Carrucola in ascensore accelerato
Una carrucola, assimilabile a un disco rigido, di massa trascurabile, è disposta in un piano verticale all’interno della cabina di un ascensore e può ruotare senza incontrare attrito alcuno attorno ad un asse orizzontale solidale all’ascensore e passante per il centro C della carrucola.
Una fune inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza $L = 2.5$ m può scorrere, senza incontrare attrito alcuno, nella gola della carrucola. A un capo della fune è appeso un corpo puntiforme di massa $m = 4kg$, che pende verticalmente, mentre l’altro capo della fune è l’estremo di una molla, avente l’asse di simmetria principale in configurazione verticale e l’altra estremità ancorata a un punto fisso O del pavimento della cabina dell’ascensore, come mostrato in figura.
La molla ha costante elastica $k = 196N/m$ e lunghezza di riposo $l_0 = 0.8 m$. Inizialmente il corpo puntiforme si trova in condizioni di equilibrio statico.
All’istante t = 0 l’ascensore viene messo in moto verso l’alto lungo la direzione verticale con accelerazione costante $a_0 = 4.9 m/s^2$. Nell’ipotesi che l’attrito con l’aria sia trascurabile, determinare nel sistema di riferimento unidimensionale Oz, solidale all’ascensore:
a) il diagramma delle forze agenti sul corpo puntiforme nello stato iniziale di quiete;
b) la tensione iniziale della fune;
c) la lunghezza iniziale della molla;
d) la reazione iniziale sviluppata dall’asse orizzontale passante per il centro C della carrucola;
e) l’equazione del moto del corpo di massa m dopo che l’ascensore è stato messo in moto accelerato;
f) l’allungamento della molla in corrispondenza della nuova posizione di equilibrio del corpo di massa m;
g) la frequenza di oscillazione della molla;
h) la legge oraria del moto del corpo puntiforme
di massa m.
SOL.:
prendo l'asse z orientato verso l'alto
a)
m:$sumvecF_i=vec0$
su m agiscono la forza peso e la tensione del filo. $m: vecP+vecT=vec0$
La tensione però è uguale alla forza elastisca, quindi su m si ha:
$-mg + T=0$
$T=mg$
$kDeltax=mg$, da cui $Deltax=(mg)/k=0.2m$
b) $T=kDeltax=39.2 N$
c) $Deltax=0.2m$
d)
sull'asse passante per il centro C della carrucola agiscono le due tensioni. La carrucola a sua volta reagisce con la reazione $R_c$.
$C: vecT + vecT +vecR_c=vec0$
$vecR_c=-2vecT$ da cui $R_c=2kDeltax=78.4N$
e), f), g), h)
$a_t=4.9m/s^2$.
$ma'= sumvecF_i + vecF_t$, con $vecF_t=-mveca_t$
$ma' = vecP + vecT - ma_t$
$ma' = mg - kDeltax - ma_t$ pongo $Deltax=chi$ e $w^2=k/m$
$ddotchi + w^2chi = g-a_t$
Soluzione generale = X_p + X_0 (particolare più sol. dell'omogenea associata)
$X_p (ddotchi==0) = (g-a_t)/w^2$
$X_o=Asen(wt+phi)$, con $A, phi$ che si determinano dalle condizioni iniziali $chi(0)=Deltax$ , $docchi(0)=0$.
$A=(g-a_t)/w^2$ e $phi=3pi/2$.
$chi(t)=(g-a_t)/w^2 * [1-cos(wt)]$
la frequenza di oscillazione è $f=1/T=1/(2pisqrt(k/m))=1/(2pi*sqrt(49))=1/(14pi)$.
Una fune inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza $L = 2.5$ m può scorrere, senza incontrare attrito alcuno, nella gola della carrucola. A un capo della fune è appeso un corpo puntiforme di massa $m = 4kg$, che pende verticalmente, mentre l’altro capo della fune è l’estremo di una molla, avente l’asse di simmetria principale in configurazione verticale e l’altra estremità ancorata a un punto fisso O del pavimento della cabina dell’ascensore, come mostrato in figura.
