Carrucola Mobile con 3 masse

[SwitchArio]

Sto tentando di risolvere questo problema


Ho indicato con $T_1,T_2,T_3$ la tensione dei fili delle rispettive massette $m_1,m_2,m_3$ e con $x_1,x_2,x_3$ le rispettive posizioni, ho preso come direzione positiva quella che va verso il basso e ho impostato queste equazioni
$$
\begin{cases}
m_1\ddot x_1=-T_1+P_1\\
m_2\ddot x_2=T_2-P_2\\
m_3\ddot x_3=T_3\\
T_1+T_2=T_3\\
T_1 = T_2\\
\ddot x_1 = -\ddot x_2+\ddot x_3
\end{cases}
$$
L'ultima l'ho ricavata cercando il legame geometrico fra gli spostamenti delle masse $\Delta x_1= -\Delta x_2+\Delta x_3$.
Ho 6 equazioni in 6 incognite quindi si può risolvere ma il risultato deve essere $\ddot x_1 = 7\ ms^{-1}$ mentre risolvendo queste mi porta $\ddot x_1 = g$.

Non capisco cosa sto impostando male, potreste aiutarmi?

[Quinzio]

"SwitchArio":
L'ultima l'ho ricavata cercando il legame geometrico fra gli spostamenti delle masse $\Delta x_1= -\Delta x_2+\Delta x_3$.

Chiamiamo $l$ la lunghezza della corda tra $m_1$ e $m_2$.
Allora tra le posizioni verticali sussiste questa equazione:
$(x_1 - x_3) + (x_2 - x_3) = l$.

Deriviamo due volte, $l$ e' costante, quindi arriviamo a
$\ddot x_1 + \ddot x_2 -2 \ddot x_3 = 0$

Pero' neanche cosi' viene il risultato atteso: $7 \ m/s^2$

Soluzione:
https://matrixcalc.org/slu.html#solve-u ... 0%7D%7D%29

[SwitchArio]

Allora sono riuscito a risolverlo.
L'errore era nello scrivere $m_2\ddot x_2=T_2-P_2$, poichè il cambio di segno fra $\ddot x_1$ e $\ddot x_2$ lo considero già nell'equazione delle accelerazioni qui non devo cambiare segno alle forze, l'espressione corretta è $m_2\ddot x_2=-T_2+P_2$

Il tuo ragionamento è errato, non so bene perchè ma suppongo che per poter derivare tu debba considerare gli spostamenti $\Delta x$ e non le semplici posizioni $x$, anche perchè le tue sono solo posizioni geometriche non leggi orarie

Comunque grazie, il tuo messaggio mi ha fatto ricontrollare il problema quanto serviva per accorgermi dell'errore

[Noodles1]

"SwitchArio":
Il tuo ragionamento è errato ...

Veramente, il vincolo cinematico scritto da Quinzio si può ricavare anche imponendo che le due accelerazioni relative siano opposte:

$[ddotx_1-ddotx_3=-ddotx_2+ddotx_3] rarr [ddotx_1+ddotx_2-2ddotx_3=0]$

Insomma, impossibile che sia errato. Ad ogni modo, poichè quel valore riportato approssima $ddotx_3$:

$m_1ddotx_1=m_1g-T$

$m_2ddotx_2=m_2g-T$

$m_3ddotx_3=2T$

sicuramente un refuso.

[SwitchArio]

Ammetto che inizialmente pensavo ci fosse un errore nel ragionamento di Quinzio, ma riguardandolo meglio mi sembra corretto e sembra tutto molto logico. Tuttavia, il mio ragionamento porta alla soluzione del mio prof. Tuttavia anche il mio mi sembra molto logico, potreste aiutarmi a capire dove potrebbe essere l’errore nel mio ragionamento o qual è il passaggio illecito?