Carrucola con attrito e massa trascurabile!
Ho gia letto un topic "bello acceso" su un quesito simile, non vorrei arrivare a questo, quindi vi chiedo semplicemente di spiegarmi in parole povere come si arriva alla formula esponenziale che lega le due tensioni, dato che oltre ad essere esposta da tutti in quel topic, non veniva spiegata da nessuno.
Ve lo faccio esponendovi un problema dell'halliday che recita cosi:
Una fune di massa trascurabile scavalca un mozzo di legno di raggio \(\displaystyle r \), in modo da poter sollevare dal suolo un oggetto molto pesante di peso \(\displaystyle P \), come in figura. Il coefficiente di attrito radente fra fune e mozzo è \(\displaystyle \mu \). Dimostrare che la minima forza diretta verso il basso da applicare alla fune per sollevare il carico è:
\(\displaystyle F = Pe^{\pi\mu} \)
Siccome sicuramente la dimostrazione richiede il calcolo integrale, volevo sapere su quali principi si basa, una tensione infinitesimamente piccola?
Quando la differenza delle masse ai due capi non è troppo piccola ci ritroviamo ad una cosa del genere,
\(\displaystyle (m_2-m_1)g = (m_2+m_1)a+f_{attrito} \)
ma non vedo come possa essermi utile per arrivare alla soluzione...
Ve lo faccio esponendovi un problema dell'halliday che recita cosi:
Una fune di massa trascurabile scavalca un mozzo di legno di raggio \(\displaystyle r \), in modo da poter sollevare dal suolo un oggetto molto pesante di peso \(\displaystyle P \), come in figura. Il coefficiente di attrito radente fra fune e mozzo è \(\displaystyle \mu \). Dimostrare che la minima forza diretta verso il basso da applicare alla fune per sollevare il carico è:
\(\displaystyle F = Pe^{\pi\mu} \)
Siccome sicuramente la dimostrazione richiede il calcolo integrale, volevo sapere su quali principi si basa, una tensione infinitesimamente piccola?
Quando la differenza delle masse ai due capi non è troppo piccola ci ritroviamo ad una cosa del genere,
\(\displaystyle (m_2-m_1)g = (m_2+m_1)a+f_{attrito} \)
ma non vedo come possa essermi utile per arrivare alla soluzione...
Risposte
E' molto piu semplice di quello che sembri.
E un po complicato da spiegare senza un disegno
Comunque considerato un pezzettino di corda di lunghezza infinitesima $Ralpha$, a sinistra di questo pezzetto di corda agisce la tensione T, ortogonale alla sezione, e quindi inclinata di $alpha/2$ "sotto" la tangente alla carrucola in quel punto.
A destra agisce la tensione T+dT, sempre ortogonale alla sezione e quindi anche essa inclinata di $alpha/2$ sotto l'orizzontale. La forza normale agisce lungo la normale e valga N incognita.
La forza di attrito e' tangente, e vale $muN$.
Tangenzialmente, l'equilibrio del pezzettino di corda e\ garantito da
$(T+dT)cos[alpha/2]-muN-Tcos[alpha/2]=0$
Radialmente, l'equilibrio e' garantito da $N-(T+dT)sin[alpha/2]-Tsin[alpha/2]$
Ricavando N da quest'ultima
$N=2Tsin[alpha/2]-dTsin[alpha/2]$. L'ultimo addendo se $alpha$ e' sufficientemente piccolo e' infinitesimo di ordine superiore e si trascura tranquillamente, quindi $N=Talpha$ avendo tenuto conto che per $theta$ sufficientemente piccolo $sintheta=theta$
Sostituendo N nella prima, si ottiene
$(T+dT)cos[alpha/2]-muTalpha-Tcos[alpha/2]=0$
da cui, sempre tenendo conto che $alpha$ e' circa 0, e quindi $cos[alpha/2]=1$, $dT-muTalpha=0$
Quindi $[dT]/T=mualpha$
Integrando, $lnT=mualpha + C$.
Per $alpha=0$, la T= P, da cui si ricava la $C=lnP$.
Quindi $ln(T/P)=mualpha$ da cui, per definizione di logaritmo $T=Pe^[mualpha]$
Siccome la corda si avvolge di $alpha=pi$........
E un po complicato da spiegare senza un disegno
Comunque considerato un pezzettino di corda di lunghezza infinitesima $Ralpha$, a sinistra di questo pezzetto di corda agisce la tensione T, ortogonale alla sezione, e quindi inclinata di $alpha/2$ "sotto" la tangente alla carrucola in quel punto.
A destra agisce la tensione T+dT, sempre ortogonale alla sezione e quindi anche essa inclinata di $alpha/2$ sotto l'orizzontale. La forza normale agisce lungo la normale e valga N incognita.
La forza di attrito e' tangente, e vale $muN$.