La molla ha costante elastica $k = 196N/m$ e lunghezza di riposo $l_0 = 0.8 m$. Inizialmente il corpo puntiforme si trova in condizioni di equilibrio statico.
All’istante t = 0 l’ascensore viene messo in moto verso l’alto lungo la direzione verticale con accelerazione costante $a_0 = 4.9 m/s^2$. Nell’ipotesi che l’attrito con l’aria sia trascurabile, determinare nel sistema di riferimento unidimensionale Oz, solidale all’ascensore:
a) il diagramma delle forze agenti sul corpo puntiforme nello stato iniziale di quiete;
b) la tensione iniziale della fune;
c) la lunghezza iniziale della molla;
d) la reazione iniziale sviluppata dall’asse orizzontale passante per il centro C della carrucola;
e) l’equazione del moto del corpo di massa m dopo che l’ascensore è stato messo in moto accelerato;
f) l’allungamento della molla in corrispondenza della nuova posizione di equilibrio del corpo di massa m;
g) la frequenza di oscillazione della molla;
h) la legge oraria del moto del corpo puntiforme
di massa m.
SOL.:
prendo l'asse z orientato verso l'alto
a)
m:$sumvecF_i=vec0$
su m agiscono la forza peso e la tensione del filo. $m: vecP+vecT=vec0$
La tensione però è uguale alla forza elastisca, quindi su m si ha:
$-mg + T=0$
$T=mg$
$kDeltax=mg$, da cui $Deltax=(mg)/k=0.2m$
b) $T=kDeltax=39.2 N$
c) $Deltax=0.2m$
d)
sull'asse passante per il centro C della carrucola agiscono le due tensioni. La carrucola a sua volta reagisce con la reazione $R_c$.
$C: vecT + vecT +vecR_c=vec0$
$vecR_c=-2vecT$ da cui $R_c=2kDeltax=78.4N$
e), f), g), h)
$a_t=4.9m/s^2$.
$ma'= sumvecF_i + vecF_t$, con $vecF_t=-mveca_t$
$ma' = vecP + vecT - ma_t$
$ma' = mg - kDeltax - ma_t$ pongo $Deltax=chi$ e $w^2=k/m$
$ddotchi + w^2chi = g-a_t$
Soluzione generale = X_p + X_0 (particolare più sol. dell'omogenea associata)
$X_p (ddotchi==0) = (g-a_t)/w^2$
$X_o=Asen(wt+phi)$, con $A, phi$ che si determinano dalle condizioni iniziali $chi(0)=Deltax$ , $docchi(0)=0$.
$A=(g-a_t)/w^2$ e $phi=3pi/2$.
$chi(t)=(g-a_t)/w^2 * [1-cos(wt)]$
la frequenza di oscillazione è $f=1/T=1/(2pisqrt(k/m))=1/(2pi*sqrt(49))=1/(14pi)$.
Risposte
Ciao feddy,
Scusa ma non ho capito bene come hai trovato l'ampiezza A negli ultimi punti, potresti aggiungere qualche passaggio? Perché credo di essermi persa
Scusa ma non ho capito bene come hai trovato l'ampiezza A negli ultimi punti, potresti aggiungere qualche passaggio? Perché credo di essermi persa
ciao,
ho scritto l'equazione differenziale del moto: $ddotchi +w^2chi=g-a_t$.
Ora, l'integrale generale è dato dalla sol. dell'omogenea associata più una soluzione particolare.
L'omogenea associata ha soluzione nota $Asen(wt+phi)$, con $A$ e $phi$ da determinare.
La soluzione particolare si ottiene ponendo $ddotchi =0$, pertanto è $x_p=(g-a_t)/w^2$.
