Catenaria Omogenea
salve a tutti
cercavo degli appunti sulla catenaria omogenea dove sia dimostrato tutto il procedimento per trovarla. Se conoscete magari qualche libro dove sia affrontato l'argomento o avete appunti fatemi sapere
Grazie a tutti!
cercavo degli appunti sulla catenaria omogenea dove sia dimostrato tutto il procedimento per trovarla. Se conoscete magari qualche libro dove sia affrontato l'argomento o avete appunti fatemi sapere
Grazie a tutti!
Risposte
Non conosco libri del genere ma la tua domanda mi ha stimolato a inventarmi il modo per ricavare l'equazione della catenaria.
Poi se vuoi fidarti o meno... vedi un po' tu.
(nel caso in cui non ti piacesse il mio metodo puoi sempre utilizzare il procedimento riportato su wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Catenaria che è un po' diverso, anche se sostanzialmente simile, e porta allo stesso risultato)
Prendiamo una fune pesante appesa ai due estremi.
Consideriamo l'asse verticale passante per il punto più basso della curva e prendiamo in esame solo una parte di questa curva, in particolare la parte destra. La parte sinistra è simmetrica rispetto all'asse tracciato.
L'asse y sia l'asse di simmetria verticale tracciato e l'asse x sia la proiezione della fune sul terreno.
La curva pertanto parte con derivata nulla e poi è crescente con x.
La prima osservazione da fare è che in ogni punto della fune pensando di prenderne in considerazione un piccolo pezzo, questo viene sollecitato da una parte e dall'altra da forze uguali in modulo ma opposte in verso, e tangenti alla fune in quel punto. Queste forze opposte costituiscono la tensione della fune in quel punto.
La fune considerata (o meglio la parte considerata che è solo quella a destra dell'asse y) è soggetta alla forza di gravità, a una trazione orizzontale verso sinistra nel punto che interseca l'asse y, a una uguale trazione orizzontale verso destra nel punto dove è situato il sostegno all'estremo destro e a una forza verticale uguale e contraria al peso sempre sul sostegno all'estremo destro.
Poiché non vi sono forze di massa orizzontali lungo la fune, la componente orizzontale della tensione è costante e uguale alla forza che agisce sul sostegno estremo in senso orizzontale, e uguale pure alla tensione che la tiene unita sull'asse y all'altro pezzo di fune che non è stato considerato e che sta alla sinistra dell'asse y. Questa componente orizzontale costante della tensione la chiamiamo $T_(x0)$.
Poiché la tensione è in ogni punto una coppia di forze opposte e tangenti alla fune è facile scrivere la seguente uguaglianza che coinvolge le componenti orizzontale e verticale della tensione: [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{T_y}}}{{{T_x}}}[/tex].
Mentre la componente orizzontale della tensione si mantiene costante per quanto detto, così non avviene per la componente verticale, la quale cresce mano a mano che aumenta l'ascissa x perché deve sostenere il peso via via crescente della fune.
Consideriamo allora due pezzetti di fune contigui tra loro. Il pezzetto di sinistra è soggetto alla tensione allineata con la tangente in quel punto, il secondo, quello più a destra, è allineato con la tengente in quel punto che è leggermente diversa rispetto alla tangente nel punto precedente. Infatti la componente y della tensione del secondo pezzetto deve sostentere in più rispettto alla componente y della tensione del primo pezzetto il peso del secondo pezzetto, dunque mentre la componente y della tensione del primo pezzetto è [tex]{{T_y}}[/tex], la componente y della tensione del secondo pezzetto è [tex]{{T_y} + d{T_y}}[/tex], dove [tex]d{T_y} = g\rho dl[/tex] (peso del pezzetto di lunghezza dl).