Tangenzialmente, l'equilibrio del pezzettino di corda e\ garantito da
$(T+dT)cos[alpha/2]-muN-Tcos[alpha/2]=0$
Radialmente, l'equilibrio e' garantito da $N-(T+dT)sin[alpha/2]-Tsin[alpha/2]$
Ricavando N da quest'ultima
$N=2Tsin[alpha/2]-dTsin[alpha/2]$. L'ultimo addendo se $alpha$ e' sufficientemente piccolo e' infinitesimo di ordine superiore e si trascura tranquillamente, quindi $N=Talpha$ avendo tenuto conto che per $theta$ sufficientemente piccolo $sintheta=theta$
Sostituendo N nella prima, si ottiene
$(T+dT)cos[alpha/2]-muTalpha-Tcos[alpha/2]=0$
da cui, sempre tenendo conto che $alpha$ e' circa 0, e quindi $cos[alpha/2]=1$, $dT-muTalpha=0$
Quindi $[dT]/T=mualpha$
Integrando, $lnT=mualpha + C$.
Per $alpha=0$, la T= P, da cui si ricava la $C=lnP$.
Quindi $ln(T/P)=mualpha$ da cui, per definizione di logaritmo $T=Pe^[mualpha]$
Siccome la corda si avvolge di $alpha=pi$........
Ma il disegno è proprio quello che voleva profk ... 
"TeM":
[quote="axpgn"]Ma il disegno è proprio quello che voleva profk ...
In effetti, nemmeno farlo apposta!! Fatto con lo strumento più
professionale che esiste, chiamasi Paint, ma spero rendi l'idea.
[/quote]Paint....Usate techniche avanzate.....io non riesco manco a vedere le immagini, ma questa di Tem, si. Boh, misteri dell'IT
La cosa che non mi e' mai sconfiferata in questa dimostrazione e' che alla fine si puo cercare di trovare anche $N=N(theta)$
Da $dN=Tdtheta$, per sostituzione si risolve e si trova che la reazione normale N non si annulla ma da' 1 per $theta=0$ e cresce esponenzialmento fino a $theta=pi$, cosa che a occhio non mi pare proprio.
Non me lo sono mai spiegato.
Da $dN=Tdtheta$, per sostituzione si risolve e si trova che la reazione normale N non si annulla ma da' 1 per $theta=0$ e cresce esponenzialmento fino a $theta=pi$, cosa che a occhio non mi pare proprio.
Non me lo sono mai spiegato.
"TeM":
Data una fune ideale che avvolge una puleggia reale, se ne consideri una
porzione infinitesima di angolo \(\text{d}\theta\), come illustrato nella seguente figura:
Nel tratto di sinistra è presente una tensione \(T\) mentre in quello destro una tensione \(T+\text{d}T\),
dove l'incremento è dovuto all'azione dell'attrito di avvolgimento. Inoltre, la puleggia reagisce
alle sollecitazioni dalle tensioni trasmesse dalla fune con una reazione normale \(\text{d}N\) e in dire-
zione opposta a quello allo strisciamento della fune nasce una forza di attrito \(\mu\,\text{d}N\).
Ma la tensione su una fune non dovrebbe essere uguale su tutta la fune stessa? La reazione normale è sempre in direzione opposta al raggio del mozzo su tutto il tratto di fune?
Perchè integri poi nello svolgimento \(\displaystyle \mu d\theta \) con \(\displaystyle \alpha \) cos'è \(\displaystyle \alpha \) ?
No, la tensione non e' la stessa.
Prendi un pesetto e appendilo a un filo e passalo attorno attorno al dito, come se il dito fosse una carrucola. vedrai che per un peso opportuno non troppo grande, quello stara in equilibrio. A sinistra, il filo penzolera' moscio e a destra il filo sara teso sotto l'azione della forza peso del pesetto.
Lungo il dito, le forze di attrito si sommano a contrastare il peso, fino a che la tensione si annulla.
$alpha$ e' l'angolo di avvolgimento del filo
Prendi un pesetto e appendilo a un filo e passalo attorno attorno al dito, come se il dito fosse una carrucola. vedrai che per un peso opportuno non troppo grande, quello stara in equilibrio. A sinistra, il filo penzolera' moscio e a destra il filo sara teso sotto l'azione della forza peso del pesetto.
Lungo il dito, le forze di attrito si sommano a contrastare il peso, fino a che la tensione si annulla.
$alpha$ e' l'angolo di avvolgimento del filo
"professorkappa":
No, la tensione non e' la stessa.
Prendi un pesetto e appendilo a un filo e passalo attorno attorno al dito, come se il dito fosse una carrucola. vedrai che per un peso opportuno non troppo grande, quello stara in equilibrio. A sinistra, il filo penzolera' moscio e a destra il filo sara teso sotto l'azione della forza peso del pesetto.
Lungo il dito, le forze di attrito si sommano a contrastare il peso, fino a che la tensione si annulla.
$alpha$ e' l'angolo di avvolgimento del filo
Ottimo esempio, come sempre impeccabile. Cio non toglie che devo studiare ancora molto. Mi chiedo da tempo leggendo il forum come avete fatto ad arrivare ad una comprensione cosi vasta della materia... io la trovo molto più difficile della matematica.
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