Carrucola con masse e molla

[feddy]

Salve, chiedo delucidazioni su questo problema trovato in rete.

Si ha il seguente sistema, rappresentato in figura, dove un corpo A di massa $m Il sistema è in equilibrio statico.

Si determini, nel riferimento Oz
1. Il modulo della tensione del filo che collega i due corpi
2. L'allungamento della molla che collega A con O.
3. La reazione $vec(R_O)$ del gancio in O
4. La reazione $\vec(R_G)$ in G.

Svolgimento:

Considero il riferimento orientato verso l'alto.

Diagramma forze agenti

Sul corpo $B$ agisce la forza peso la tensione del filo $T$. Poiché non c'è moto si ha

B: $T- Mg=0$, perciò si ha che

$vec(T)=Mg \mathbf{i}$

Sul corpo $A$, in seguito all'allungamento della molla (poichè B è più pesante) si ha che agisce la forza elastica (che è di richiamo) ed è $\vec{F_{\text{el}}) = -k \Delta x \mathbf{i}$.
Oltre a questa, agiscono la forza peso, diretta verso il basso, e la tensione del filo, diretta verso l'alto.

Perciò $T-mg- k Deltax=0$, da cui

$Delta x=\frac{(M-m)g}{k}$

3.Qui mi è venuto un dubbio: in O il gancio subisce solamente l'azione della forza elastica oppure risente in qualche modo anche della forza peso?

A me verrebbe da dire che deve essere $\vec{R_O} + \vec{F_{el}=\vec(0)$ e perciò la reazione deve avere uguale modulo ed essere diretta in direzione opposta. Solo che la forza elastica è rivolta verso il basso, perciò la reazione dovrebbe risultare verso l'alto, cosa che mi pare strana. Dove mi sto perdendo?

4. In $G$ si ha che agiscono, in direzione verticale versoi il basso, le due tensioni $T_a=T_b=T$ determinate prima. Si deve avere che $\vec{R_G} + 2\vec{T}=0$.

Perciò

$\vec{R_C}=-2Mg \mathbf{i}$

[Studente Anonimo]

"feddy":
... in O il gancio subisce solamente l'azione ...

Solo della forza elastica. Se risentisse anche di una qualche forza gravitazionale si tratterebbe di un'azione a distanza che, almeno in questo caso, non ha assolutamente ragione di esistere, visto che le forze gravitazionali tra i corpi che costituiscono il sistema e tra il gancio e la Terra sono trascurabili. Vero è che l'intensità della forza elastica dipende dalla forza peso in gioco, intesa come azione a distanza tra i corpi del sistema di massa non trascurabile e la Terra.

[feddy]

Come al solito chiarissimo SE, grazie.

Perciò deve essere $|R_O|=|F_{el}|=k Delta x$, con direzione verso il basso.

Ora tutto dovrebbe essere apposto, confermi?

[Studente Anonimo]

Poichè si deve intendere la forza che il perno esercita sul sistema, la reazione in $C$ è diretta verso l'alto. Non sono sicuro si tratti di una svista. Ho l'impressione che tu abbia alcune difficoltà con il principio di azione e reazione. Il resto è corretto.

[feddy]

Ciao SE, credo che parliamo però di due cose diverse
Io mi riferisco alla reazione del gancio in $O$, che non capisco come possa essere rivolta verso l'alto.

Tu invece mi pare di capire che parli della reazione del perno della carrucola, che è sì rivolta verso l'alto (e di modulo $R_C=2T$), e che erroneamente avevo scritto rivolta verso il basso nel mio primo post.

Infatti sul tratto curvo della carrucola si ha che, per il principio di azione-reazione, agiscono le tensioni $T_1=T_2=T$ entrambe verso il basso. Pertanto la reazione del perno deve essere rivolta nel verso opposto alla risultante, e quindi verso l'alto.

[Shackle]

Chiedo scusa per l’intrusione.
Feddy, la molla in O tira il vincolo O verso l’alto. Quindi, il vincolo O tira la molla verso il basso, no? Cioè, la reazione del vincolo è diretta verso il basso.
Il principio di azione e reazione qui non c’entra proprio, perché la forza elastica e la reazione del vincolo sono applicate allo stesso “corpo” in O , e si fanno equilibrio.

[Studente Anonimo]

"Shackle":
Chiedo scusa per l’intrusione.

Ogni contributo è ben accetto.
Io sostenevo che la forza esercitata dal perno sulla carrucola in $C$ è diretta verso l'alto. Shackle sostiene che la forza esercitata dal gancio sulla molla in $O$ è diretta verso il basso. Mi sembra di capire che siamo tutti d'accordo.

"Shackle":
Il principio di azione e reazione qui non c’entra proprio, perché la forza elastica e la reazione del vincolo sono applicate allo stesso “corpo” in O , e si fanno equilibrio.

Non sono assolutamente d'accordo, probabilmente non ci capiamo. Il gancio solidale al terreno esercita una forza (di natura elettromagnetica e a corto raggio d'azione) sulla molla, quindi, su tutto il sistema, diretta verso il basso. Per il principio di azione e reazione la molla, quindi, tutto il sistema, esercita una forza opposta (di natura elettromagnetica e a corto raggio d'azione) sul gancio solidale al terreno diretta verso l'alto. Insomma, il principio di azione e reazione c'entra eccome. Mi meraviglio che tu non sia d'accordo.

"feddy":
... e che erroneamente avevo scritto rivolta verso il basso nel mio primo post ...

Proprio per questo mi sono appellato al principio di azione e reazione. Il perno esercita una forza sulla carrucola diretta verso l'alto. Per il principio di azione e reazione la carrucola esercita una forza opposta sul perno diretta verso il basso. Tuttavia, se non è esplicitamente scritto, la richiesta dell'esercizio deve intendersi riferita alla forza che il perno esercita sulla carrucola.