Carrello con pendolo semplice sul soffitto.
Buon pomeriggio. Vi sottopongo questo problema di meccanica perché non ho risultati da confrontare e vorrei sapere se i miei ragionamenti sono corretti. Questo il testo del problema:
Sul soffitto di un carrello di massa M=10kg si trova agganciato un pendolo semplice di massa m=6kg e lunghezza l=50cm. Il sistema è inizialmente in quiete con il pendolo ad un angolo $\theta_0 = 45°$ con la verticale. Tutti gli attriti siano trascurabili. Quando il pendolo si trova nella posizione più bassa, calcolare: a) le velocità del carrello e del pendolo; b) la tensione del filo; c) la reazione vincolare normale del pavimento sul carrello. d) Descrivere qualitativamente il moto del sistema.
La mia soluzione:
Il sistema è isolato e conservativo, quindi possiamo applicare la conservazione dell'energia meccanica e la conservazione della quantità di moto.
1) L'energia meccanica iniziale è data dall'energia potenziale gravitazionale del pendolo (che in quiete è massima): $U_{IN} = mgh = mgl(1-cos\theta_0)$.
2) Quando il pendolo si trova nella sua posizione più bassa ($\theta = 0$), tutta l'energia potenziale si converte in energia cinetica del pendolo e del carrello: $E_k = \frac{1}{2}*M*v_c^2 + \frac{1}{2}*m*(v_p^2 + v_c^2)$, dove $v_c$ è la velocità del carrello e $v_p$ è la velocità assoluta del pendolo rispetto al suolo (quindi relativa al carrello).
2.2) Come ricavo il secondo termine: quando il pendolo si trova nella posizione più bassa, ha una velocità tangenziale dovuta al moto di oscillazione e una velocità orizzontale dovuta al moto del carrello, quindi $v_{Tot} = \sqrt(v_c^2 + v_p^2)$.
3) Dalla conservazione della quantità di moto: $M*v_c = m*v_p -> v_c = \frac{m}{M}*v_p$.
Quindi ho ciò che mi serve per rispondere alle domande.
a) Dalla conservazione dell'energia meccanica $U_{IN} = E_k$ e risolvendo l'equazione sostituendo $v_c$, ottengo $v_p = 1.6 m/s$ e $v_c = 0.95 m/s$
b) Tensione del filo: $T(\theta=0) = T_{max} = mg + ma_n =mg + \frac{v_p^2}{l}=81 N$
c) Reazione vincolare: $N = (M+m)*g$
d) Quando il pendolo è rilasciato, inizia a oscillare e il carrello si muove in direzione OPPOSTA per conservare la quantità di moto del sistema. La velocità del carrello è sempre inferiore alla velocità del pendolo, e si muove in direzione opposta all'oscillazione per mantenere il centro di massa del sistema, relativamente, stazionario. Il moto è una sorta di oscillazione armonica smorzata, anche se senza attrito dovrebbe continuare all'infinito.
Ringrazio in anticipo chiunque volesse cimentarsi nella risoluzione del problema e volesse anche condividere la sua opinione.
Sul soffitto di un carrello di massa M=10kg si trova agganciato un pendolo semplice di massa m=6kg e lunghezza l=50cm. Il sistema è inizialmente in quiete con il pendolo ad un angolo $\theta_0 = 45°$ con la verticale. Tutti gli attriti siano trascurabili. Quando il pendolo si trova nella posizione più bassa, calcolare: a) le velocità del carrello e del pendolo; b) la tensione del filo; c) la reazione vincolare normale del pavimento sul carrello. d) Descrivere qualitativamente il moto del sistema.
La mia soluzione:
Il sistema è isolato e conservativo, quindi possiamo applicare la conservazione dell'energia meccanica e la conservazione della quantità di moto.
1) L'energia meccanica iniziale è data dall'energia potenziale gravitazionale del pendolo (che in quiete è massima): $U_{IN} = mgh = mgl(1-cos\theta_0)$.
