Carrucola e dinamica del punto materiale

[feddy]

Salve a tutti,

Nella situazione in figura si ha un uomo, assimilabile a corpo puntiforme, di massa $M=75 \quad kg$ che scende verso il basso da un'altezza $H= 16 \quad m$ tenendosi aggrappato ad una fune ideale e di massa trascurabile che, scorrendo su una puleggia imperniata ad un asse orizzontale fisso passante per il suo centro C, regge un contrappeso puntiforme che ha massa $m = 50 \quad kg$. Sia la velocità iniziale dell'uomo, al tempo $t_0=0$, nulla e il contrappeso in quiete.

Si determini:
1. L'accelerazione dell'uomo durante la discesa.
2. Dopo quanto i due corpi si troveranno alla stessa quota.
3. La velocità con cui l'uomo arriva al suolo
4 La tensione dei fili
5. La reazione $R_C$ dell’asse orizzontale passante per il cento C della puleggia durante il moto di discesa dell’uomo verso il suolo

Svolgimento.

Vista la configurazione, ci si aspetta che l'uomo scenda con un'accelerazione minore di quella di gravità. Su ciascun corpo agiscono la forza peso e la tensione del filo, che è la stessa per entrambi i corpi e che chiamo $\vec{T}$.

Fisso un sistema di riferimento con l'origine al suolo.

Scrivendo $\sum_{i}\vec{F_{i}}=m \vec{a}$ e considerando che l'uomo avrà un'accelerazione rivolta verso il basso, si ha che

\begin{cases}
T- Mg = - Ma\\
T-mg=ma
\end{cases}

da cui si ricava che

$a=\frac{-g(m-M)}{M+m}$

Perciò $a=1.96 ms^{-2}$.

2. è possibile scrivere ora le equazioni del moto dei due corpi

$z_{m}(t)=\frac{1}{2} a t^2$

$z_{M}(t)=H- \frac{1}{2} a t^2$

Da cui segue che si troveranno alla stessa quota per $z_M = z_m (t)$ da cui $t=\sqrt(\frac{H}{a})$.

3.
La velocità dell'uomo è data da $v_M(t)= - at \mathbf{k}$.

Impatterà al tempo $t_C= \sqrt(\frac{2H}{a})$, da cui $v_{imp}=-a \sqrt(\frac{2H}{a}) \mathbf{k}$.

4. Dal primo punto si vede subito che la tensione è data da

$T=m(a+g)=m(1.96+9.81)=588.5 \quad N$

5.
Sul perno $C$ agiscono le tensioni dei due fili, entrambe dirette verso il basso. Pertanto, affinchè il sistema si in equilibrio, deve esserci una forza uguale e contraria alla risultante $\vec{R_C}=R_C \mathbf{k}$ di modulo

$R_C=2T=2m(a+g)=1177 \quad N$

Tutto corretto?

[mgrau]

Mi pare di sì; salvo che, nel punto 5, il sistema NON è in equilibrio! Il risultato va bene comunque, è la somma delle due tensioni.

[feddy]

Grazie mgrau per il check, e per giusta osservazione precisazione