolabile con lo stesso
metodo illustrato nel topic "il peso dell'anello"
(baricentro di un semicerchio).
A conti fatti, questa distanza e' = 4*r/(3*pi)
dove r e' il raggio della sfera.
(se non e' chiaro, sono disponibile per i dettagli)
G.Schgör
data la simmetria della semisfera attorno ad un asse,
la posizione del baricentro deve stare su quest'asse
ad una distanza dal centro calcolabile con lo stesso
metodo illustrato nel topic "il peso dell'anello"
(baricentro di un semicerchio).
A conti fatti, questa distanza e' = 4*r/(3*pi)
dove r e' il raggio della sfera.
(se non e' chiaro, sono disponibile per i dettagli)
G.Schgör
i conti non mi tornano, probabilmente ha ragione tony... mi spiace di avervi portato fuori strada!
quote:
... A conti fatti, questa distanza e' = 4*r/(3*pi) dove r e' il raggio della sfera. [g.schgor]
scusa, ma non mi quadra; per sicurezza descrivo la mia prova:
semisfera piena di raggio r poggiata sul tavolo (x,y) a mo' di scodella rovesciata.
secondo me, il baricentro è sull'asse dell' emisfero
e la sua altezza dal tavolo è: z_b = r*3/8
tony
tony mi spieghi come l'hai calcolato?
Poi ti dico la mia.
G.Schgör
Poi ti dico la mia.
G.Schgör
dovrei rispondere che ho fatto il calcolo con un "lapalissiano metodo", tipo "scrivere una parametrizzazione regolare della superficie e poi calcolare il detrminante del jacobiano e integrarlo rispetto alle variabili ...", come avevamo visto nel topic "Il peso dell'anello"; ma poi, ... [:)]
allora, scherzi a parte:
1 - emisfera con centro in (0,0,0), raggio r e z>=0
2 - la seziono a quota z ottenendo un dischetto "quasi cilindrico" di:
2.1 - spessore infinitesimo = dz
2.2 - raggio r_d = sqrt(r2-z^2)
2.3 - superficie di base: S = pi*r_d^2 = pi(r^2-z^2)
2.4 - volume infinitesimo: dV = S*dz = pi(r^2-z^2)dz
2.5 - massa infinitesima: dm = rho*dV = rho*pi(r^2-z^2)dz (dove rho=densità)
2.6 - essendo rho uniforme, il baricentro del dischetto "cilindrico" si trova sull'asse z a metà dello spessore, cioè a quota z+dz/2
2.7 - poichè nelle espressioni che seguono questo termine dz/2 entrerà a far prodotto con dz, generando un infinitesimo di ordine superiore da trascurare, lo trascuro già qui, disinvoltamente: quota baricentro dischetto = z
a questo punto, posso scegliere fra diverse soluzioni:
A) visto che so la formula della massa dell'emisfera m = rho*pi*r^3*4/6, calcolo il momento M_c dell'emisfera rispetto al centro, e lo dividerò per la massa ricavandone il braccio, cioè la quota del baricentro b = M_c/m
3.a - mom. elementare del dischetto risp. al centro: dM_c = dm*z = rho*pi(r^2-z^2)*z*dz
4.a - mom. dell'emisfera risp. al centro: M_c = int(z=0, r; dM_c) =
= rho*pi*int(z=0, r; (r^2-z^2)*z*dz) = rho*pi*(r^4/2 - r^4/4) = rho*pi*r^4/4
e
5.a quota b = M_c/m = (rho*pi*r^4/4)/(rho*pi*r^3*4/6) = r*3/8
-- -- -- -- -- -- -- --
oppure (sulla falsariga di Elijah82, ma con un integrale unico)
B) calcolo il momento dell'emisfera rispetto ad un punto di quota incognita (0, 0, b)
e impongo che sia nullo, ricavandone la quota del baricentro, b:
3.b - mom. elementare del dischetto risp. a b: dM_b = dm*(z-b) = rho*pi(r^2-z^2)(z-b)dz
4.b - mom. dell'emisfera risp. a b: M_b = int(z=0, r; dM_b) =
= rho*pi*int(z=0, r; (r^2-z^2)(z-b)dz) =
= int(z=0, r; (r^2*z -r^2*b -z^3 +z^2*b)dz) = r^4/4 - r^3*b*2/3
5.b - impongo M_b = 0, ottenendone b=r*3/8
tony
*** CORREZIONE A POSTERIORI ***
senza variare il testo o i calcoli ho:
- numerato i paragrafi
- aggiunto le considerazioni 2.6 e 2.7, date per scontate nella prima stesura
allora, scherzi a parte:
1 - emisfera con centro in (0,0,0), raggio r e z>=0
2 - la seziono a quota z ottenendo un dischetto "quasi cilindrico" di:
2.1 - spessore infinitesimo = dz