2) Quando il pendolo si trova nella sua posizione più bassa ($\theta = 0$), tutta l'energia potenziale si converte in energia cinetica del pendolo e del carrello: $E_k = \frac{1}{2}*M*v_c^2 + \frac{1}{2}*m*(v_p^2 + v_c^2)$, dove $v_c$ è la velocità del carrello e $v_p$ è la velocità assoluta del pendolo rispetto al suolo (quindi relativa al carrello).
2.2) Come ricavo il secondo termine: quando il pendolo si trova nella posizione più bassa, ha una velocità tangenziale dovuta al moto di oscillazione e una velocità orizzontale dovuta al moto del carrello, quindi $v_{Tot} = \sqrt(v_c^2 + v_p^2)$.
3) Dalla conservazione della quantità di moto: $M*v_c = m*v_p -> v_c = \frac{m}{M}*v_p$.
Quindi ho ciò che mi serve per rispondere alle domande.
a) Dalla conservazione dell'energia meccanica $U_{IN} = E_k$ e risolvendo l'equazione sostituendo $v_c$, ottengo $v_p = 1.6 m/s$ e $v_c = 0.95 m/s$
b) Tensione del filo: $T(\theta=0) = T_{max} = mg + ma_n =mg + \frac{v_p^2}{l}=81 N$
c) Reazione vincolare: $N = (M+m)*g$
d) Quando il pendolo è rilasciato, inizia a oscillare e il carrello si muove in direzione OPPOSTA per conservare la quantità di moto del sistema. La velocità del carrello è sempre inferiore alla velocità del pendolo, e si muove in direzione opposta all'oscillazione per mantenere il centro di massa del sistema, relativamente, stazionario. Il moto è una sorta di oscillazione armonica smorzata, anche se senza attrito dovrebbe continuare all'infinito.
Ringrazio in anticipo chiunque volesse cimentarsi nella risoluzione del problema e volesse anche condividere la sua opinione.
Risposte
"arzi":
1) L'energia meccanica iniziale è data dall'energia potenziale gravitazionale del pendolo (che in quiete è massima): $U_{IN} = mgh = mgl(1-cos\theta_0)$.
Ok.
2) Quando il pendolo si trova nella sua posizione più bassa ($\theta = 0$), tutta l'energia potenziale si converte in energia cinetica del pendolo e del carrello: $E_k = \frac{1}{2}*M*v_c^2 + \frac{1}{2}*m*(v_p^2 + v_c^2)$, dove $v_c$ è la velocità del carrello e $v_p$ è la velocità assoluta del pendolo rispetto al suolo (quindi relativa al carrello).
Non e' meglio tenere la velocita' del pendolo rispetto al suolo ?
$E_k = \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{2}mv_p^2 $
2.2) Come ricavo il secondo termine: quando il pendolo si trova nella posizione più bassa, ha una velocità tangenziale dovuta al moto di oscillazione e una velocità orizzontale dovuta al moto del carrello, quindi $v_{Tot} = \sqrt(v_c^2 + v_p^2)$.
3) Dalla conservazione della quantità di moto: $M*v_c = m*v_p -> v_c = \frac{m}{M}*v_p$.
Quindi ho ciò che mi serve per rispondere alle domande.
a) Dalla conservazione dell'energia meccanica $U_{IN} = E_k$ e risolvendo l'equazione sostituendo $v_c$, ottengo $v_p = 1.6 m/s$ e $v_c = 0.95 m/s$
$E_k = \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{2}mv_p^2 $
$mgl(1-cos\theta_0) = \frac{1}{2}m^2/Mv_p^2 + \frac{1}{2}mv_p^2 $
$2gl(1-cos\theta_0) M/(M+m) = v_p^2 $
b) Tensione del filo: $T(\theta=0) = T_{max} = mg + ma_n =mg + \frac{v_p^2}{l}=81 N$
Il centro di rotazione istantaneo non e' il punto di attacco del pendolo, perche' anche il carrello si muove.
