Centro di gravità, centro di massa, baricentro.
Salve a tutti. Poichè non ho trovato spegazioni circa la differenza tra centro di massa, centro di gravità e baricentro ho pensato di riportare qui alcune conclusioni che ho dedotto da varie fonti. Spero di essere chiaro e che qualcuno possa eventualmente modificare qualche mio errore.
p.s. non potendo approffondire oltre ritengo noti i concetti di risultante, momento polare risultante, sistemi di vettori applicati, asse centrale etc.
Consideriamo un sistema di punti materiali discreto \( (P_i,m_i) \) immerso in un campo gravitazionale \( \vec{g}\left ( P \right ) \). Consideriamo quindi il sistema \((P_i,m_i \vec{g}_i) \) delle forze peso applicate nei punti \( P_i \) e sia il suo risultante diverso da zero ( \(\vec{R}=\sum m_ig_i \neq \vec{0} \) ).
Il centro di gravità del sistema è il punto \( G \) con la seguente proprietà: il momento risultante del sistema è in equilibrio con il momento del risultante del sistema applicato in \( G \):
\[\vec{M}_O=(G-O)\times \vec{R} \rightarrow \sum \left [ \left ( P_i-O \right )\times m_i\vec{g}_i \right ]=\left ( G-O \right )\times \sum m_i\vec{g}_i \]
In generale quest'equazione non ammette soluzioni in quanto \(\vec{M}_O\) e \(\vec{R}\) non sono sempre ortogonali. Esistono però alcuni casi in cui \(\vec{M}_O\perp \vec{R} \). Ad esempio quando le forze sono tutte complanari: in questo caso l'equazione ammette infinite soluzioni (\(G\) è un punto qualsiasi sull'asse centrale parallelo ad \( \vec{R} \) ).
Particolarmente interessante è il caso in cui il campo gravitazionale è formato da vettori paralleli \( \vec{g}(P)=g(P) \hat{e} \) dove \( \hat{e} \) è la direzione comune dei vettori. In questo caso l'equazione ammette una sola soluzione:
\[ \sum \left [ \left ( P_i-O \right )\times m_ig_i \hat{e} \right ]=\left ( G-O \right )\times \sum m_ig_i \hat{e} \]
\[ \sum \left [ m_ig_i(P_i-O) \right ]\times \hat{e}=\sum \left [ m_ig_i \right ](G-O) \times \hat{e} \]
Ovvero semplificando:
\[ \sum \left [ m_ig_i(P_i-O) \right ]=\sum \left [ m_ig_i \right ](G-O) \]
\[(G-O)=\frac{\sum m_ig_i(P_i-O)}{\sum m_ig_i}\]
La posizione del centro di gravità di un sistema discreto in un campo gravitazionale parallelo è la media pesata delle posizioni dei punti (ove come pesi si scelgano le forze peso \( m_ig_i \) dei punti). Inoltre \( G \) è anche il centro di un sistema di vettori applicati paralleli.
Normalmente un campo gravitazionale non è parallelo; tuttavia se l'estensione del sistema sottoposto al campo è piccola rispetto al corpo che lo genera allora possiamo considerarlo, con buona approssimazione, parallelo.
In particolare il campo gravitazionale terrestre può essere ritenuto parallelo (per sistemi poco estesi) ed uniforme(per sistemi sufficientemente vicini alla superficie terrestre avremo \( g= cost= 9,81 m/s^2 \)); in queste condizioni il centro di gravità coincide con il centro di massa:
\[(G-O)=\frac{\sum m_i(P_i-O)}{\sum m_i}=\frac{1}{m}\sum m_i(P_i-O)\]
dove \(m\) è la massa totale del sistema. La posizione del centro di massa di un sistema discreto in un campo gravitazionale parallelo e uniforme è la media pesata delle posizioni dei punti (ove come pesi si scelgano le masse \( m_i\) dei punti). Notiamo che il centro di massa è indipendente dall'accelerazione di gravità \( g \), ovvero è funzione solo della distribuzione di massa. Pertanto il centro di massa di un sistema materiale può essere calcolato a prescindere dal fatto che il corpo sia immerso in un campo gravitazionale o meno.
Notiamo inoltre che il campo gravitazionale terrestre è parallelo e concorde, per cui certamente \(\vec{R}\neq \vec{0}\).
Quanto detto finora si può estendere al caso di un sistema materiale continuo.
Per un sistema materiale continuo immerso in un campo gravitazionale parallelo, il centro di gravità è:
\[G\left ( P \right )-O=\frac{\int _m g\left ( P \right )\left ( P-O \right )dm}{\int_m g\left ( P \right )dm}\]
Se il campo gravitazionale è anche uniforme il centro di massa è:
\[G\left ( P \right )-O=\frac{\int _m \left ( P-O \right )dm}{\int_m dm} =\frac{1}{m}\int _m \left ( P-O \right )dm\]
che, essendo \( dm=\rho (P) dV \) può anche scriversi:
\[ G\left ( P \right )-O=\frac{\int _V \rho(P) \left ( P-O \right )dV}{\int_V \rho(P) dV} \]
Se il corpo è omogeneo (densità \(\rho\) costante) il centro di massa coincide con il baricentro:
\[G\left ( P \right )-O=\frac{\int _V \left ( P-O \right )dV}{\int_V dV} =\frac{1}{V}\int _V \left ( P-O \right )dV\]
Il baricentro di un corpo dipende quindi dalla sola forma geometrica del sistema.
