Catenaria

[nemo1]

Mi è stato posto un quesito relativo alla catenaria creata dalla catena dell'ancora di una barca: in che punto della catena devo posizionare un carico concentrato, per avere una catenaria equivalente a quella che si ha considerando il peso proprio della catena? ... mi sono spiegato male lo so, allora diciamo: ho una catena che pesa 100kg lunga 50m, se ora ne prendo una che pesa 40 kg, dove devo mettere un peso di 60kg per avere la stessa catenaria?
La formula della catenaria è abbastanza semplice nel caso di carico distribuito (peso al metro della catena), ma aggiungendo un peso concentrato come si fa?

[Pachito1]

Non si fa. Non mi pare che nella catenaria intervenga la massa della catena (supposta omogenea). Una catena di 60 Kg e una di 100 Kg si dispongono nella stessa maniera. Se inoltre aggiungi un peso in un punto, non hai più una catenaria, ma qualcos'altro.

[WonderP1]

Infatti la catenaria è la disposizione di un filo soggetto SOLO al proprio peso (quindi qualunque esso sia). Se prorpio vuoi aggiungere dei pesi mettili agli estremi, anche se mi sembra artificiosa come soluzione.

WonderP.

[goblyn]

Detta L la lunghezza di una fune orizzontale, x la coordinata lungo un asse congiungente gli estremi della fune e avente origine a metà strada tra gli estremi (a e -a), l'equazione della catenaria è:

y(x) = (1/k) [ cosh(kx) - cosh(ka) ]

k si ricava dall'equazione:

sinh(ka) = kL/2



Modificato da - goblyn il 18/02/2004 18:17:18

[Sk_Anonymous]

Leggicchiando su qualche testo di meccanica
razionale,ho visto che si parla di "catenaria"
anche se il peso p per unita' di lunghezza non e'
costante punto per punto,ma e' funzione dell'ascissa
del punto che si considera.Potrebbe essere (forse) questa la
strada per rispondere al quesito posto da Nemo.L'equazione
differenziale da cui dipende la forma della catenaria,nel
caso in questione,e' complicata e viene a dipendere da
alcune costanti,sulle quali si potrebbe agire per adeguare
la curva al problema di Nemo.Forse.
karl.

[Pachito1]

Si, è vero. Non esiste solo la catenaria con densità omogenea. Tuttavia l'idea di mettere un peso concentrato in un punto per ottenere una 'catenaria equivalente' è da escludere.

[nemo1]

Sì, non si ottiene una catenaria "equivalente", ma forse si può ottenere una curva che ci si avvicina in qualche modo. Potete postare l'equazione della catenaria con peso per unità di lunghezza non costante? non la trovo sul mio testo di mecc. razionale.
Grazie
Ps: Allora come si trova la curva dei cavi di un ponte sospeso? quello di carichi concentrati ne ha parecchi.

[Pachito1]

citazione:

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non la trovo sul mio testo di mecc. razionale

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Non la trovi perchè devi prima stabilire in che modo varia la densità per unità di lunghezza. Poi devi fare un bel po' di conti tipo quelli descritti in http://www.robertobigoni.it/Fisica/Catenaria/Catenaria.htm avvisandoti però che l'eq differenziale che verrà fuori può non essere risolvibile analiticamente (in generale non lo è).

citazione:

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Allora come si trova la curva dei cavi di un ponte sospeso?

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L'equazione differenziale che ottieni è di tutt'altra forma rispetto al caso della catenaria (anche se la curva soluzione può risultare simile).
In generale non si trova mai una 'formuletta' che descriva un caso anche poco più complicato della banale catenaria. Quello che si fa in genere è quello di impostare correttamente il problema, tradurlo in eq differenziali e poi si da in pasto al computer. Se tutto va bene, la magica scatoletta ti tira fuori numeri che rappresentano la tua soluzione. E non è poco.