2.2 - raggio r_d = sqrt(r2-z^2)
2.3 - superficie di base: S = pi*r_d^2 = pi(r^2-z^2)
2.4 - volume infinitesimo: dV = S*dz = pi(r^2-z^2)dz
2.5 - massa infinitesima: dm = rho*dV = rho*pi(r^2-z^2)dz (dove rho=densità)
2.6 - essendo rho uniforme, il baricentro del dischetto "cilindrico" si trova sull'asse z a metà dello spessore, cioè a quota z+dz/2
2.7 - poichè nelle espressioni che seguono questo termine dz/2 entrerà a far prodotto con dz, generando un infinitesimo di ordine superiore da trascurare, lo trascuro già qui, disinvoltamente: quota baricentro dischetto = z
a questo punto, posso scegliere fra diverse soluzioni:
A) visto che so la formula della massa dell'emisfera m = rho*pi*r^3*4/6, calcolo il momento M_c dell'emisfera rispetto al centro, e lo dividerò per la massa ricavandone il braccio, cioè la quota del baricentro b = M_c/m
3.a - mom. elementare del dischetto risp. al centro: dM_c = dm*z = rho*pi(r^2-z^2)*z*dz
4.a - mom. dell'emisfera risp. al centro: M_c = int(z=0, r; dM_c) =
= rho*pi*int(z=0, r; (r^2-z^2)*z*dz) = rho*pi*(r^4/2 - r^4/4) = rho*pi*r^4/4
e
5.a quota b = M_c/m = (rho*pi*r^4/4)/(rho*pi*r^3*4/6) = r*3/8
-- -- -- -- -- -- -- --
oppure (sulla falsariga di Elijah82, ma con un integrale unico)
B) calcolo il momento dell'emisfera rispetto ad un punto di quota incognita (0, 0, b)
e impongo che sia nullo, ricavandone la quota del baricentro, b:
3.b - mom. elementare del dischetto risp. a b: dM_b = dm*(z-b) = rho*pi(r^2-z^2)(z-b)dz
4.b - mom. dell'emisfera risp. a b: M_b = int(z=0, r; dM_b) =
= rho*pi*int(z=0, r; (r^2-z^2)(z-b)dz) =
= int(z=0, r; (r^2*z -r^2*b -z^3 +z^2*b)dz) = r^4/4 - r^3*b*2/3
5.b - impongo M_b = 0, ottenendone b=r*3/8
tony
*** CORREZIONE A POSTERIORI ***
senza variare il testo o i calcoli ho:
- numerato i paragrafi
- aggiunto le considerazioni 2.6 e 2.7, date per scontate nella prima stesura
Il mio ragionamento e' stato questo:
Vi e' una simmetria rispetto all'asse z, quindi
il baricentro deve trovarsi sull'asse z.
E qualsiasi sezione contenente l'asse z e'un
semicerchio, ed il baricentro di un semicerchio e'
L'errore e' stato quello di considerare questo valore
coincidente a quello della semisfera (mentre le sezioni dz
sono circolari).
Ora provo a ricalcolare il tutto, poi ti so dire.
G.Schgör
Vi e' una simmetria rispetto all'asse z, quindi
il baricentro deve trovarsi sull'asse z.
E qualsiasi sezione contenente l'asse z e'un
semicerchio, ed il baricentro di un semicerchio e'
L'errore e' stato quello di considerare questo valore
coincidente a quello della semisfera (mentre le sezioni dz
sono circolari).
Ora provo a ricalcolare il tutto, poi ti so dire.
G.Schgör
Ho riprovato a calcolare la posizione del baricentro
tenendo conto delle superfici (pi*(r^2-z^2)) per ogni
dz (anziche' le 'corde (rad(r^2-z^2)) ed ho ottenuto
il tuo stesso valore di 3r/8.
In effetti la sola simmetria non era valida....
tenendo conto delle superfici (pi*(r^2-z^2)) per ogni
dz (anziche' le 'corde (rad(r^2-z^2)) ed ho ottenuto
il tuo stesso valore di 3r/8.
In effetti la sola simmetria non era valida....
e io ho aggiunto un paio di ininfluenti considerazioni alla mia chiaccherata del 28/04/2005 : 00:34:20.
tony
tony
Visto ke e' una domanda che riguarda l'argomento nn apro un altro post. [8D]
Perche' quando si parla di macchine/moto si parla sempre di baricentro e nn di centro di massa??? Cioe' su un oggetto "piccolo" come un'auto la forza di gravita' nn e' uguale in tutti i suoi punti???
Perche' quando si parla di macchine/moto si parla sempre di baricentro e nn di centro di massa??? Cioe' su un oggetto "piccolo" come un'auto la forza di gravita' nn e' uguale in tutti i suoi punti???
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