Cenni di meccanica statistica
Sono alle prese con gli appunti dell'ultima lezione del corso di Fisica I sulla teoria cinetica dei gas, ma non ci capisco niente. Sarà perché forse perché si dà per scontato che al primo anno uno sappia maneggiare derivate parziali e coordinate sferiche? Mi piacerebbe saperlo fare, ma è argomento di Analisi II.
Per esempio, negli appunti ho scritto:
Ricordiamo un argomento di Maxwell per determinare la forma della densità di probabilità \(\displaystyle \rho(\bar{v}) \) per la velocità delle molecole di un gas a volume \(\displaystyle V \) e temperatura \(\displaystyle T \), nota anche la massa di una singola molecola.
Supponiamo ragionevolmente che le \(\displaystyle 3 \) componenti della velocità \(\displaystyle v_{x} \), \(\displaystyle v_{y} \) e \(\displaystyle v_{z} \) abbiano probabilità indipendenti. Allora \[\displaystyle \rho(\bar{v}^{2})=\rho(\bar{v}^{2}_{x})\rho(\bar{v}^{2}_{y})\rho(\bar{v}^{2}_{z}) \]
Consideriamo il caso \(\displaystyle v_{z}=0 \) e deriviamo rispetto a \(\displaystyle v^{2}_{x} \); si ha \[\displaystyle \frac{\partial \rho({v}^{2}_{x} + {v}^{2}_{y})}{\partial v^{2}_{x}}=\rho(v^{2}_{y}) \frac{\partial \rho ({v}^{2}_{x})}{\partial v^{2}_{x}} \]
e se si divide poi tutto per \(\displaystyle \rho(v^{2}_{x}+v^{2}_{y})=\rho(v^{2}_{x})\rho(v^{2}_{y}) \) otteniamo \[\displaystyle \frac{\frac{\partial \rho(v^{2}_{x})}{\partial v^{2}_{x}}}{\rho(v^{2}_{x})}\equiv \text{costante} = -\frac{\beta}{2}m \]
Domanda 1: chi è \(\displaystyle \beta \) e da dove salta fuori? E perché quel rapporto è costante?
Poi ho scritto che:
\[\displaystyle \rho(v^{2}_{x})=ae^{\frac{-\beta}{2}v^{2}_{x} m} \]
Domanda 2: perché? Chi è \(\displaystyle a \) e da dove salta fuori?
Ringrazio anticipatamente.
Per esempio, negli appunti ho scritto:
Ricordiamo un argomento di Maxwell per determinare la forma della densità di probabilità \(\displaystyle \rho(\bar{v}) \) per la velocità delle molecole di un gas a volume \(\displaystyle V \) e temperatura \(\displaystyle T \), nota anche la massa di una singola molecola.
Supponiamo ragionevolmente che le \(\displaystyle 3 \) componenti della velocità \(\displaystyle v_{x} \), \(\displaystyle v_{y} \) e \(\displaystyle v_{z} \) abbiano probabilità indipendenti. Allora \[\displaystyle \rho(\bar{v}^{2})=\rho(\bar{v}^{2}_{x})\rho(\bar{v}^{2}_{y})\rho(\bar{v}^{2}_{z}) \]
Consideriamo il caso \(\displaystyle v_{z}=0 \) e deriviamo rispetto a \(\displaystyle v^{2}_{x} \); si ha \[\displaystyle \frac{\partial \rho({v}^{2}_{x} + {v}^{2}_{y})}{\partial v^{2}_{x}}=\rho(v^{2}_{y}) \frac{\partial \rho ({v}^{2}_{x})}{\partial v^{2}_{x}} \]
e se si divide poi tutto per \(\displaystyle \rho(v^{2}_{x}+v^{2}_{y})=\rho(v^{2}_{x})\rho(v^{2}_{y}) \) otteniamo \[\displaystyle \frac{\frac{\partial \rho(v^{2}_{x})}{\partial v^{2}_{x}}}{\rho(v^{2}_{x})}\equiv \text{costante} = -\frac{\beta}{2}m \]
Domanda 1: chi è \(\displaystyle \beta \) e da dove salta fuori? E perché quel rapporto è costante?