L'integrale generale: $chi(t)=Asen(wt+phi) +(g-a_t)/w^2 $
$A$ e $phi$ devono essere determinati dalle condizioni iniziali $chi(0)=Deltax$ e $dotchi(0)=0$.
Dalle condizioni iniziali ricavo i valori delle costanti $A=(g-a_t)/w^2$ e $phi=3pi/2.$
ho scritto l'equazione differenziale del moto: $ddotchi +w^2chi=g-a_t$.
Ora, l'integrale generale è dato dalla sol. dell'omogenea associata più una soluzione particolare.
L'omogenea associata ha soluzione nota $Asen(wt+phi)$, con $A$ e $phi$ da determinare.
La soluzione particolare si ottiene ponendo $ddotchi =0$, pertanto è $x_p=(g-a_t)/w^2$.
L'integrale generale: $chi(t)=Asen(wt+phi) +(g-a_t)/w^2 $
$A$ e $phi$ devono essere determinati dalle condizioni iniziali $chi(0)=Deltax$ e $dotchi(0)=0$.
Dalle condizioni iniziali ricavo i valori delle costanti $A=(g-a_t)/w^2$ e $phi=3pi/2.$
Ehi , feddy , ma $-mveca_t $ non è diretta in basso, come il peso ?
ciao,
l'ascensore accelera verso l'alto, pertanto la forza apparente $vecF_t=-mvec(a_t)$ è diretta verso il basso.
Mi sembra di aver impostato l'equazione del moto nel s.d.r non ineriziale dell'ascensore nel modo corretto... o sbaglio ?
Grazie per la risposta in ogni caso
l'ascensore accelera verso l'alto, pertanto la forza apparente $vecF_t=-mvec(a_t)$ è diretta verso il basso.
Mi sembra di aver impostato l'equazione del moto nel s.d.r non ineriziale dell'ascensore nel modo corretto... o sbaglio ?
Grazie per la risposta in ogni caso
Quando proietti l'equazione vettoriale sull'asse $z$ , come hai orientato l'asse $z$ ? Penso che la proiezione delle forze dovrebbe dare : $mg - k\Deltax + ma_t$ , con asse orientato verso il basso . Cioè , il corpo ha un peso apparente maggiore di $mg$ , pari a $m(g+a_t) $ , mi sembra . Come in un ascensore accelerato certo l'alto, dove un uomo in piedi su una bilancia da bagno vede marcare un peso maggiore.
Ciao, l'ho preso orientato verso l'alto !
Quindi, secondo la mia configurazione, avrei dovuto scrivere: $-mg -kDeltax - ma_t $ ?
Quindi, secondo la mia configurazione, avrei dovuto scrivere: $-mg -kDeltax - ma_t $ ?
Che pasticcio con questi segni!
La forza elastica mi pare sia diretta verso l'alto , almeno inizialmente. Quindi se non mi sbaglio avresti dovuto scrivere, proiettando le forze sull'asse $z$ orientato verso l'alto :
$-mg + k\Deltax - ma_t$
Controlla bene, non voglio indurti in errore.
La forza elastica mi pare sia diretta verso l'alto , almeno inizialmente. Quindi se non mi sbaglio avresti dovuto scrivere, proiettando le forze sull'asse $z$ orientato verso l'alto :
$-mg + k\Deltax - ma_t$
Controlla bene, non voglio indurti in errore.
ciao,
ma in questo modo avrei avuto problemi con l'equazione differenziale, o meglio, con la sua soluzione, che non sarebbe più quella di un oscillatore, se non sbaglio.
Intendo che, di solito, dovendo portare il $kDeltax$ al primo membro, dovrei avere questa situazione tipo: $ma' + kDeltax=...$ , cosa che con la tua impostazione quadra e funziona ... e poiché invertendo l'asse il risultato deve essere invariante, non capisco cosa non vada...
ma in questo modo avrei avuto problemi con l'equazione differenziale, o meglio, con la sua soluzione, che non sarebbe più quella di un oscillatore, se non sbaglio.