Matematicamente la cosa si può scrivere utilizzando la derivata seconda:
[tex]\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{T_y}}}{{{T_x}}}} \right] = \frac{{\frac{{{T_y} + d{T_y}}}{{{T_x}}} - \frac{{{T_y}}}{{{T_x}}}}}{{dx}} = \frac{{d{T_y}}}{{{T_x}dx}} = \frac{{g\rho dl}}{{{T_{x0}}dx}} = \frac{{g\rho \sqrt {d{x^2} + d{y^2}} }}{{{T_{x0}}dx}} = \frac{{g\rho }}{{{T_{x0}}}}\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}}[/tex]
Ponendo per comodità [tex]\frac{{g\rho }}{{{T_{x0}}}} = k[/tex] la relazione di cui sopra si può scrivere:
[tex]\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = k\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}}[/tex]
ovvero elevando al quadrato
[tex]{\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)^2} - {k^2}{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = {k^2}[/tex]
Si può verificare che la soluzione di questa equazione differenziale è la funzione:
[tex]y = \frac{1}{k}\cosh \left( {kx} \right) + C[/tex]
ovvero posta uguale a $y_0$ l'ordinata del punto x=0 si ha:
[tex]C = {y_0} - \frac{1}{k}[/tex]
e cioè
[tex]y = {y_0} + \frac{1}{k}\left[ {\cosh \left( {kx} \right) - 1} \right][/tex]
(equazione della catenaria)
Determinazione dei parametri $k$ e $y_0$.
Ponendo che il vincolo del punto estremo al quale è attaccata la fune abbia ascissa x=L e ordinata y=H si ha la relazione:
[tex]H = {y_0} + \frac{1}{k}\left[ {\cosh \left( {kL} \right) - 1} \right][/tex]
Pertanto:
-se i dati del problema sono H, L e $y_0$ allora si ricava k e quindi si determina la tensione orizzontale fissa [tex]{{T_{x0}}}[/tex] che sollecita il sostegno estremo;
-se i dati del problema sono H, L e la tensione orizzontale fissa [tex]{{T_{x0}}}[/tex] di cui sopra, allora si determina $y_0$.
E noti k e $y_0$ l'equazione della catenaria è univocamente determinata.
Poi se vuoi fidarti o meno... vedi un po' tu.
(nel caso in cui non ti piacesse il mio metodo puoi sempre utilizzare il procedimento riportato su wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Catenaria che è un po' diverso, anche se sostanzialmente simile, e porta allo stesso risultato)
Prendiamo una fune pesante appesa ai due estremi.
Consideriamo l'asse verticale passante per il punto più basso della curva e prendiamo in esame solo una parte di questa curva, in particolare la parte destra. La parte sinistra è simmetrica rispetto all'asse tracciato.
L'asse y sia l'asse di simmetria verticale tracciato e l'asse x sia la proiezione della fune sul terreno.
La curva pertanto parte con derivata nulla e poi è crescente con x.
La prima osservazione da fare è che in ogni punto della fune pensando di prenderne in considerazione un piccolo pezzo, questo viene sollecitato da una parte e dall'altra da forze uguali in modulo ma opposte in verso, e tangenti alla fune in quel punto. Queste forze opposte costituiscono la tensione della fune in quel punto.
La fune considerata (o meglio la parte considerata che è solo quella a destra dell'asse y) è soggetta alla forza di gravità, a una trazione orizzontale verso sinistra nel punto che interseca l'asse y, a una uguale trazione orizzontale verso destra nel punto dove è situato il sostegno all'estremo destro e a una forza verticale uguale e contraria al peso sempre sul sostegno all'estremo destro.
Poiché non vi sono forze di massa orizzontali lungo la fune, la componente orizzontale della tensione è costante e uguale alla forza che agisce sul sostegno estremo in senso orizzontale, e uguale pure alla tensione che la tiene unita sull'asse y all'altro pezzo di fune che non è stato considerato e che sta alla sinistra dell'asse y. Questa componente orizzontale costante della tensione la chiamiamo $T_(x0)$.
Poiché la tensione è in ogni punto una coppia di forze opposte e tangenti alla fune è facile scrivere la seguente uguaglianza che coinvolge le componenti orizzontale e verticale della tensione: [tex]\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{T_y}}}{{{T_x}}}[/tex].
Mentre la componente orizzontale della tensione si mantiene costante per quanto detto, così non avviene per la componente verticale, la quale cresce mano a mano che aumenta l'ascissa x perché deve sostenere il peso via via crescente della fune.
Consideriamo allora due pezzetti di fune contigui tra loro. Il pezzetto di sinistra è soggetto alla tensione allineata con la tangente in quel punto, il secondo, quello più a destra, è allineato con la tengente in quel punto che è leggermente diversa rispetto alla tangente nel punto precedente. Infatti la componente y della tensione del secondo pezzetto deve sostentere in più rispettto alla componente y della tensione del primo pezzetto il peso del secondo pezzetto, dunque mentre la componente y della tensione del primo pezzetto è [tex]{{T_y}}[/tex], la componente y della tensione del secondo pezzetto è [tex]{{T_y} + d{T_y}}[/tex], dove [tex]d{T_y} = g\rho dl[/tex] (peso del pezzetto di lunghezza dl).
