Carrucola con cono
Ecco un altro problemino interessante:
Abbiamo una carrucola ideale con appeso da una parte un cono forato di massa $M$, altezza $H$ raggio esterno $RB$ e raggio interno $RA$, e dall'altra uan semplice massa $m$, si richiede l'accelerazione della massa $m$ nel sistema fisso rispetto a terra. Ecco una rappresentazione del sistema all'istante iniziale:
Abbiamo una carrucola ideale con appeso da una parte un cono forato di massa $M$, altezza $H$ raggio esterno $RB$ e raggio interno $RA$, e dall'altra uan semplice massa $m$, si richiede l'accelerazione della massa $m$ nel sistema fisso rispetto a terra. Ecco una rappresentazione del sistema all'istante iniziale:
Risposte
Non vorrei sembrare pignolo 
, ma mi sembra che, anche in questo caso, manchi un dato necessario: il raggio di avvolgimento del cavo sul cono. A meno che, interpretando il disegno, non sia da considerarsi $R/2$?
Inoltre per precisazione: il cavo è arrotolato e fissato sul cono?
ciao
, ma mi sembra che, anche in questo caso, manchi un dato necessario: il raggio di avvolgimento del cavo sul cono. A meno che, interpretando il disegno, non sia da considerarsi $R/2$?Inoltre per precisazione: il cavo è arrotolato e fissato sul cono?
ciao
eh no, c'è solo una possibile circonferenza di avvolgimento tale che il cono resti in equilibrio... Cmq il cavo è fissato sul cono ed arrotolato attorno ad esso.
Scusa ma non è chiaro cosa intendi per equilibrio, visto che stai chiedendo una accelerazione!
Allora diciamo che il cavo deve essere considerato nella posizione in cui l'atto di moto iniziale del cono conservi la direzione dell'asse. In questa ipotesi il problema è effettivamente molto più semplice.
ciao
Allora diciamo che il cavo deve essere considerato nella posizione in cui l'atto di moto iniziale del cono conservi la direzione dell'asse. In questa ipotesi il problema è effettivamente molto più semplice.
ciao
Io chiedo un'accelerazione verticale, mentre è ovvio che affinchè il cono non caschi all'indietro per esempio deve esser legato all'altezza del suo cdm. Ti torna?
Si è chiaro cosa vuoi dire. Tuttavia, il problema potrebbe essere risolto anche se il cono 'cascasse' all'indietro.
Comunque basta intederci.
Comunque basta intederci.
Ci provo!
Posto:
$\rho=R_B-1/4 ((R_B+R_A)(R_B^2+R_A^2))/(R_B^2+R_A^2+R_B*R_A)$ il raggio di avvolgimento della fune,
$I=3/10 M (R_B^2-R_A^2)$ il momento d'inerzia di massa del cono attorno all'asse
$\mu =I/\rho^2$ massa equivalente
a me risulta questo:
$a=(m*\mu+M*m-M*\mu)/(m*\mu+M*m+M*\mu)g$
positiva se verso il basso.
Torna?
Posto:
$\rho=R_B-1/4 ((R_B+R_A)(R_B^2+R_A^2))/(R_B^2+R_A^2+R_B*R_A)$ il raggio di avvolgimento della fune,
$I=3/10 M (R_B^2-R_A^2)$ il momento d'inerzia di massa del cono attorno all'asse
$\mu =I/\rho^2$ massa equivalente
a me risulta questo:
$a=(m*\mu+M*m-M*\mu)/(m*\mu+M*m+M*\mu)g$
positiva se verso il basso.
Torna?
A me non torna così, ma ci sta che mi sbagli, cmq non capisco il momento d'inerzia del cono. Perchè quel $pi$? Poi il raggio di avvolgimento non mi torna per nulla così, am molto piu semplice, infatti è $2/3R_B$ no? poi magari mi sbaglio, ma se mi illustri per bene come hai ragionato magari capisco...