La distanza del pendolo dal centro di rotazione e'
$l_p=l v_p/(v_p+v_c) = l v_p/(v_p+m/Mv_p) = l M/(m+M)$
quindi
$T = m(g + v_p ^2 / l_p) = m(g + 2gl(1-cos\theta_0) M/(M+m) (m+M)/ (lM)) = m(g + 2g(1-cos\theta_0)) = mg(3-2cos\theta_0)$
c) Reazione vincolare: $N = (M+m)*g$
Devi aggiungere la forza centrifuga calcolata prima.
d) Quando il pendolo è rilasciato, inizia a oscillare e il carrello si muove in direzione OPPOSTA per conservare la quantità di moto del sistema. La velocità del carrello è sempre inferiore alla velocità del pendolo, e si muove in direzione opposta all'oscillazione per mantenere il centro di massa del sistema, relativamente, stazionario. Il moto è una sorta di oscillazione armonica smorzata, anche se senza attrito dovrebbe continuare all'infinito.
Un oscillazione e' armonica quando le grandezze hanno un andamento sinusoidale, ma non e' cosi' in questo caso.
Inoltre se non ci sono attriti e continua all'infinito non e' neanche smorzata, no ?
Quindo il pendolo fa delle oscillazioni (non meglio specificate).
Ti ringrazio innanzitutto per la risposta così dettagliata e completa.
Devo ammettere però che non ho ben capito cosa intendi per "Il centro di rotazione istantaneo non è il punto di attacco del pendolo, perché anche il carrello si muove ... distanza del pendolo dal centro di rotazione".
Il centro di rotazione del pendolo dovrebbe cambiare durante il moto? Inoltre, a questo punto ti chiederei anche da dove viene questa formula.
Per il punto d) risponderesti semplicemente che è un moto con oscillazioni non ben definite?
Devo ammettere però che non ho ben capito cosa intendi per "Il centro di rotazione istantaneo non è il punto di attacco del pendolo, perché anche il carrello si muove ... distanza del pendolo dal centro di rotazione".
Il centro di rotazione del pendolo dovrebbe cambiare durante il moto? Inoltre, a questo punto ti chiederei anche da dove viene questa formula.
Per il punto d) risponderesti semplicemente che è un moto con oscillazioni non ben definite?
"Quinzio":
Un oscillazione e' armonica quando le grandezze hanno un andamento sinusoidale, ma non e' cosi' in questo caso.
Dici che non è così perchè l'angolo è troppo grande, o perchè il punto di sospensione non è fisso?
Dubbio mio: nel caso di piccole oscillazioni, il moto sarebbe armonico? (io penso di sì) E quanto sarebbe il periodo?
E, nel caso limite di massa del carrello zero, il pendolo andrebbe solo su e giù: in questo caso immagino che i conti si semplifichino, però non saprei risolvere il problema
"Quinzio":
Il centro di rotazione istantaneo ...
La seguente implicazione:
$[l_p=lv_p/(v_p+v_c)] rarr [T=m(g+v_p^2/l_p)]$
è un "falso amico". Prova ne sia che la tensione del filo non dipenderebbe dalla massa del carrello. Più semplicemente, senza scomodare argomenti avanzati:
$T=m[g+(v_c+v_p)^2/l]$
"arzi":
Ti ringrazio innanzitutto per la risposta così dettagliata e completa.
Devo ammettere però che non ho ben capito cosa intendi per "Il centro di rotazione istantaneo non è il punto di attacco del pendolo, perché anche il carrello si muove ... distanza del pendolo dal centro di rotazione".
Il centro di rotazione del pendolo dovrebbe cambiare durante il moto? Inoltre, a questo punto ti chiederei anche da dove viene questa formula.
Fai un esperimento. Prendi un foglio di carta e traccia un riga orizontale con una penna. Poi prendi la penna e la appoggi sul foglio sovrapposta alla riga.
Adesso con una mano sposti l'estremo sinistro in basso di un centimetro (ad esempio). L'estremo destro lo sposti in alto di 3 centimetri. Adesso dovresti notare che la penna incrocia la riga in un punto.