Intendo che, di solito, dovendo portare il $kDeltax$ al primo membro, dovrei avere questa situazione tipo: $ma' + kDeltax=...$ , cosa che con la tua impostazione quadra e funziona ... e poiché invertendo l'asse il risultato deve essere invariante, non capisco cosa non vada...
Grazie feddy:-)
Per quanto riguarda i segni a me sembrano corretti!
Io l'avevo impostata così:
$ -ma'=-mg+kDeltax+ma_{t} $
Considerando l'asse z rivolto verso l'alto, la nuova accelerazione per m sarà negativa perchè rivolta verso il basso, forza peso rivolta verso il basso, la tensione che è l'opposto della forza elastica sarà positiva e l'accelerazione dell'ascensore positiva perchè rivolta verso l'alto.
Per quanto riguarda i segni a me sembrano corretti!
Io l'avevo impostata così:
$ -ma'=-mg+kDeltax+ma_{t} $
Considerando l'asse z rivolto verso l'alto, la nuova accelerazione per m sarà negativa perchè rivolta verso il basso, forza peso rivolta verso il basso, la tensione che è l'opposto della forza elastica sarà positiva e l'accelerazione dell'ascensore positiva perchè rivolta verso l'alto.
Ma se l'asse $z$ è rivolto verso l'alto, allora davanti a $ma_t$ va il segno meno, poichè $-mveca_t=-ma_t$.
Quindi la corretta impostazione, a questo punto, dovrebbe essere: $-ma'=-mg+kDeltax-ma_t$.
In questo modo l'equazione differenziale del moto risulta del tutto equivalente a quella impostata da @Al Nilam
Chiedo conferma anche ad Al
Quindi la corretta impostazione, a questo punto, dovrebbe essere: $-ma'=-mg+kDeltax-ma_t$.
In questo modo l'equazione differenziale del moto risulta del tutto equivalente a quella impostata da @Al Nilam
Chiedo conferma anche ad Al
SE non ho preso lucciole per lanterne, io dico che l'equazione vettoriale del moto , nel riferimento accelerato e quindi non inerziale , dovrebbe essere :
$mveca_r = vecT + vecP + vecF_t $
dove i due vettori $vecP$ e $vecF_t$ sono diretti verso il basso , e $vecT$ è diretto verso l'alto, perché il filo è teso. Alla fine , l'equazione del moto dovrebbe risultare :
$ddot\chi + \omega^2\chi = g + a_t$
se al secondo membro metti il segno "meno" davanti a $a_t$ , ti rendi conto che , nel caso in cui l'accelerazione del sistema verso l'alto fosse di intensità pari a $g$ , avresti "zero" , anziché avere $2g$ ?
Ora non riesco a vedere dove è il 'bug' , e allora vediamo se arriva qualcuno più esperto di me con le molle, a cavarci di impaccio!
$mveca_r = vecT + vecP + vecF_t $
dove i due vettori $vecP$ e $vecF_t$ sono diretti verso il basso , e $vecT$ è diretto verso l'alto, perché il filo è teso. Alla fine , l'equazione del moto dovrebbe risultare :
$ddot\chi + \omega^2\chi = g + a_t$
se al secondo membro metti il segno "meno" davanti a $a_t$ , ti rendi conto che , nel caso in cui l'accelerazione del sistema verso l'alto fosse di intensità pari a $g$ , avresti "zero" , anziché avere $2g$ ?
Ora non riesco a vedere dove è il 'bug' , e allora vediamo se arriva qualcuno più esperto di me con le molle, a cavarci di impaccio!
$−ma'=−mg+kDeltax−mat$
$−ma' - kDeltax=−mg−mat.$
e togliendo i segni meno: $ma'+w^Deltax=m(g+a_t)$...che è l'equazione del moto da te scritta..
$−ma' - kDeltax=−mg−mat.$
e togliendo i segni meno: $ma'+w^Deltax=m(g+a_t)$...che è l'equazione del moto da te scritta..
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