"cavallipurosangue":
A me non torna così, ma ci sta che mi sbagli, cmq non capisco il momento d'inerzia del cono. Perchè quel $pi$? Poi il raggio di avvolgimento non mi torna per nulla così, am molto piu semplice, infatti è $2/3R_B$ no? poi magari mi sbaglio, ma se mi illustri per bene come hai ragionato magari capisco...
1) hai ragione il $pi$ non ci voleva: era un refuso dalla formula con la densità ..... (ho corretto la formula)
2) per il raggio di avvolgimento, sarebbe come dici tu se il cono fosse pieno. La formula è quindi un po' più complicata, ho fatto una correzione anche a quella.
per il resto sento di confermare.
ciao
Anche se il cono è vuoto, la corda si avvolge sempre intorno alla superficie esterna ad esso, quindi il raggio di avvolgimento non cambia, qualunque cosa tu ci faccia dentro, a patto di conservare la posizione del centro di massa.
Ma è proprio il CM che non è lo stesso se il cono è vuoto!
MMM... NO, perchè? cambia la massa, ma sicuramente non il centro di massa che rimane lì dov'è. Infatti puoi considerare un cono pieno come l'unione del cono forato e del cono del volume del foro, quindi si sa che il centro di massa del cono forato si può trovare per differenza in questo modo. Prendi come origine il centro di massa del cono pieno e fai conto che esso abbia come massa la somma delle due masse, in questo caso $m$ ed $M$, quindi $M+m$. $(m+M)X_{cm}-Mx_{cm}=my_{cm}$, dove $y_{cm}$ è la coordinata del centro di massa del cono forato rispetto al centro di massa del cono intero, $X_{cm}=0$ la coordinata del centro di massa del cono intero rispetto a se stesso, e $x_{cm}$ quella del cono piccolo. Essendo generalmente per qualsiasi cono il cento di massa localizzato ad altezza $h/3$ dalla base, ed essendo in questo caso le altezze uguali a tutti e tre i coni, soprattutto per quelli al primo membro, si ottiene di conseguenza che $X_{cm}=x_{cm}=0=>y_{CM}=0$
CVD
CVD
"cavallipurosangue":
MMM... NO, perchè? cambia la massa, ma sicuramente non il centro di massa che rimane lì dov'è.
Ha ragione Mirco59. La posizione del centro di massa è variabile.
Essendo generalmente per qualsiasi cono il cento di massa localizzato ad altezza $h/3$ dalla base...
In realtà il centro di massa di un cono omogeneo si trova ad una altezza $h/4$ dalla base.
Scusa Cavallipurosangue, ma se tu scavi un oggetto più da una parte che dall'altra non pensi che si possa modificare la posizione del CM?
Il CM di un cono di spessore molto sottile ($R_A \to R_B$) è a $h/3$ dalla base, mentre per un cono pieno è a $h/4$. Nel caso da te fornito si troverà in una posizione intermedia.
Il CM di un cono di spessore molto sottile ($R_A \to R_B$) è a $h/3$ dalla base, mentre per un cono pieno è a $h/4$. Nel caso da te fornito si troverà in una posizione intermedia.
Mi scuso per il banale errore di $h/3$, ma in ogni caso trovo sempre lo stesso risultato... Adesso vadoa pranzo, poi scrivo i miei risultati.
Ciao
Ciao
Facciamo conto che questo sia il nostro oggetto, sappiamo tutti che il centro di massa per corpi del genere si calcola così:
$x_{cm}=1/V\int_CxdV$ dove C è il nostro oggetto. Prendiamo un anello sottile di raggio $r$, larghezza $dr$ e spessore $dx$, come illustrato nel disegno.
Quindi si ha che: $dV=2\pirdrdx$ e di conseguenza dobbiamo calolarci questo integrale doppio:
$x_{cm}={2\pi}/V\int_0^H\int_{(xR_A/H)}^{(xR_B/H)}rdrxdx={\pi}/V\int_0^Hx^2/H^2(R_B^2-R_A^2)xdx={\pi(R_B^2-R_A^2)}/{H^2V}\int_0^Hx^3dx={\pi(R_B^2-R_A^2)}/{H^2V}H^4/4={\piH^2(R_B^2-R_A^2)}/{4V}={\piH^2(R_B^2-R_A^2)}/{4/3\pi(R_B^2-R_A^2)H}=3/4H$
Quindi il centro di massa risulta esser sempre alla stessa altezza ed a me torna anche intuitivamente. Poi prima l'avevo dimostrato anche per via più semplice.