Se torni a fare l'esperimento muovendo gli estremi contemporaneamente, vedi che quel punto e' il centro di rotazione.
Analiticamente: facciamo che la riga sia l'asse $x$, l'estremo di sinistra e' sul punto $(0, y_0)$ e quello di destra e' a distanza $(l, y_l)$.
La penna e' sulla retta $y = (y_l-y_0)/l x + y_0$ e quindi incrocia l'asse $x$ in $x = -ly_0/((y_l-y_0))$
Se adesso immaginiamo che $y_0= v_0 t$ e $y_l = v_l t$ abbiamo $x = -lv_0/((v_l-v_0))$
che e' la stessa cosa di $l_p = l v_p/(v_c + v_p)$.
I segni sono diversi perche' dipende dai versi prescelti.
Con questo esempio dovrebbe essere piu' chiaro cos'e' e come si trova il centro di rotazione.
PS. Questi sono tutti calcoli approssimativi, validi solo quando il pendolo e' in verticale (e la penna in orizzontale).
Per il punto d) risponderesti semplicemente che è un moto con oscillazioni non ben definite?
Si.
Non si puo' dire altro.
Un'oscillazione e' qualunque movimento che passa periodicamente per gli stessi punti.
Per il pendolo non esiste una formula analitica del suo moto tra l'altro.
"mgrau":
[quote="Quinzio"]
Un oscillazione e' armonica quando le grandezze hanno un andamento sinusoidale, ma non e' cosi' in questo caso.
Dici che non è così perchè l'angolo è troppo grande, o perchè il punto di sospensione non è fisso?
[/quote]
Per tutti e due i motivi.
Dubbio mio: nel caso di piccole oscillazioni, il moto sarebbe armonico? (io penso di sì) E quanto sarebbe il periodo?
Si.
Per piccole oscillazioni il pendolo viaggia in orizzontale, il centro di rotazione rimane pressoché fisso e quindi lo si puo' trattre come un pendolo normale, dopo aver ricalcolato la lunghezza dell'asta.
Se per un pendolo attaccato a un punto fisso il periodo e'
$T_0 = 2 \pi \sqrt(l/g)$
qui diventa.
$T_0 = 2 \pi \sqrt(l/g M/((m+M)))$
Questo significa che le oscillazioni diventano sempre piu' veloci (quando $M$ diventa piccola), a differenza del pendolo normale per cui il periodo rimane costante.
E, nel caso limite di massa del carrello zero, il pendolo andrebbe solo su e giù: in questo caso immagino che i conti si semplifichino, però non saprei risolvere il problema
Non sono sicuro al 100%, ma secondo me la questione sta in questi termini.
Il fatto che il carrello e' senza massa crea dei problemi dal punto di vista matematico perche' si hanno delle "cancellazioni" (divisioni e moltiplicazione per zero) che danno dei risultati senza senso, se non si fa attenzione.
Ma intuitivamente... se $M=0$ il pendolo praticamente cade in verticale fino a una distanza $l$ dal soffitto.
A quel punto la "palla" rimbalza come farebbe una palla sul pavimento, e fa dei rimbalzi.
Viceversa se la massa $M$ e' molto piccola ma non zero, il comportamento cambia qualitativamente e si comporta come abbiamo descritto prima.
Non saprei se per $M -> 0$ il moto del pendolo tende a quello della palla che rimbalza.
"Quinzio":
qui diventa.
$T_0 = 2 \pi \sqrt(l/g M/((m+M)))$
Questo significa che le oscillazioni diventano sempre piu' veloci (quando $M$ diventa piccola),
Questo mi sembra un po' strano... Il periodo tende a zero quando la massa del carrello tende a zero?! Ma, visto che l'oscillazione finisce ad essere in verticale, l'ampiezza è fissa (la variazione di quota fra quando il filo è obliquo e quando è verticale) allora la velocità tende all'infinito, e l'energia necessaria da dove viene?
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