Poi ho scritto che:
\[\displaystyle \rho(v^{2}_{x})=ae^{\frac{-\beta}{2}v^{2}_{x} m} \]
Domanda 2: perché? Chi è \(\displaystyle a \) e da dove salta fuori?
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
In effetti, la dimostrazione lascia molto a desiderare. Per esempio, bisognerebbe distinguere $[F]$ da $[f]$. In ogni modo, si potrebbe argomentare così:
$[F(x^2+y^2+z^2)=f(x^2)f(y^2)f(z^2)] rarr$
$rarr [[((delF)/(del(x^2+y^2+z^2)))/F=((df)/(dx^2))/(f)] ^^ [((delF)/(del(x^2+y^2+z^2)))/F=((df)/(dy^2))/(f)] ^^ [((delF)/(del(x^2+y^2+z^2)))/F=((df)/(dz^2))/(f)]] rarr$
$rarr [((df)/(dx^2))/(f)=((df)/(dy^2))/(f)=((df)/(dz^2))/(f)]$
Poichè $[((df)/(dx^2))/(f)]$ dipende solo da $[x]$, $[((df)/(dy^2))/(f)]$ dipende solo da $[y]$, $[((df)/(dz^2))/(f)]$ dipende solo da $[z]$, l'ultima uguaglianza è vera solo quando i tre membri sono uguali ad una costante $[A]$:
$[((df)/(dx^2))/(f)=((df)/(dy^2))/(f)=((df)/(dz^2))/(f)=A] rarr [[f(x^2)=Be^(Ax^2)] ^^ [f(y^2)=Be^(Ay^2)] ^^ [f(z^2)=Be^(Az^2)]]$
In definitiva:
$[F(x^2+y^2+z^2)=B^3e^(A(x^2+y^2+z^2))]$
Per questo motivo bisognerebbe distinguere $[F]$ da $[f]$, nella prima compare $[B^3]$, nella seconda $$. Ho utilizzato le notazioni con le coordinate per non appesantire inutilmente le formule. I valori delle due costanti $[A]$ e $$ vengono determinati imponendo la condizione di normalizzazione e, se non ricordo male, una condizione fisica che rispetti l'evidenza sperimentale.
$[F(x^2+y^2+z^2)=f(x^2)f(y^2)f(z^2)] rarr$
$rarr [[((delF)/(del(x^2+y^2+z^2)))/F=((df)/(dx^2))/(f)] ^^ [((delF)/(del(x^2+y^2+z^2)))/F=((df)/(dy^2))/(f)] ^^ [((delF)/(del(x^2+y^2+z^2)))/F=((df)/(dz^2))/(f)]] rarr$
$rarr [((df)/(dx^2))/(f)=((df)/(dy^2))/(f)=((df)/(dz^2))/(f)]$
Poichè $[((df)/(dx^2))/(f)]$ dipende solo da $[x]$, $[((df)/(dy^2))/(f)]$ dipende solo da $[y]$, $[((df)/(dz^2))/(f)]$ dipende solo da $[z]$, l'ultima uguaglianza è vera solo quando i tre membri sono uguali ad una costante $[A]$:
$[((df)/(dx^2))/(f)=((df)/(dy^2))/(f)=((df)/(dz^2))/(f)=A] rarr [[f(x^2)=Be^(Ax^2)] ^^ [f(y^2)=Be^(Ay^2)] ^^ [f(z^2)=Be^(Az^2)]]$
In definitiva:
$[F(x^2+y^2+z^2)=B^3e^(A(x^2+y^2+z^2))]$
Per questo motivo bisognerebbe distinguere $[F]$ da $[f]$, nella prima compare $[B^3]$, nella seconda $$. Ho utilizzato le notazioni con le coordinate per non appesantire inutilmente le formule. I valori delle due costanti $[A]$ e $$ vengono determinati imponendo la condizione di normalizzazione e, se non ricordo male, una condizione fisica che rispetti l'evidenza sperimentale.
Ti ringrazio, speculor. Non appena avrò un attimo di tempo libero tornerò per approfondire e studiare meglio la questione.
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