In definitiva: per un corpo omogeneo immerso in un campo parallelo (sistema poco esteso) ed uniforme baricentro, centro di massa e centro di gravità coincidono.
p.s. non potendo approffondire oltre ritengo noti i concetti di risultante, momento polare risultante, sistemi di vettori applicati, asse centrale etc.
Consideriamo un sistema di punti materiali discreto \( (P_i,m_i) \) immerso in un campo gravitazionale \( \vec{g}\left ( P \right ) \). Consideriamo quindi il sistema \((P_i,m_i \vec{g}_i) \) delle forze peso applicate nei punti \( P_i \) e sia il suo risultante diverso da zero ( \(\vec{R}=\sum m_ig_i \neq \vec{0} \) ).
Il centro di gravità del sistema è il punto \( G \) con la seguente proprietà: il momento risultante del sistema è in equilibrio con il momento del risultante del sistema applicato in \( G \):
\[\vec{M}_O=(G-O)\times \vec{R} \rightarrow \sum \left [ \left ( P_i-O \right )\times m_i\vec{g}_i \right ]=\left ( G-O \right )\times \sum m_i\vec{g}_i \]
In generale quest'equazione non ammette soluzioni in quanto \(\vec{M}_O\) e \(\vec{R}\) non sono sempre ortogonali. Esistono però alcuni casi in cui \(\vec{M}_O\perp \vec{R} \). Ad esempio quando le forze sono tutte complanari: in questo caso l'equazione ammette infinite soluzioni (\(G\) è un punto qualsiasi sull'asse centrale parallelo ad \( \vec{R} \) ).
Particolarmente interessante è il caso in cui il campo gravitazionale è formato da vettori paralleli \( \vec{g}(P)=g(P) \hat{e} \) dove \( \hat{e} \) è la direzione comune dei vettori. In questo caso l'equazione ammette una sola soluzione:
\[ \sum \left [ \left ( P_i-O \right )\times m_ig_i \hat{e} \right ]=\left ( G-O \right )\times \sum m_ig_i \hat{e} \]
\[ \sum \left [ m_ig_i(P_i-O) \right ]\times \hat{e}=\sum \left [ m_ig_i \right ](G-O) \times \hat{e} \]
Ovvero semplificando:
\[ \sum \left [ m_ig_i(P_i-O) \right ]=\sum \left [ m_ig_i \right ](G-O) \]
\[(G-O)=\frac{\sum m_ig_i(P_i-O)}{\sum m_ig_i}\]
La posizione del centro di gravità di un sistema discreto in un campo gravitazionale parallelo è la media pesata delle posizioni dei punti (ove come pesi si scelgano le forze peso \( m_ig_i \) dei punti). Inoltre \( G \) è anche il centro di un sistema di vettori applicati paralleli.
Normalmente un campo gravitazionale non è parallelo; tuttavia se l'estensione del sistema sottoposto al campo è piccola rispetto al corpo che lo genera allora possiamo considerarlo, con buona approssimazione, parallelo.
In particolare il campo gravitazionale terrestre può essere ritenuto parallelo (per sistemi poco estesi) ed uniforme(per sistemi sufficientemente vicini alla superficie terrestre avremo \( g= cost= 9,81 m/s^2 \)); in queste condizioni il centro di gravità coincide con il centro di massa:
\[(G-O)=\frac{\sum m_i(P_i-O)}{\sum m_i}=\frac{1}{m}\sum m_i(P_i-O)\]
dove \(m\) è la massa totale del sistema. La posizione del centro di massa di un sistema discreto in un campo gravitazionale parallelo e uniforme è la media pesata delle posizioni dei punti (ove come pesi si scelgano le masse \( m_i\) dei punti). Notiamo che il centro di massa è indipendente dall'accelerazione di gravità \( g \), ovvero è funzione solo della distribuzione di massa. Pertanto il centro di massa di un sistema materiale può essere calcolato a prescindere dal fatto che il corpo sia immerso in un campo gravitazionale o meno.
Notiamo inoltre che il campo gravitazionale terrestre è parallelo e concorde, per cui certamente \(\vec{R}\neq \vec{0}\).
Quanto detto finora si può estendere al caso di un sistema materiale continuo.
Per un sistema materiale continuo immerso in un campo gravitazionale parallelo, il centro di gravità è:
\[G\left ( P \right )-O=\frac{\int _m g\left ( P \right )\left ( P-O \right )dm}{\int_m g\left ( P \right )dm}\]
Se il campo gravitazionale è anche uniforme il centro di massa è:
\[G\left ( P \right )-O=\frac{\int _m \left ( P-O \right )dm}{\int_m dm} =\frac{1}{m}\int _m \left ( P-O \right )dm\]
che, essendo \( dm=\rho (P) dV \) può anche scriversi:
\[ G\left ( P \right )-O=\frac{\int _V \rho(P) \left ( P-O \right )dV}{\int_V \rho(P) dV} \]
Se il corpo è omogeneo (densità \(\rho\) costante) il centro di massa coincide con il baricentro:
\[G\left ( P \right )-O=\frac{\int _V \left ( P-O \right )dV}{\int_V dV} =\frac{1}{V}\int _V \left ( P-O \right )dV\]
Il baricentro di un corpo dipende quindi dalla sola forma geometrica del sistema.
In definitiva: per un corpo omogeneo immerso in un campo parallelo (sistema poco esteso) ed uniforme baricentro, centro di massa e centro di gravità coincidono.
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