Matematicamente la cosa si può scrivere utilizzando la derivata seconda:
[tex]\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{T_y}}}{{{T_x}}}} \right] = \frac{{\frac{{{T_y} + d{T_y}}}{{{T_x}}} - \frac{{{T_y}}}{{{T_x}}}}}{{dx}} = \frac{{d{T_y}}}{{{T_x}dx}} = \frac{{g\rho dl}}{{{T_{x0}}dx}} = \frac{{g\rho \sqrt {d{x^2} + d{y^2}} }}{{{T_{x0}}dx}} = \frac{{g\rho }}{{{T_{x0}}}}\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}}[/tex]
Ponendo per comodità [tex]\frac{{g\rho }}{{{T_{x0}}}} = k[/tex] la relazione di cui sopra si può scrivere:
[tex]\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = k\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}}[/tex]
ovvero elevando al quadrato
[tex]{\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)^2} - {k^2}{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = {k^2}[/tex]
Si può verificare che la soluzione di questa equazione differenziale è la funzione:
[tex]y = \frac{1}{k}\cosh \left( {kx} \right) + C[/tex]
ovvero posta uguale a $y_0$ l'ordinata del punto x=0 si ha:
[tex]C = {y_0} - \frac{1}{k}[/tex]
e cioè
[tex]y = {y_0} + \frac{1}{k}\left[ {\cosh \left( {kx} \right) - 1} \right][/tex]
(equazione della catenaria)
Determinazione dei parametri $k$ e $y_0$.
Ponendo che il vincolo del punto estremo al quale è attaccata la fune abbia ascissa x=L e ordinata y=H si ha la relazione:
[tex]H = {y_0} + \frac{1}{k}\left[ {\cosh \left( {kL} \right) - 1} \right][/tex]
Pertanto:
-se i dati del problema sono H, L e $y_0$ allora si ricava k e quindi si determina la tensione orizzontale fissa [tex]{{T_{x0}}}[/tex] che sollecita il sostegno estremo;
-se i dati del problema sono H, L e la tensione orizzontale fissa [tex]{{T_{x0}}}[/tex] di cui sopra, allora si determina $y_0$.
E noti k e $y_0$ l'equazione della catenaria è univocamente determinata.
Consideriamo l'asse verticale passante per il punto più basso della curva e prendiamo in esame solo una parte di questa curva, in particolare la parte destra. La parte sinistra è simmetrica rispetto all'asse tracciato.
L'asse y sia l'asse di simmetria verticale tracciato e l'asse x sia la proiezione della fune sul terreno.
Come fai a dire che la curva è simmetrica? in generale se i prendo una fune e la appendo a due estremi di quote diverse "mi immagino" che non sia simmetrica. Sbaglio?
"avmarshall":Consideriamo l'asse verticale passante per il punto più basso della curva e prendiamo in esame solo una parte di questa curva, in particolare la parte destra. La parte sinistra è simmetrica rispetto all'asse tracciato.
L'asse y sia l'asse di simmetria verticale tracciato e l'asse x sia la proiezione della fune sul terreno.
Come fai a dire che la curva è simmetrica? in generale se prendo una fune e la appendo a due estremi di quote diverse "mi immagino" che non sia simmetrica. Sbaglio?
Intendo dire questo: la curva tu immaginala sempre simmetrica da $-\infty$ a $+\infty$. Se da una parte la fune è attaccata più in alto e dall'altra più in basso significa che prendi in considerazione solo quella parte della curva totale. E' il dominio x che vai a considerare che non è necessariamente sempre simmetrico, cioè invece di andare da $-L$ a $+L$ va da $-L_S$ a $+L_D$, ma la fune reale è sovrapponibile alla parte che ti interessa di una curva illimitata intrinsecamente simmetrica.
Per calcolare le condizioni al contorno di una fune attaccata ad altezze diverse occorre complicare solo un poco i calcoli finali del mio post, ma l'equazione così come è stata calcolata riguarda la curva illimitata generale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo