Carrucola con massa e raggio, corpi rigidi
Salve a tutti, ho un classico problema sui corpi rigidi e ho qualche dubbio. Una sfera di massa M e raggio R è poggiata su un piano orizzontale e si muove di puro rotolamento sotto l'azione di un filo inestensibile. Il filo passa attraverso una carrucola senza strisciare. All'altra estremità del filo è agganciata una massa inizialmente ferma posta a una certa distanza dal suolo. Devo determinare l'accelerazione del corpo che pende e la velocità con cui esso tocca terra. Per risolvere il primo punto ho impostato un sistema:
m1g-T1=ma1 (corpo che pende)
T2-f=Ma2 (corpo poggiato sul piano)
-I*alfa=(T2*R)-(f*R) (seconda equazione cardinale sul corpo poggiato)
-I*alfa=(T2*r)-(T1*r) (seconda equazione cardinale sulla carrucola)
Le mie domande sono:
1. E' giusto il sistema?
2. Quali considerazioni devo fare per rientrare nelle 4 incognite visto che così scritto il sistema presenta sei incognite? (considerando che è un moto di puro rotolamento potrei scrivere che l'accelerazione della sfera è =alfa*R, è giusto? Poi?)
Ho un po di confusione sulle tensioni e sulle accelerazioni quando la carrucola ha massa e raggio.
Grazie a tutti anticipatamente.
m1g-T1=ma1 (corpo che pende)
T2-f=Ma2 (corpo poggiato sul piano)
-I*alfa=(T2*R)-(f*R) (seconda equazione cardinale sul corpo poggiato)
-I*alfa=(T2*r)-(T1*r) (seconda equazione cardinale sulla carrucola)
Le mie domande sono:
1. E' giusto il sistema?
2. Quali considerazioni devo fare per rientrare nelle 4 incognite visto che così scritto il sistema presenta sei incognite? (considerando che è un moto di puro rotolamento potrei scrivere che l'accelerazione della sfera è =alfa*R, è giusto? Poi?)
Ho un po di confusione sulle tensioni e sulle accelerazioni quando la carrucola ha massa e raggio.
Grazie a tutti anticipatamente.
Risposte
L'accelerazione lineare della massa pendente, e quindi di tutto il filo, è sempre la stessa : $a$ .
Ma siccome il filo si svolge dalla periferia della sfera posta sul piano, l'accelerazione angolare della sfera è : $a/(2R)$, dove $R$ è il raggio della sfera.
L'accelerazione del CM della sfera è la metà di $a$ : considera che il centro di istantanea rotazione è il punto di contatto tra sfera e piano.
L'accelerazione angolare della carrucola é : $a/r_c$ .
Perciò, rivedi un po' tutto quello che hai scritto.
Ma siccome il filo si svolge dalla periferia della sfera posta sul piano, l'accelerazione angolare della sfera è : $a/(2R)$, dove $R$ è il raggio della sfera.
L'accelerazione del CM della sfera è la metà di $a$ : considera che il centro di istantanea rotazione è il punto di contatto tra sfera e piano.
L'accelerazione angolare della carrucola é : $a/r_c$ .
Perciò, rivedi un po' tutto quello che hai scritto.
Tante grazie per la risposta. Quindi il sistema sarà:
mg-T1=ma
T2-f=Ma
-I*alfa=(T2*R)-(f*R)
-I*alfa=(T2*r)-(T1*r)
dove però l'acc angolare della sfera è a/2R mentre per la carrucola è a/r. Credo di esserci fino a qui. Ho ancora un dubbio però: quando la carrucola ha massa e raggio allora le tensioni sono diverse, è giusto? Per le accelerazioni come si ragiona? Spero di essermi espresso bene. Ringrazio ancora e chiedo scusa per il disturbo.
mg-T1=ma
T2-f=Ma
-I*alfa=(T2*R)-(f*R)
-I*alfa=(T2*r)-(T1*r)
dove però l'acc angolare della sfera è a/2R mentre per la carrucola è a/r. Credo di esserci fino a qui. Ho ancora un dubbio però: quando la carrucola ha massa e raggio allora le tensioni sono diverse, è giusto? Per le accelerazioni come si ragiona? Spero di essermi espresso bene. Ringrazio ancora e chiedo scusa per il disturbo.
Ti ho già spiegato come si ragiona con le accelerazioni.
Il tuo sistema non va ancora bene, devi appunto esprimere tutto in funzione della accelerazione della massa sospesa.
Se una puleggia ha massa, per darle accelerazione angolare le due tensioni devono essere diverse, è il loro momento rispetto all'asse che causa l'accelerazione angolare.
Il tuo sistema non va ancora bene, devi appunto esprimere tutto in funzione della accelerazione della massa sospesa.
Se una puleggia ha massa, per darle accelerazione angolare le due tensioni devono essere diverse, è il loro momento rispetto all'asse che causa l'accelerazione angolare.
Allora se ho ben capito:
mg-T1=mac (dove ac è l'accelerazione del corpo che pende)
T2-f=M(ac/2)
-I*(ac/2R)=(T2*R)-(f*R)
-I*(ac/r)=(T2*r)-(T1*r)
E' giusto così? Chiedo scusa per l'insistenza ma sono ancora all'inizio e sto cercando di imparare.
mg-T1=mac (dove ac è l'accelerazione del corpo che pende)
T2-f=M(ac/2)
-I*(ac/2R)=(T2*R)-(f*R)
-I*(ac/r)=(T2*r)-(T1*r)
E' giusto così? Chiedo scusa per l'insistenza ma sono ancora all'inizio e sto cercando di imparare.
$ma = mg - T_1$
$T_1r - T_2r = I_c*a/r$
$T_2 + f = Ma/2$
$T_2R -fR = I_sa/(2R)$
$T_1r - T_2r = I_c*a/r$
$T_2 + f = Ma/2$
$T_2R -fR = I_sa/(2R)$
Grazie mille. Chiedo scusa ma ho una ultima domanda: perchè è T2+f e non T2-f? Perchè c'è l'azione contemporanea di una forza e di un momento?
Fai un disegno e mettici le forze. Il piano agisce sulla sfera con una forza, che a priori non sappiamo. La mettiamo equiversa a $T_2$, poi dalla soluzione numerica vediamo che cosa viene fuori.
Si, agisce sia una forza, la $T_2$ , sia un momento , pari a $T_2*R$ rispetto al CM. Se spostiamo $T_2$ nel CM, ci dobbiamo aggiungere questo momento.
Si, agisce sia una forza, la $T_2$ , sia un momento , pari a $T_2*R$ rispetto al CM. Se spostiamo $T_2$ nel CM, ci dobbiamo aggiungere questo momento.
Quindi se f alla fine risulterà positivo allora vuol dire che si troverà lungo la direzione delle x crescenti; se risulterà negativo allora si troverà lungo le x decrescenti e quindi opposto alla tensione. Giusto? Una volta visto poi che faccio?
Senti, prima di tutto rinfrescati le idee sul moto di rotolamento , leggendo questa dispensa e in particolare la pag. 21 :
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... rigido.pdf
poi leggiti anche questa discussione :
viewtopic.php?f=19&t=132351&hilit=+rotolamento+puro#p847483
Una volta compreso come funziona il rotolamento di un corpo sottoposto a una forza più un momento, risolvi il sistema che ti ho dato, altrimenti non troverai mai le 4 incognite, che sono : l'accelerazione $a$, le due tensioni $T_1$ e $T_2$ , e la forza di attrito $f$ tra sfera e piano. Te lo dico io : la forza di attrito è diretta come $T_2$ .
È questo che devi fare : risolvere il sistema.
Ciao.
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... rigido.pdf
poi leggiti anche questa discussione :
viewtopic.php?f=19&t=132351&hilit=+rotolamento+puro#p847483
Una volta compreso come funziona il rotolamento di un corpo sottoposto a una forza più un momento, risolvi il sistema che ti ho dato, altrimenti non troverai mai le 4 incognite, che sono : l'accelerazione $a$, le due tensioni $T_1$ e $T_2$ , e la forza di attrito $f$ tra sfera e piano. Te lo dico io : la forza di attrito è diretta come $T_2$ .
È questo che devi fare : risolvere il sistema.
Ciao.
Grazie mille.
Ti ringrazio infinitamente per la tua pazienza. Scusa ancora per il disturbo.
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