Credo che ci sia stata una incomprensione. Io (e probabilmente anche Mirco59) pensavo che la cavità conica interna fosse un cono simile a quello esterno cioè che il solido avesse "spessore" costante.
AHHH... eh beh in effetti poteva rimanere ambiguo... Mi scuso se non sono stato subito chiaro 
, perdonatemi.
Cmq in quel caso sì che cambierebbe il cdm anche perchè se le generatici rimangono parallele tar cono e cono, diminuendo il raggio diminuisce anche l'altezza...
, perdonatemi.Cmq in quel caso sì che cambierebbe il cdm anche perchè se le generatici rimangono parallele tar cono e cono, diminuendo il raggio diminuisce anche l'altezza...
OK, tutto chiaro, effettivamente per deformazione anch'io come Mamo avevo assunto il foro conico della stessa apertura del cono esterno.
Questo però produce un debole effetto solo su $\rho$, il resto va bene?
Questo però produce un debole effetto solo su $\rho$, il resto va bene?
Faccio prima a postare il procedimento che avevo in mente onde evitare altre inutili incomprensioni.
Prendiamo come versore su cui scomporre le forze il versore $j$. In un sistema solidale a terra, applicando la prima equazione cardinale e la seconda rispetto all'asse del cono:
${(T-mg=ma),(Mg-T=MA),(Tr=I\alpha),(A=a+a_1),(\alpha=a_1/r),(r=3/4R_B):}=>A=a+Tr^2/I=a+9/16TR_B^2/{3/10M(R_B^2-R_A^2)}=a+5/8{TR_B^2}/{M(R_B^2-R_A^2)}$
Quindi:
$(M-m)g-ma=M(a+5/8{TR_B^2}/{M(R_B^2-R_A^2)})=M(a+5/8{m(g+a)R_B^2}/{M(R_B^2-R_A^2)})=>(M+m+5/8{mR_B^2}/{(R_B^2-R_A^2)})a=(M-m-5/8{mR_B^2}/{(R_B^2-R_A^2)})g$
Se chiamiamo $\lambda=5/8{R_B^2}/{(R_B^2-R_A^2)}$ si ha infine:
$\vec{a}={M-m(1+\lambda)}/{M+m(1+\lambda)}g\cdotj$
Prendiamo come versore su cui scomporre le forze il versore $j$. In un sistema solidale a terra, applicando la prima equazione cardinale e la seconda rispetto all'asse del cono:
${(T-mg=ma),(Mg-T=MA),(Tr=I\alpha),(A=a+a_1),(\alpha=a_1/r),(r=3/4R_B):}=>A=a+Tr^2/I=a+9/16TR_B^2/{3/10M(R_B^2-R_A^2)}=a+5/8{TR_B^2}/{M(R_B^2-R_A^2)}$
Quindi:
$(M-m)g-ma=M(a+5/8{TR_B^2}/{M(R_B^2-R_A^2)})=M(a+5/8{m(g+a)R_B^2}/{M(R_B^2-R_A^2)})=>(M+m+5/8{mR_B^2}/{(R_B^2-R_A^2)})a=(M-m-5/8{mR_B^2}/{(R_B^2-R_A^2)})g$
Se chiamiamo $\lambda=5/8{R_B^2}/{(R_B^2-R_A^2)}$ si ha infine:
$\vec{a}={M-m(1+\lambda)}/{M+m(1+\lambda)}g\cdotj$
L'impostazione mi sembra corretta e anche il risultato algebrico sembra che sia lo stesso del mio (a parte il segno per la diversa assunzione).
ciao
ciao
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