Carrucola reale, masse, molla

[igol10]

"Un blocco di massa m1 è poggiato su un piano orizzontale liscio (senza nessun attrito) ed è connesso a sinistra con l'estremità di una molla ideale, di costante k, fissata per l'altra estremità ad un supporto fisso, e a destra ad un filo inestensibile ideale. Tale filo è parzialmente avvolto su una carrucola reale di massa M e raggio R, ed è connesso ad una seconda massa m2, verticalmente sospesa ad esso. Si consideri il sistema in condizione di equilibrio statico.
(1) Determinare l'allungamento della molla all'equilibrio.
Ora si supponga che la massa m2 venga spostata verso il basso, a partire dalla posizione di equilibrio, di h metri, quindi lasciata andare da ferma (istante t = 0s). Supponendo non vi sia slittamento tra filo e carrucola e che questa ruota intorno al suo centro senza attrito:
(2) Si dimostri che il moto della massa m1 è armonico e o si determini. Si calcoli inoltre il periodo di oscillazione delle masse.
(3) Si determinino, all'istante 0, le tensioni del filo a sinistra e a destra della carrucola e l'accelerazione di m1.



MIA SOLUZIONE: (sistema di riferimento come in figura)
Le equazioni cardinali per le 2 masse e la carrucola sono:
$ m_1a_1 = T_1 - kx $
$ N = m_1g $
$ Ialpha = R(T_2 - T_1) $
$ m_2a_2 = T_2 - m_2g $
Il filo è inestensibile quindi:
$ a_1 = Ralpha = -a_2 => a = a_1 = -a_2 = Ralpha $
Quindi:
$ m_1a = T_1 - kx $
$ Ia = R^2(T_2 - T_1) $
$ m_2a = - T_2 + m_2g $
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(1) Condizione di equilibrio statico: a = 0
$ T_1 = T2 = kx_{eq} = m_2g => x_{eq} = (m_2g)/k $
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(2) Devo dimostrare che il moto di m1 è armonico e trovarne il periodo:

$ T_2 = m_2g - m_2a $
$ Ia = R^2(T_2 - T_1) => T_1 = m_2g - (I+m_2R^2)/R^2a$

Quindi

$ m_1a = T_1 - kx = m_2g - (I+m_2R^2)/R^2a - kx => (m_1R^2 + m_2R^2 + I)/R^2a = m_2g - kx $

Praticamente ho già dimostrato che il moto è armonico:
$ (m_1R^2 + m_2R^2 + I)/R^2ddot(x) = - k(x-(m_2g)/k) $
Scrivo $ y = x-(m_2g)/k $ e dal momento che $ ddot(y) = ddot(x) $ ho:
$ (m_1R^2 + m_2R^2 + I)/R^2ddot(y) = - ky $
Quindi $ omega = sqrt((kR^2)/(m_1R^2 + m_2R^2 + I)) => T_p = (2pi)/omega $ è il periodo

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(3) Devo determinare le tensioni e l'accelerazione di m1 all'istante 0.
Per farlo devo risolvere l'equazione differenziale del moto armonico:

$ (m_1R^2 + m_2R^2 + I)/R^2ddot(y) = - ky => y(t) = x(t) - (m_2g)/k = Ccos(omegat + phi) $

Allora:
$ x(t) = (m_2g)/k + Ccos(omegat + phi) = x_{eq} + Ccos(omegat + phi)$

Devo determinare C e phi:
$ x(0) - x_{eq} = Ccos(phi) = h => C = h $
$ v(0) = -omegaCsin(phi) = 0 => phi = 0 $

Quindi:
$ x(t) = (m_2g)/k + hcos(omegat) => x(0) = x_{eq} + h $

Inoltre $ a(t) = ddot(x(t)) = -omega^2x(t) $
Allora all'istante 0:

$ a(0) = -omega^2x(0) = -omega^2(x_{eq} + h) $ accelerazione della massa m1

Poi risolvo per T1 e T2 sostituendo questa a(0) nelle equazioni cardinali:

$ T_1 = m_1a(0) + kx(0) = -m_1omega^2(x_{eq} + h) + k(x_{eq} + h) $
$ T_2 = m_2a(0) + m_2g = m_2omega^2(x_{eq} + h) + m_2g $
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Secondo voi la mia soluzione è giusta? Ho fatto qualche errore? Grazie mille per la pazienza e per l'aiuto!!

[igol10]

Molto probabilmente ho sbagliato nel calcolare x(0) nella soluzione dell'equazione differenziale.
Io ho scritto che:
$ x(0) = x_{eq} + h $
Ma in realtà la massa viene abbassata di h rispetto alla sua posizione di equilibrio, quindi:
$ x(0) = x_{eq} - h $